Theorem nn0cnd 9385

Description: A nonnegative integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0cnd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem nn0cnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2	1	nn0red 9384	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 8136	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2178  ℂcc 7958  ℕ₀cn0 9330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057  ax-rnegex 8069

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-sn 3649  df-int 3900  df-inn 9072  df-n0 9331

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  10578  addmodlteq  10580  uzennn  10618  expaddzaplem  10764  expaddzap  10765  expmulzap  10767  nn0le2msqd  10901  nn0opthlem1d  10902  nn0opthd  10904  nn0opth2d  10905  facdiv  10920  bcp1n  10943  bcn2m1  10951  bcn2p1  10952  omgadd  10984  fihashssdif  11000  hashdifpr  11002  hashxp  11008  zfz1isolemsplit  11020  zfz1isolem1  11022  ccatval3  11093  ccatval21sw  11099  ccatlid  11100  ccatrid  11101  ccatass  11102  ccatrn  11103  lswccatn0lsw  11105  ccatws1lenp1bg  11127  ccats1val2  11130  lswccats1  11133  swrdccat2  11162  pfxfv  11175  addlenpfx  11182  pfxtrcfvl  11188  pfxpfx  11199  lenrevpfxcctswrd  11203  ccats1pfxeq  11205  ccatopth2  11208  cats1un  11212  swrdccat3b  11231  fsumconst  11880  hash2iun1dif1  11906  binomlem  11909  bcxmas  11915  arisum  11924  arisum2  11925  mertensabs  11963  effsumlt  12118  dvdsexp  12287  nn0ob  12334  divalglemnn  12344  divalgmod  12353  bitsinv1lem  12387  bezoutlemnewy  12432  bezoutlema  12435  bezoutlemb  12436  mulgcd  12452  absmulgcd  12453  mulgcdr  12454  gcddiv  12455  lcmgcd  12515  lcmid  12517  lcm1  12518  3lcm2e6woprm  12523  6lcm4e12  12524  mulgcddvds  12531  qredeu  12534  divgcdcoprm0  12538  divgcdcoprmex  12539  cncongr1  12540  cncongr2  12541  pw2dvdseulemle  12604  phiprmpw  12659  eulerthlema  12667  prmdiveq  12673  odzdvds  12683  powm2modprm  12690  coprimeprodsq  12695  pceulem  12732  pczpre  12735  pcqmul  12741  pcaddlem  12777  pcmpt  12781  pcmpt2  12782  sumhashdc  12785  pcfac  12788  oddprmdvds  12792  mul4sq  12832  4sqlem12  12840  mulgnn0dir  13603  mulgnn0ass  13609  plyaddlem1  15334  plymullem1  15335  dvply1  15352  dvply2g  15353  0sgm  15572  sgmppw  15579  lgslem1  15592  lgsvalmod  15611  gausslemma2dlem6  15659  gausslemma2d  15661  lgseisenlem2  15663  lgseisenlem3  15664  lgsquadlem1  15669  lgsquadlem2  15670  lgsquad2lem2  15674  m1lgs  15677  2lgslem1c  15682  2lgslem3a  15685  2lgslem3b  15686  2lgslem3c  15687  2lgslem3d  15688  2sqlem8  15715