Theorem nn0cnd 9349

Description: A nonnegative integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0cnd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem nn0cnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2	1	nn0red 9348	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 8100	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2175  ℂcc 7922  ℕ₀cn0 9294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021  ax-rnegex 8033

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-sn 3638  df-int 3885  df-inn 9036  df-n0 9295

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  10539  addmodlteq  10541  uzennn  10579  expaddzaplem  10725  expaddzap  10726  expmulzap  10728  nn0le2msqd  10862  nn0opthlem1d  10863  nn0opthd  10865  nn0opth2d  10866  facdiv  10881  bcp1n  10904  bcn2m1  10912  bcn2p1  10913  omgadd  10945  fihashssdif  10961  hashdifpr  10963  hashxp  10969  zfz1isolemsplit  10981  zfz1isolem1  10983  ccatval3  11053  ccatval21sw  11059  ccatlid  11060  ccatrid  11061  ccatass  11062  ccatrn  11063  lswccatn0lsw  11065  ccatws1lenp1bg  11087  ccats1val2  11090  lswccats1  11093  fsumconst  11736  hash2iun1dif1  11762  binomlem  11765  bcxmas  11771  arisum  11780  arisum2  11781  mertensabs  11819  effsumlt  11974  dvdsexp  12143  nn0ob  12190  divalglemnn  12200  divalgmod  12209  bitsinv1lem  12243  bezoutlemnewy  12288  bezoutlema  12291  bezoutlemb  12292  mulgcd  12308  absmulgcd  12309  mulgcdr  12310  gcddiv  12311  lcmgcd  12371  lcmid  12373  lcm1  12374  3lcm2e6woprm  12379  6lcm4e12  12380  mulgcddvds  12387  qredeu  12390  divgcdcoprm0  12394  divgcdcoprmex  12395  cncongr1  12396  cncongr2  12397  pw2dvdseulemle  12460  phiprmpw  12515  eulerthlema  12523  prmdiveq  12529  odzdvds  12539  powm2modprm  12546  coprimeprodsq  12551  pceulem  12588  pczpre  12591  pcqmul  12597  pcaddlem  12633  pcmpt  12637  pcmpt2  12638  sumhashdc  12641  pcfac  12644  oddprmdvds  12648  mul4sq  12688  4sqlem12  12696  mulgnn0dir  13459  mulgnn0ass  13465  plyaddlem1  15190  plymullem1  15191  dvply1  15208  dvply2g  15209  0sgm  15428  sgmppw  15435  lgslem1  15448  lgsvalmod  15467  gausslemma2dlem6  15515  gausslemma2d  15517  lgseisenlem2  15519  lgseisenlem3  15520  lgsquadlem1  15525  lgsquadlem2  15526  lgsquad2lem2  15530  m1lgs  15533  2lgslem1c  15538  2lgslem3a  15541  2lgslem3b  15542  2lgslem3c  15543  2lgslem3d  15544  2sqlem8  15571