Theorem nn0cnd 9169

Description: A nonnegative integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0cnd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem nn0cnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2	1	nn0red 9168	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 7927	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136  ℂcc 7751  ℕ₀cn0 9114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1re 7847  ax-addrcl 7850  ax-rnegex 7862

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-sn 3582  df-int 3825  df-inn 8858  df-n0 9115

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  10331  addmodlteq  10333  uzennn  10371  expaddzaplem  10498  expaddzap  10499  expmulzap  10501  nn0le2msqd  10632  nn0opthlem1d  10633  nn0opthd  10635  nn0opth2d  10636  facdiv  10651  bcp1n  10674  bcn2m1  10682  bcn2p1  10683  omgadd  10715  fihashssdif  10731  hashdifpr  10733  hashxp  10739  zfz1isolemsplit  10751  zfz1isolem1  10753  fsumconst  11395  hash2iun1dif1  11421  binomlem  11424  bcxmas  11430  arisum  11439  arisum2  11440  mertensabs  11478  effsumlt  11633  dvdsexp  11799  nn0ob  11845  divalglemnn  11855  divalgmod  11864  bezoutlemnewy  11929  bezoutlema  11932  bezoutlemb  11933  mulgcd  11949  absmulgcd  11950  mulgcdr  11951  gcddiv  11952  lcmgcd  12010  lcmid  12012  lcm1  12013  3lcm2e6woprm  12018  6lcm4e12  12019  mulgcddvds  12026  qredeu  12029  divgcdcoprm0  12033  divgcdcoprmex  12034  cncongr1  12035  cncongr2  12036  pw2dvdseulemle  12099  phiprmpw  12154  eulerthlema  12162  prmdiveq  12168  odzdvds  12177  powm2modprm  12184  coprimeprodsq  12189  pceulem  12226  pczpre  12229  pcqmul  12235  pcaddlem  12270  pcmpt  12273  pcmpt2  12274  sumhashdc  12277  pcfac  12280  oddprmdvds  12284  mul4sq  12324  lgslem1  13541  lgsvalmod  13560  2sqlem8  13599