Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  efsep GIF version

Theorem efsep 11146
 Description: Separate out the next term of the power series expansion of the exponential function. The last hypothesis allows the separated terms to be rearranged as desired. (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
efsep.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
efsep.2 𝑁 = (𝑀 + 1)
efsep.3 𝑀 ∈ ℕ0
efsep.4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
efsep.5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
efsep.6 (𝜑 → (exp‘𝐴) = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘)))
efsep.7 (𝜑 → (𝐵 + ((𝐴𝑀) / (!‘𝑀))) = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
efsep (𝜑 → (exp‘𝐴) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑁)(𝐹𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑛   𝑘,𝑁,𝑛   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝐷(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem efsep
StepHypRef Expression
1 efsep.6 . 2 (𝜑 → (exp‘𝐴) = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘)))
2 eqid 2095 . . . . . 6 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
3 efsep.3 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ ℕ0
43nn0zi 8870 . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℤ
54a1i 9 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6 eqidd 2096 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
7 eluznn0 9185 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
83, 7mpan 416 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9 efsep.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
10 efsep.1 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
1110eftvalcn 11112 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
129, 11sylan 278 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
13 eftcl 11109 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
149, 13sylan 278 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
1512, 14eqeltrd 2171 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
168, 15sylan2 281 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1710eftlcvg 11142 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
189, 3, 17sylancl 405 . . . . . 6 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
192, 5, 6, 16, 18isum1p 11051 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) = ((𝐹𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))(𝐹𝑘)))
2010eftvalcn 11112 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑀) = ((𝐴𝑀) / (!‘𝑀)))
219, 3, 20sylancl 405 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑀) = ((𝐴𝑀) / (!‘𝑀)))
22 efsep.2 . . . . . . . . . 10 𝑁 = (𝑀 + 1)
2322eqcomi 2099 . . . . . . . . 9 (𝑀 + 1) = 𝑁
2423fveq2i 5343 . . . . . . . 8 (ℤ‘(𝑀 + 1)) = (ℤ𝑁)
2524sumeq1i 10922 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))(𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑁)(𝐹𝑘)
2625a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))(𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑁)(𝐹𝑘))
2721, 26oveq12d 5708 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))(𝐹𝑘)) = (((𝐴𝑀) / (!‘𝑀)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑁)(𝐹𝑘)))
2819, 27eqtrd 2127 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) = (((𝐴𝑀) / (!‘𝑀)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑁)(𝐹𝑘)))
2928oveq2d 5706 . . 3 (𝜑 → (𝐵 + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘)) = (𝐵 + (((𝐴𝑀) / (!‘𝑀)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑁)(𝐹𝑘))))
30 efsep.5 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
31 eftcl 11109 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℂ)
329, 3, 31sylancl 405 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℂ)
33 peano2nn0 8811 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
343, 33ax-mp 7 . . . . . 6 (𝑀 + 1) ∈ ℕ0
3522, 34eqeltri 2167 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ0
3610eftlcl 11143 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
379, 35, 36sylancl 405 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3830, 32, 37addassd 7607 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 + ((𝐴𝑀) / (!‘𝑀))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑁)(𝐹𝑘)) = (𝐵 + (((𝐴𝑀) / (!‘𝑀)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑁)(𝐹𝑘))))
3929, 38eqtr4d 2130 . 2 (𝜑 → (𝐵 + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘)) = ((𝐵 + ((𝐴𝑀) / (!‘𝑀))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑁)(𝐹𝑘)))
40 efsep.7 . . 3 (𝜑 → (𝐵 + ((𝐴𝑀) / (!‘𝑀))) = 𝐷)
4140oveq1d 5705 . 2 (𝜑 → ((𝐵 + ((𝐴𝑀) / (!‘𝑀))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑁)(𝐹𝑘)) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑁)(𝐹𝑘)))
421, 39, 413eqtrd 2131 1 (𝜑 → (exp‘𝐴) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑁)(𝐹𝑘)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1296   ∈ wcel 1445   ↦ cmpt 3921  dom cdm 4467  ‘cfv 5049  (class class class)co 5690  ℂcc 7445  1c1 7448   + caddc 7450   / cdiv 8236  ℕ0cn0 8771  ℤcz 8848  ℤ≥cuz 9118  seqcseq 10001  ↑cexp 10085  !cfa 10264   ⇝ cli 10837  Σcsu 10912  expce 11097 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561  ax-caucvg 7562 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-isom 5058  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-frec 6194  df-1o 6219  df-oadd 6223  df-er 6332  df-en 6538  df-dom 6539  df-fin 6540  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-2 8579  df-3 8580  df-4 8581  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-q 9204  df-rp 9234  df-ico 9460  df-fz 9574  df-fzo 9703  df-iseq 10002  df-seq3 10003  df-exp 10086  df-fac 10265  df-ihash 10315  df-cj 10407  df-re 10408  df-im 10409  df-rsqrt 10562  df-abs 10563  df-clim 10838  df-sumdc 10913 This theorem is referenced by:  ef4p  11149
 Copyright terms: Public domain W3C validator