Theorem clwwlknonex2lem1 16432

Description: Lemma 1 for clwwlknonex2 16434: Transformation of a special half-open integer range into a union of a smaller half-open integer range and an unordered pair. This Lemma would not hold for 𝑁 = 2, i.e., (♯‘𝑊) = 0, because (0..^(((♯‘𝑊) + 2) − 1)) = (0..^((0 + 2) − 1)) = (0..^1) = {0} ≠ {-1, 0} = (∅ ∪ {-1, 0}) = ((0..^(0 − 1)) ∪ {(0 − 1), 0}) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}). (Contributed by AV, 22-Sep-2018.) (Revised by AV, 26-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknonex2lem1	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (0..^(((♯‘𝑊) + 2) − 1)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}))

Proof of Theorem clwwlknonex2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 9865	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
2		2cnd 9310	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 8584	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℂ)
4	3	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (𝑁 − 2) ∈ ℂ)
5		eleq1 2295	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℂ))
6	5	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℂ))
7	4, 6	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
8		2cnd 9310	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → 2 ∈ ℂ)
9		1cnd 8290	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → 1 ∈ ℂ)
10	7, 8, 9	addsubd 8605	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (((♯‘𝑊) + 2) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) + 2))
11	10	oveq2d 6066	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (0..^(((♯‘𝑊) + 2) − 1)) = (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 2)))
12		oveq1 6057	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 − 2) − 1))
13	12	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 − 2) − 1))
14		uznn0sub 9886	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 3) ∈ ℕ0)
15		1cnd 8290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℂ)
16	1, 2, 15	subsub4d 8615	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) = (𝑁 − (2 + 1)))
17		2p1e3 9371	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
18	17	oveq2i 6061	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 − (2 + 1)) = (𝑁 − 3)
19	16, 18	eqtrdi 2281	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) = (𝑁 − 3))
20		nn0uz 9889	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
21	20	eqcomi 2236	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘0) = ℕ0
22	21	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (ℤ≥‘0) = ℕ0)
23	14, 19, 22	3eltr4d 2316	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
24	23	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((𝑁 − 2) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
25	13, 24	eqeltrd 2309	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
26		fzosplitpr 10579	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 2)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)}))
27	25, 26	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 2)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)}))
28	7, 9	npcand 8588	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
29	28	preq2d 3775	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → {((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)} = {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)})
30	29	uneq2d 3373	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)}) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}))
31	11, 27, 30	3eqtrd 2269	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (0..^(((♯‘𝑊) + 2) − 1)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ∪ cun 3209  {cpr 3690  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  ℂcc 8125  0cc0 8127  1c1 8128   + caddc 8130   − cmin 8444  2c2 9288  3c3 9289  ℕ₀cn0 9496  ℤ_≥cuz 9853  ..^cfzo 10476  ♯chash 11138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477

This theorem is referenced by:  clwwlknonex2  16434