ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zdiv GIF version

Theorem zdiv 9159
Description: Two ways to express "𝑀 divides 𝑁. (Contributed by NM, 3-Oct-2008.)
Assertion
Ref Expression
zdiv ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem zdiv
StepHypRef Expression
1 nnap0 8769 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 # 0)
21adantr 274 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 # 0)
3 nncn 8748 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
4 zcn 9079 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
5 zcn 9079 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
6 divcanap3 8478 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 # 0) → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = 𝑘)
763coml 1189 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 # 0 ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = 𝑘)
873expa 1182 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 # 0) ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = 𝑘)
95, 8sylan2 284 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 # 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = 𝑘)
1093adantl2 1139 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 # 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = 𝑘)
11 oveq1 5785 . . . . . . . . 9 ((𝑀 · 𝑘) = 𝑁 → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = (𝑁 / 𝑀))
1210, 11sylan9req 2194 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 # 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁) → 𝑘 = (𝑁 / 𝑀))
13 simplr 520 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 # 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
1412, 13eqeltrrd 2218 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 # 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)
1514exp31 362 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 # 0) → (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑀 · 𝑘) = 𝑁 → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)))
1615rexlimdv 2549 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 # 0) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
17 divcanap2 8460 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 # 0) → (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁)
18173com12 1186 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 # 0) → (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁)
19 oveq2 5786 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑁 / 𝑀) → (𝑀 · 𝑘) = (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)))
2019eqeq1d 2149 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑁 / 𝑀) → ((𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁))
2120rspcev 2790 . . . . . . 7 (((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁)
2221expcom 115 . . . . . 6 ((𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁 → ((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁))
2318, 22syl 14 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 # 0) → ((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁))
2416, 23impbid 128 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 # 0) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
25243expia 1184 . . 3 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 # 0 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)))
263, 4, 25syl2an 287 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 # 0 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)))
272, 26mpd 13 1 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 963   = wceq 1332  wcel 1481  wrex 2418   class class class wbr 3933  (class class class)co 5778  cc 7638  0cc0 7640   · cmul 7645   # cap 8363   / cdiv 8452  cn 8740  cz 9074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-cnex 7731  ax-resscn 7732  ax-1cn 7733  ax-1re 7734  ax-icn 7735  ax-addcl 7736  ax-addrcl 7737  ax-mulcl 7738  ax-mulrcl 7739  ax-addcom 7740  ax-mulcom 7741  ax-addass 7742  ax-mulass 7743  ax-distr 7744  ax-i2m1 7745  ax-0lt1 7746  ax-1rid 7747  ax-0id 7748  ax-rnegex 7749  ax-precex 7750  ax-cnre 7751  ax-pre-ltirr 7752  ax-pre-ltwlin 7753  ax-pre-lttrn 7754  ax-pre-apti 7755  ax-pre-ltadd 7756  ax-pre-mulgt0 7757  ax-pre-mulext 7758
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-int 3776  df-br 3934  df-opab 3994  df-id 4219  df-po 4222  df-iso 4223  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fv 5135  df-riota 5734  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-pnf 7822  df-mnf 7823  df-xr 7824  df-ltxr 7825  df-le 7826  df-sub 7955  df-neg 7956  df-reap 8357  df-ap 8364  df-div 8453  df-inn 8741  df-z 9075
This theorem is referenced by:  addmodlteq  10198
  Copyright terms: Public domain W3C validator