Theorem nn0cnd 9304

Description: A nonnegative integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0cnd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem nn0cnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2	1	nn0red 9303	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 8055	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  ℂcc 7877  ℕ₀cn0 9249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976  ax-rnegex 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3628  df-int 3875  df-inn 8991  df-n0 9250

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  10488  addmodlteq  10490  uzennn  10528  expaddzaplem  10674  expaddzap  10675  expmulzap  10677  nn0le2msqd  10811  nn0opthlem1d  10812  nn0opthd  10814  nn0opth2d  10815  facdiv  10830  bcp1n  10853  bcn2m1  10861  bcn2p1  10862  omgadd  10894  fihashssdif  10910  hashdifpr  10912  hashxp  10918  zfz1isolemsplit  10930  zfz1isolem1  10932  fsumconst  11619  hash2iun1dif1  11645  binomlem  11648  bcxmas  11654  arisum  11663  arisum2  11664  mertensabs  11702  effsumlt  11857  dvdsexp  12026  nn0ob  12073  divalglemnn  12083  divalgmod  12092  bezoutlemnewy  12163  bezoutlema  12166  bezoutlemb  12167  mulgcd  12183  absmulgcd  12184  mulgcdr  12185  gcddiv  12186  lcmgcd  12246  lcmid  12248  lcm1  12249  3lcm2e6woprm  12254  6lcm4e12  12255  mulgcddvds  12262  qredeu  12265  divgcdcoprm0  12269  divgcdcoprmex  12270  cncongr1  12271  cncongr2  12272  pw2dvdseulemle  12335  phiprmpw  12390  eulerthlema  12398  prmdiveq  12404  odzdvds  12414  powm2modprm  12421  coprimeprodsq  12426  pceulem  12463  pczpre  12466  pcqmul  12472  pcaddlem  12508  pcmpt  12512  pcmpt2  12513  sumhashdc  12516  pcfac  12519  oddprmdvds  12523  mul4sq  12563  4sqlem12  12571  mulgnn0dir  13282  mulgnn0ass  13288  plyaddlem1  14983  plymullem1  14984  dvply1  15001  dvply2g  15002  0sgm  15221  sgmppw  15228  lgslem1  15241  lgsvalmod  15260  gausslemma2dlem6  15308  gausslemma2d  15310  lgseisenlem2  15312  lgseisenlem3  15313  lgsquadlem1  15318  lgsquadlem2  15319  lgsquad2lem2  15323  m1lgs  15326  2lgslem1c  15331  2lgslem3a  15334  2lgslem3b  15335  2lgslem3c  15336  2lgslem3d  15337  2sqlem8  15364