Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divsubdirap GIF version

Theorem divsubdirap 8428
 Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by NM, 4-Mar-2005.)
Assertion
Ref Expression
divsubdirap ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → ((𝐴𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdirap
StepHypRef Expression
1 negcl 7926 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
2 divdirap 8417 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → ((𝐴 + -𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (-𝐵 / 𝐶)))
31, 2syl3an2 1233 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → ((𝐴 + -𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (-𝐵 / 𝐶)))
4 negsub 7974 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
54oveq1d 5755 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + -𝐵) / 𝐶) = ((𝐴𝐵) / 𝐶))
653adant3 984 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → ((𝐴 + -𝐵) / 𝐶) = ((𝐴𝐵) / 𝐶))
73, 6eqtr3d 2150 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → ((𝐴 / 𝐶) + (-𝐵 / 𝐶)) = ((𝐴𝐵) / 𝐶))
8 divnegap 8426 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) → -(𝐵 / 𝐶) = (-𝐵 / 𝐶))
983expb 1165 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → -(𝐵 / 𝐶) = (-𝐵 / 𝐶))
1093adant1 982 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → -(𝐵 / 𝐶) = (-𝐵 / 𝐶))
1110oveq2d 5756 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → ((𝐴 / 𝐶) + -(𝐵 / 𝐶)) = ((𝐴 / 𝐶) + (-𝐵 / 𝐶)))
12 divclap 8398 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
13123expb 1165 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
14133adant2 983 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
15 divclap 8398 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ)
16153expb 1165 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ)
17163adant1 982 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ)
1814, 17negsubd 8043 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → ((𝐴 / 𝐶) + -(𝐵 / 𝐶)) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
1911, 18eqtr3d 2150 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → ((𝐴 / 𝐶) + (-𝐵 / 𝐶)) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
207, 19eqtr3d 2150 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → ((𝐴𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 945   = wceq 1314   ∈ wcel 1463   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740  ℂcc 7582  0cc0 7584   + caddc 7587   − cmin 7897  -cneg 7898   # cap 8306   / cdiv 8392 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393 This theorem is referenced by:  divsubdirapd  8550  1mhlfehlf  8889  halfpm6th  8891  halfaddsub  8905  zeo  9107  cos2bnd  11366
 Copyright terms: Public domain W3C validator