Theorem nn0cnd 9160

Description: A nonnegative integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0cnd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem nn0cnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2	1	nn0red 9159	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 7918	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2135  ℂcc 7742  ℕ₀cn0 9105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1re 7838  ax-addrcl 7841  ax-rnegex 7853

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-sn 3576  df-int 3819  df-inn 8849  df-n0 9106

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  10321  addmodlteq  10323  uzennn  10361  expaddzaplem  10488  expaddzap  10489  expmulzap  10491  nn0le2msqd  10621  nn0opthlem1d  10622  nn0opthd  10624  nn0opth2d  10625  facdiv  10640  bcp1n  10663  bcn2m1  10671  bcn2p1  10672  omgadd  10704  fihashssdif  10720  hashdifpr  10722  hashxp  10728  zfz1isolemsplit  10737  zfz1isolem1  10739  fsumconst  11381  hash2iun1dif1  11407  binomlem  11410  bcxmas  11416  arisum  11425  arisum2  11426  mertensabs  11464  effsumlt  11619  dvdsexp  11784  nn0ob  11830  divalglemnn  11840  divalgmod  11849  bezoutlemnewy  11914  bezoutlema  11917  bezoutlemb  11918  mulgcd  11934  absmulgcd  11935  mulgcdr  11936  gcddiv  11937  lcmgcd  11989  lcmid  11991  lcm1  11992  3lcm2e6woprm  11997  6lcm4e12  11998  mulgcddvds  12005  qredeu  12008  divgcdcoprm0  12012  divgcdcoprmex  12013  cncongr1  12014  cncongr2  12015  pw2dvdseulemle  12076  phiprmpw  12131  eulerthlema  12139  prmdiveq  12145  odzdvds  12154  powm2modprm  12161  coprimeprodsq  12166  pceulem  12203  pczpre  12206  pcqmul  12212  pcaddlem  12247  pcmpt  12250  pcmpt2  12251  sumhashdc  12254  pcfac  12257  oddprmdvds  12261