Theorem 0zd 9338

Description: Zero is an integer, deductive form (common case). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0zd	⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)

Proof of Theorem 0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9337	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
2	1	a1i 9	1 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  0cc0 7879  ℤcz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976  ax-rnegex 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-iota 5219  df-fv 5266  df-ov 5925  df-neg 8200  df-z 9327

This theorem is referenced by:  fzctr  10208  fzosubel3  10272  frecfzennn  10518  frechashgf1o  10520  0tonninf  10532  1tonninf  10533  exp3val  10633  exp0  10635  bcval  10841  bccmpl  10846  bcval5  10855  bcpasc  10858  bccl  10859  hashcl  10873  hashfiv01gt1  10874  hashfz1  10875  hashen  10876  fihashneq0  10886  omgadd  10894  fihashdom  10895  fiubz  10921  fnfz0hash  10924  ffzo0hash  10926  wrdval  10938  snopiswrd  10945  wrdsymb0  10967  fzomaxdiflem  11277  fsumzcl  11567  fisum0diag  11606  fisum0diag2  11612  binomlem  11648  binom1dif  11652  isumnn0nn  11658  expcnvre  11668  explecnv  11670  pwm1geoserap1  11673  geolim  11676  geolim2  11677  geo2sum  11679  geoisum  11682  geoisumr  11683  mertenslemub  11699  mertenslemi1  11700  mertenslem2  11701  mertensabs  11702  fprod0diagfz  11793  eftcl  11819  efval  11826  eff  11828  efcvg  11831  efcvgfsum  11832  reefcl  11833  ege2le3  11836  efcj  11838  efaddlem  11839  eftlub  11855  effsumlt  11857  efgt1p2  11860  efgt1p  11861  eflegeo  11866  eirraplem  11942  dvdsmodexp  11960  dvdsmod  12027  3dvds  12029  bitsfzolem  12118  gcdn0gt0  12145  gcdaddm  12151  gcdmultipled  12160  bezoutlemle  12175  nninfctlemfo  12207  nn0seqcvgd  12209  alginv  12215  algcvg  12216  algcvga  12219  algfx  12220  eucalgval2  12221  eucalgcvga  12226  eucalg  12227  lcmcllem  12235  lcmid  12248  mulgcddvds  12262  divgcdcoprmex  12270  cncongr1  12271  cncongr2  12272  phiprmpw  12390  modprm0  12423  pcpremul  12462  pceu  12464  pcmul  12470  pcqmul  12472  pcge0  12482  pcdvdsb  12489  pcneg  12494  pcgcd1  12497  pc2dvds  12499  pcz  12501  dvdsprmpweqle  12506  qexpz  12521  4sqlemafi  12564  4sqlem11  12570  ennnfonelemjn  12619  ennnfonelemh  12621  ennnfonelem0  12622  ennnfonelem1  12624  ennnfonelemom  12625  ennnfonelemkh  12629  ennnfonelemhf1o  12630  ennnfonelemex  12631  ennnfonelemrn  12636  ennnfonelemnn0  12639  ctinfomlemom  12644  mulgval  13252  mulgfng  13254  subgmulg  13318  elply2  14971  plyf  14973  elplyd  14977  ply1termlem  14978  plyaddlem1  14983  plymullem1  14984  plymullem  14986  plycoeid3  14993  plycolemc  14994  plycjlemc  14996  plycn  14998  plyrecj  14999  dvply1  15001  sgmppw  15228  0sgmppw  15229  mersenne  15233  lgsval  15245  lgsfvalg  15246  lgscllem  15248  lgsval2lem  15251  lgsneg1  15266  lgsne0  15279  lgsquad3  15325  012of  15640  2o01f  15641  isomninnlem  15674  iswomninnlem  15693  ismkvnnlem  15696  dceqnconst  15704  dcapnconst  15705