Theorem 0zd 9355

Description: Zero is an integer, deductive form (common case). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0zd	⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)

Proof of Theorem 0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9354	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
2	1	a1i 9	1 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  0cc0 7896  ℤcz 9343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993  ax-rnegex 8005

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-neg 8217  df-z 9344

This theorem is referenced by:  fzctr  10225  fzosubel3  10289  frecfzennn  10535  frechashgf1o  10537  0tonninf  10549  1tonninf  10550  exp3val  10650  exp0  10652  bcval  10858  bccmpl  10863  bcval5  10872  bcpasc  10875  bccl  10876  hashcl  10890  hashfiv01gt1  10891  hashfz1  10892  hashen  10893  fihashneq0  10903  omgadd  10911  fihashdom  10912  fiubz  10938  fnfz0hash  10941  ffzo0hash  10943  wrdval  10955  snopiswrd  10962  wrdsymb0  10984  fzomaxdiflem  11294  fsumzcl  11584  fisum0diag  11623  fisum0diag2  11629  binomlem  11665  binom1dif  11669  isumnn0nn  11675  expcnvre  11685  explecnv  11687  pwm1geoserap1  11690  geolim  11693  geolim2  11694  geo2sum  11696  geoisum  11699  geoisumr  11700  mertenslemub  11716  mertenslemi1  11717  mertenslem2  11718  mertensabs  11719  fprod0diagfz  11810  eftcl  11836  efval  11843  eff  11845  efcvg  11848  efcvgfsum  11849  reefcl  11850  ege2le3  11853  efcj  11855  efaddlem  11856  eftlub  11872  effsumlt  11874  efgt1p2  11877  efgt1p  11878  eflegeo  11883  eirraplem  11959  dvdsmodexp  11977  dvdsmod  12044  3dvds  12046  bitsfzolem  12136  bitsfi  12139  bitsinv1lem  12143  bitsinv1  12144  gcdn0gt0  12170  gcdaddm  12176  gcdmultipled  12185  bezoutlemle  12200  nninfctlemfo  12232  nn0seqcvgd  12234  alginv  12240  algcvg  12241  algcvga  12244  algfx  12245  eucalgval2  12246  eucalgcvga  12251  eucalg  12252  lcmcllem  12260  lcmid  12273  mulgcddvds  12287  divgcdcoprmex  12295  cncongr1  12296  cncongr2  12297  phiprmpw  12415  modprm0  12448  pcpremul  12487  pceu  12489  pcmul  12495  pcqmul  12497  pcge0  12507  pcdvdsb  12514  pcneg  12519  pcgcd1  12522  pc2dvds  12524  pcz  12526  dvdsprmpweqle  12531  qexpz  12546  4sqlemafi  12589  4sqlem11  12595  ennnfonelemjn  12644  ennnfonelemh  12646  ennnfonelem0  12647  ennnfonelem1  12649  ennnfonelemom  12650  ennnfonelemkh  12654  ennnfonelemhf1o  12655  ennnfonelemex  12656  ennnfonelemrn  12661  ennnfonelemnn0  12664  ctinfomlemom  12669  mulgval  13328  mulgfng  13330  subgmulg  13394  elply2  15055  plyf  15057  elplyd  15061  ply1termlem  15062  plyaddlem1  15067  plymullem1  15068  plymullem  15070  plycoeid3  15077  plycolemc  15078  plycjlemc  15080  plycn  15082  plyrecj  15083  dvply1  15085  sgmppw  15312  0sgmppw  15313  mersenne  15317  lgsval  15329  lgsfvalg  15330  lgscllem  15332  lgsval2lem  15335  lgsneg1  15350  lgsne0  15363  lgsquad3  15409  012of  15724  2o01f  15725  isomninnlem  15761  iswomninnlem  15780  ismkvnnlem  15783  dceqnconst  15791  dcapnconst  15792