Theorem clwwlknonex2lem1 16883

Description: Lemma 1 for clwwlknonex2 16885: Transformation of a special half-open integer range into a union of a smaller half-open integer range and an unordered pair. This Lemma would not hold for 𝑁 = 2, i.e., (♯‘𝑊) = 0, because (0..^(((♯‘𝑊) + 2) − 1)) = (0..^((0 + 2) − 1)) = (0..^1) = {0} ≠ { -1, 0} = (∅ ∪ { -1, 0}) = ((0..^(0 − 1)) ∪ {(0 − 1), 0}) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}). (Contributed by AV, 22-Sep-2018.) (Revised by AV, 26-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknonex2lem1	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (0..^(((♯‘𝑊) + 2) − 1)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}))

Proof of Theorem clwwlknonex2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 9949	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
2		2cnd 9386	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 8644	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℂ)
4	3	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (𝑁 − 2) ∈ ℂ)
5		eleq1 2301	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℂ))
6	5	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℂ))
7	4, 6	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
8		2cnd 9386	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → 2 ∈ ℂ)
9		1cnd 8348	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → 1 ∈ ℂ)
10	7, 8, 9	addsubd 8665	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (((♯‘𝑊) + 2) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) + 2))
11	10	oveq2d 6104	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (0..^(((♯‘𝑊) + 2) − 1)) = (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 2)))
12		oveq1 6095	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 − 2) − 1))
13	12	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 − 2) − 1))
14		uznn0sub 9970	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 3) ∈ ℕ0)
15		1cnd 8348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℂ)
16	1, 2, 15	subsub4d 8675	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) = (𝑁 − (2 + 1)))
17		2p1e3 9447	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
18	17	oveq2i 6099	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 − (2 + 1)) = (𝑁 − 3)
19	16, 18	eqtrdi 2287	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) = (𝑁 − 3))
20		nn0uz 9973	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
21	20	eqcomi 2242	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘0) = ℕ0
22	21	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (ℤ≥‘0) = ℕ0)
23	14, 19, 22	3eltr4d 2322	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
24	23	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((𝑁 − 2) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
25	13, 24	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
26		fzosplitpr 10669	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 2)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)}))
27	25, 26	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 2)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)}))
28	7, 9	npcand 8648	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
29	28	preq2d 3795	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → {((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)} = {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)})
30	29	uneq2d 3383	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)}) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}))
31	11, 27, 30	3eqtrd 2275	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (0..^(((♯‘𝑊) + 2) − 1)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∪ cun 3218  {cpr 3710  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8183  0cc0 8185  1c1 8186   + caddc 8188   − cmin 8504  2c2 9364  3c3 9365  ℕ₀cn0 9574  ℤ_≥cuz 9937  ..^cfzo 10566  ♯chash 11236

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567

This theorem is used by:  clwwlknonex2  16885