Theorem 0zd 9454

Description: Zero is an integer, deductive form (common case). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0zd	⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)

Proof of Theorem 0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9453	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
2	1	a1i 9	1 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  0cc0 7995  ℤcz 9442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092  ax-rnegex 8104

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-un 3201  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-iota 5277  df-fv 5325  df-ov 6003  df-neg 8316  df-z 9443

This theorem is referenced by:  fzctr  10325  fzosubel3  10397  frecfzennn  10643  frechashgf1o  10645  0tonninf  10657  1tonninf  10658  exp3val  10758  exp0  10760  bcval  10966  bccmpl  10971  bcval5  10980  bcpasc  10983  bccl  10984  hashcl  10998  hashfiv01gt1  10999  hashfz1  11000  hashen  11001  fihashneq0  11011  omgadd  11019  fihashdom  11020  fiubz  11046  fnfz0hash  11049  ffzo0hash  11051  wrdval  11069  snopiswrd  11076  wrdsymb0  11099  ccatfvalfi  11122  ccatcl  11123  ccatlen  11125  ccatsymb  11132  fzowrddc  11174  swrdval  11175  swrdspsleq  11194  pfxval  11201  fnpfx  11204  pfxclg  11205  pfxnd  11216  pfxwrdsymbg  11217  pfxccatin12lem1  11255  pfxccatin12  11260  swrdccat  11262  fzomaxdiflem  11618  fsumzcl  11908  fisum0diag  11947  fisum0diag2  11953  binomlem  11989  binom1dif  11993  isumnn0nn  11999  expcnvre  12009  explecnv  12011  pwm1geoserap1  12014  geolim  12017  geolim2  12018  geo2sum  12020  geoisum  12023  geoisumr  12024  mertenslemub  12040  mertenslemi1  12041  mertenslem2  12042  mertensabs  12043  fprod0diagfz  12134  eftcl  12160  efval  12167  eff  12169  efcvg  12172  efcvgfsum  12173  reefcl  12174  ege2le3  12177  efcj  12179  efaddlem  12180  eftlub  12196  effsumlt  12198  efgt1p2  12201  efgt1p  12202  eflegeo  12207  eirraplem  12283  dvdsmodexp  12301  dvdsmod  12368  3dvds  12370  bitsfzolem  12460  bitsfi  12463  bitsinv1lem  12467  bitsinv1  12468  gcdn0gt0  12494  gcdaddm  12500  gcdmultipled  12509  bezoutlemle  12524  nninfctlemfo  12556  nn0seqcvgd  12558  alginv  12564  algcvg  12565  algcvga  12568  algfx  12569  eucalgval2  12570  eucalgcvga  12575  eucalg  12576  lcmcllem  12584  lcmid  12597  mulgcddvds  12611  divgcdcoprmex  12619  cncongr1  12620  cncongr2  12621  phiprmpw  12739  modprm0  12772  pcpremul  12811  pceu  12813  pcmul  12819  pcqmul  12821  pcge0  12831  pcdvdsb  12838  pcneg  12843  pcgcd1  12846  pc2dvds  12848  pcz  12850  dvdsprmpweqle  12855  qexpz  12870  4sqlemafi  12913  4sqlem11  12919  ennnfonelemjn  12968  ennnfonelemh  12970  ennnfonelem0  12971  ennnfonelem1  12973  ennnfonelemom  12974  ennnfonelemkh  12978  ennnfonelemhf1o  12979  ennnfonelemex  12980  ennnfonelemrn  12985  ennnfonelemnn0  12988  ctinfomlemom  12993  mulgval  13654  mulgfng  13656  subgmulg  13720  elply2  15403  plyf  15405  elplyd  15409  ply1termlem  15410  plyaddlem1  15415  plymullem1  15416  plymullem  15418  plycoeid3  15425  plycolemc  15426  plycjlemc  15428  plycn  15430  plyrecj  15431  dvply1  15433  sgmppw  15660  0sgmppw  15661  mersenne  15665  lgsval  15677  lgsfvalg  15678  lgscllem  15680  lgsval2lem  15683  lgsneg1  15698  lgsne0  15711  lgsquad3  15757  wksfval  16028  iswlkg  16032  012of  16316  2o01f  16317  isomninnlem  16357  iswomninnlem  16376  ismkvnnlem  16379  dceqnconst  16387  dcapnconst  16388