Theorem nn0cnd 9323

Description: A nonnegative integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0cnd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem nn0cnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2	1	nn0red 9322	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 8074	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  ℂcc 7896  ℕ₀cn0 9268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1re 7992  ax-addrcl 7995  ax-rnegex 8007

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-int 3876  df-inn 9010  df-n0 9269

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  10507  addmodlteq  10509  uzennn  10547  expaddzaplem  10693  expaddzap  10694  expmulzap  10696  nn0le2msqd  10830  nn0opthlem1d  10831  nn0opthd  10833  nn0opth2d  10834  facdiv  10849  bcp1n  10872  bcn2m1  10880  bcn2p1  10881  omgadd  10913  fihashssdif  10929  hashdifpr  10931  hashxp  10937  zfz1isolemsplit  10949  zfz1isolem1  10951  fsumconst  11638  hash2iun1dif1  11664  binomlem  11667  bcxmas  11673  arisum  11682  arisum2  11683  mertensabs  11721  effsumlt  11876  dvdsexp  12045  nn0ob  12092  divalglemnn  12102  divalgmod  12111  bitsinv1lem  12145  bezoutlemnewy  12190  bezoutlema  12193  bezoutlemb  12194  mulgcd  12210  absmulgcd  12211  mulgcdr  12212  gcddiv  12213  lcmgcd  12273  lcmid  12275  lcm1  12276  3lcm2e6woprm  12281  6lcm4e12  12282  mulgcddvds  12289  qredeu  12292  divgcdcoprm0  12296  divgcdcoprmex  12297  cncongr1  12298  cncongr2  12299  pw2dvdseulemle  12362  phiprmpw  12417  eulerthlema  12425  prmdiveq  12431  odzdvds  12441  powm2modprm  12448  coprimeprodsq  12453  pceulem  12490  pczpre  12493  pcqmul  12499  pcaddlem  12535  pcmpt  12539  pcmpt2  12540  sumhashdc  12543  pcfac  12546  oddprmdvds  12550  mul4sq  12590  4sqlem12  12598  mulgnn0dir  13360  mulgnn0ass  13366  plyaddlem1  15091  plymullem1  15092  dvply1  15109  dvply2g  15110  0sgm  15329  sgmppw  15336  lgslem1  15349  lgsvalmod  15368  gausslemma2dlem6  15416  gausslemma2d  15418  lgseisenlem2  15420  lgseisenlem3  15421  lgsquadlem1  15426  lgsquadlem2  15427  lgsquad2lem2  15431  m1lgs  15434  2lgslem1c  15439  2lgslem3a  15442  2lgslem3b  15443  2lgslem3c  15444  2lgslem3d  15445  2sqlem8  15472