Theorem nn0cnd 9572

Description: A nonnegative integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0cnd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem nn0cnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2	1	nn0red 9571	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 8318	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  ℂcc 8141  ℕ₀cn0 9513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240  ax-rnegex 8252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-sn 3700  df-int 3955  df-inn 9255  df-n0 9514

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  10782  addmodlteq  10784  uzennn  10822  expaddzaplem  10968  expaddzap  10969  expmulzap  10971  nn0le2msqd  11106  nn0opthlem1d  11107  nn0opthd  11109  nn0opth2d  11110  facdiv  11125  bcp1n  11148  bcn2m1  11157  bcn2p1  11158  omgadd  11191  fihashssdif  11208  hashdifpr  11210  hashxp  11216  hashmap  11217  hashfibclem  11231  zfz1isolemsplit  11235  zfz1isolem1  11237  ccatval3  11312  ccatval21sw  11318  ccatlid  11319  ccatrid  11320  ccatass  11321  ccatrn  11322  lswccatn0lsw  11324  ccatalpha  11326  ccatws1lenp1bg  11348  wrdlenccats1lenm1g  11349  ccats1val2  11353  lswccats1  11356  swrdccat2  11388  pfxfv  11401  addlenpfx  11408  pfxtrcfvl  11414  pfxpfx  11425  lenrevpfxcctswrd  11429  ccats1pfxeq  11431  ccatopth2  11434  cats1un  11438  swrdccat3b  11457  cats1fvnd  11482  fsumconst  12165  hash2iun1dif1  12191  binomlem  12194  bcxmas  12200  arisum  12209  arisum2  12210  mertensabs  12248  effsumlt  12403  dvdsexp  12572  nn0ob  12619  divalglemnn  12629  divalgmod  12638  bitsinv1lem  12672  bezoutlemnewy  12717  bezoutlema  12720  bezoutlemb  12721  mulgcd  12737  absmulgcd  12738  mulgcdr  12739  gcddiv  12740  lcmgcd  12800  lcmid  12802  lcm1  12803  3lcm2e6woprm  12808  6lcm4e12  12809  mulgcddvds  12816  qredeu  12819  divgcdcoprm0  12823  divgcdcoprmex  12824  cncongr1  12825  cncongr2  12826  pw2dvdseulemle  12889  phiprmpw  12944  eulerthlema  12952  prmdiveq  12958  odzdvds  12968  powm2modprm  12975  coprimeprodsq  12980  pceulem  13017  pczpre  13020  pcqmul  13026  pcaddlem  13062  pcmpt  13066  pcmpt2  13067  sumhashdc  13070  pcfac  13073  oddprmdvds  13077  mul4sq  13117  4sqlem12  13125  ballotfilemfp1  13175  ballotfilemgun  13212  mulgnn0dir  13905  mulgnn0ass  13911  plyaddlem1  15738  plymullem1  15739  dvply1  15756  dvply2g  15757  0sgm  15979  sgmppw  15986  lgslem1  15999  lgsvalmod  16018  gausslemma2dlem6  16066  gausslemma2d  16068  lgseisenlem2  16070  lgseisenlem3  16071  lgsquadlem1  16076  lgsquadlem2  16077  lgsquad2lem2  16081  m1lgs  16084  2lgslem1c  16089  2lgslem3a  16092  2lgslem3b  16093  2lgslem3c  16094  2lgslem3d  16095  2sqlem8  16122  vtxdfifiun  16418  vtxdumgrfival  16419  p1evtxdeqfi  16433  wlklenvm1  16462  wlklenvm1g  16463  wlklenvclwlk  16494  clwwlkccatlem  16521  eupth2lem3lem3fi  16591  eupth2lem3lem6fi  16592  depindlem1  16627