Theorem nn0cnd 9032

Description: A nonnegative integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0cnd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem nn0cnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2	1	nn0red 9031	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 7794	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1480  ℂcc 7618  ℕ₀cn0 8977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1re 7714  ax-addrcl 7717  ax-rnegex 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-sn 3533  df-int 3772  df-inn 8721  df-n0 8978

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  10169  addmodlteq  10171  uzennn  10209  expaddzaplem  10336  expaddzap  10337  expmulzap  10339  nn0le2msqd  10465  nn0opthlem1d  10466  nn0opthd  10468  nn0opth2d  10469  facdiv  10484  bcp1n  10507  bcn2m1  10515  bcn2p1  10516  omgadd  10548  fihashssdif  10564  hashdifpr  10566  hashxp  10572  zfz1isolemsplit  10581  zfz1isolem1  10583  fsumconst  11223  hash2iun1dif1  11249  binomlem  11252  bcxmas  11258  arisum  11267  arisum2  11268  mertensabs  11306  effsumlt  11398  dvdsexp  11559  nn0ob  11605  divalglemnn  11615  divalgmod  11624  bezoutlemnewy  11684  bezoutlema  11687  bezoutlemb  11688  mulgcd  11704  absmulgcd  11705  mulgcdr  11706  gcddiv  11707  lcmgcd  11759  lcmid  11761  lcm1  11762  3lcm2e6woprm  11767  6lcm4e12  11768  mulgcddvds  11775  qredeu  11778  divgcdcoprm0  11782  divgcdcoprmex  11783  cncongr1  11784  cncongr2  11785  pw2dvdseulemle  11845  phiprmpw  11898