Theorem zdiv 9567

Description: Two ways to express "𝑀 divides 𝑁. (Contributed by NM, 3-Oct-2008.)

Assertion

Ref	Expression
zdiv	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem zdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnap0 9171	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 # 0)
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 # 0)
3		nncn 9150	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
4		zcn 9483	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
5		zcn 9483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
6		divcanap3 8877	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 # 0) → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = 𝑘)
7	6	3coml 1236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 # 0 ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = 𝑘)
8	7	3expa 1229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 # 0) ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = 𝑘)
9	5, 8	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 # 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = 𝑘)
10	9	3adantl2 1180	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 # 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = 𝑘)
11		oveq1 6024	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 · 𝑘) = 𝑁 → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = (𝑁 / 𝑀))
12	10, 11	sylan9req 2285	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 # 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁) → 𝑘 = (𝑁 / 𝑀))
13		simplr 529	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 # 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
14	12, 13	eqeltrrd 2309	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 # 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)
15	14	exp31 364	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 # 0) → (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑀 · 𝑘) = 𝑁 → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)))
16	15	rexlimdv 2649	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 # 0) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
17		divcanap2 8859	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 # 0) → (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁)
18	17	3com12 1233	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 # 0) → (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁)
19		oveq2 6025	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁 / 𝑀) → (𝑀 · 𝑘) = (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)))
20	19	eqeq1d 2240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑁 / 𝑀) → ((𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁))
21	20	rspcev 2910	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁)
22	21	expcom 116	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁 → ((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁))
23	18, 22	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 # 0) → ((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁))
24	16, 23	impbid 129	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 # 0) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
25	24	3expia 1231	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 # 0 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)))
26	3, 4, 25	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 # 0 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)))
27	2, 26	mpd 13	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2511   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017  ℂcc 8029  0cc0 8031   · cmul 8036   # cap 8760   / cdiv 8851  ℕcn 9142  ℤcz 9478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-z 9479

This theorem is referenced by:  addmodlteq  10659