Theorem 0zd 9357

Description: Zero is an integer, deductive form (common case). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0zd	⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)

Proof of Theorem 0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9356	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
2	1	a1i 9	1 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  0cc0 7898  ℤcz 9345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-1re 7992  ax-addrcl 7995  ax-rnegex 8007

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-neg 8219  df-z 9346

This theorem is referenced by:  fzctr  10227  fzosubel3  10291  frecfzennn  10537  frechashgf1o  10539  0tonninf  10551  1tonninf  10552  exp3val  10652  exp0  10654  bcval  10860  bccmpl  10865  bcval5  10874  bcpasc  10877  bccl  10878  hashcl  10892  hashfiv01gt1  10893  hashfz1  10894  hashen  10895  fihashneq0  10905  omgadd  10913  fihashdom  10914  fiubz  10940  fnfz0hash  10943  ffzo0hash  10945  wrdval  10957  snopiswrd  10964  wrdsymb0  10986  fzomaxdiflem  11296  fsumzcl  11586  fisum0diag  11625  fisum0diag2  11631  binomlem  11667  binom1dif  11671  isumnn0nn  11677  expcnvre  11687  explecnv  11689  pwm1geoserap1  11692  geolim  11695  geolim2  11696  geo2sum  11698  geoisum  11701  geoisumr  11702  mertenslemub  11718  mertenslemi1  11719  mertenslem2  11720  mertensabs  11721  fprod0diagfz  11812  eftcl  11838  efval  11845  eff  11847  efcvg  11850  efcvgfsum  11851  reefcl  11852  ege2le3  11855  efcj  11857  efaddlem  11858  eftlub  11874  effsumlt  11876  efgt1p2  11879  efgt1p  11880  eflegeo  11885  eirraplem  11961  dvdsmodexp  11979  dvdsmod  12046  3dvds  12048  bitsfzolem  12138  bitsfi  12141  bitsinv1lem  12145  bitsinv1  12146  gcdn0gt0  12172  gcdaddm  12178  gcdmultipled  12187  bezoutlemle  12202  nninfctlemfo  12234  nn0seqcvgd  12236  alginv  12242  algcvg  12243  algcvga  12246  algfx  12247  eucalgval2  12248  eucalgcvga  12253  eucalg  12254  lcmcllem  12262  lcmid  12275  mulgcddvds  12289  divgcdcoprmex  12297  cncongr1  12298  cncongr2  12299  phiprmpw  12417  modprm0  12450  pcpremul  12489  pceu  12491  pcmul  12497  pcqmul  12499  pcge0  12509  pcdvdsb  12516  pcneg  12521  pcgcd1  12524  pc2dvds  12526  pcz  12528  dvdsprmpweqle  12533  qexpz  12548  4sqlemafi  12591  4sqlem11  12597  ennnfonelemjn  12646  ennnfonelemh  12648  ennnfonelem0  12649  ennnfonelem1  12651  ennnfonelemom  12652  ennnfonelemkh  12656  ennnfonelemhf1o  12657  ennnfonelemex  12658  ennnfonelemrn  12663  ennnfonelemnn0  12666  ctinfomlemom  12671  mulgval  13330  mulgfng  13332  subgmulg  13396  elply2  15079  plyf  15081  elplyd  15085  ply1termlem  15086  plyaddlem1  15091  plymullem1  15092  plymullem  15094  plycoeid3  15101  plycolemc  15102  plycjlemc  15104  plycn  15106  plyrecj  15107  dvply1  15109  sgmppw  15336  0sgmppw  15337  mersenne  15341  lgsval  15353  lgsfvalg  15354  lgscllem  15356  lgsval2lem  15359  lgsneg1  15374  lgsne0  15387  lgsquad3  15433  012of  15748  2o01f  15749  isomninnlem  15787  iswomninnlem  15806  ismkvnnlem  15809  dceqnconst  15817  dcapnconst  15818