Theorem efsep 12242

Description: Separate out the next term of the power series expansion of the exponential function. The last hypothesis allows the separated terms to be rearranged as desired. (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
efsep.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
efsep.2	⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
efsep.3	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
efsep.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
efsep.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
efsep.6	⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)))
efsep.7	⊢ (𝜑 → (𝐵 + ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀))) = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
efsep	⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑛   𝑘,𝑁,𝑛   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝐷(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem efsep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efsep.6	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)))
2		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
3		efsep.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
4	3	nn0zi 9491	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
5	4	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		eqidd 2230	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
7		eluznn0 9823	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8	3, 7	mpan 424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9		efsep.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10		efsep.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
11	10	eftvalcn 12208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
12	9, 11	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
13		eftcl 12205	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
14	9, 13	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
15	12, 14	eqeltrd 2306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
16	8, 15	sylan2 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
17	10	eftlcvg 12238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
18	9, 3, 17	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
19	2, 5, 6, 16, 18	isum1p 12043	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) = ((𝐹‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))(𝐹‘𝑘)))
20	10	eftvalcn 12208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑀) = ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀)))
21	9, 3, 20	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) = ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀)))
22		efsep.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
23	22	eqcomi 2233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 + 1) = 𝑁
24	23	fveq2i 5638	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) = (ℤ≥‘𝑁)
25	24	sumeq1i 11914	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))(𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘)
26	25	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))(𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘))
27	21, 26	oveq12d 6031	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))(𝐹‘𝑘)) = (((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘)))
28	19, 27	eqtrd 2262	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) = (((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘)))
29	28	oveq2d 6029	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)) = (𝐵 + (((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘))))
30		efsep.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
31		eftcl 12205	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℂ)
32	9, 3, 31	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℂ)
33		peano2nn0 9432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
34	3, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 + 1) ∈ ℕ0
35	22, 34	eqeltri 2302	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
36	10	eftlcl 12239	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
37	9, 35, 36	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
38	30, 32, 37	addassd 8192	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘)) = (𝐵 + (((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘))))
39	29, 38	eqtr4d 2265	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)) = ((𝐵 + ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘)))
40		efsep.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀))) = 𝐷)
41	40	oveq1d 6028	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘)) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘)))
42	1, 39, 41	3eqtrd 2266	1 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ↦ cmpt 4148  dom cdm 4723  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℂcc 8020  1c1 8023   + caddc 8025   / cdiv 8842  ℕ₀cn0 9392  ℤcz 9469  ℤ_≥cuz 9745  seqcseq 10699  ↑cexp 10790  !cfa 10977   ⇝ cli 11829  Σcsu 11904  expce 12193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-ico 10119  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-fac 10978  df-ihash 11028  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-clim 11830  df-sumdc 11905

This theorem is referenced by:  ef4p  12245  dveflem  15440