Theorem efsep 12077

Description: Separate out the next term of the power series expansion of the exponential function. The last hypothesis allows the separated terms to be rearranged as desired. (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
efsep.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
efsep.2	⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
efsep.3	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
efsep.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
efsep.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
efsep.6	⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)))
efsep.7	⊢ (𝜑 → (𝐵 + ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀))) = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
efsep	⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑛   𝑘,𝑁,𝑛   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝐷(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem efsep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efsep.6	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)))
2		eqid 2206	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
3		efsep.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
4	3	nn0zi 9414	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
5	4	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		eqidd 2207	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
7		eluznn0 9740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8	3, 7	mpan 424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9		efsep.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10		efsep.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
11	10	eftvalcn 12043	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
12	9, 11	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
13		eftcl 12040	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
14	9, 13	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
15	12, 14	eqeltrd 2283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
16	8, 15	sylan2 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
17	10	eftlcvg 12073	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
18	9, 3, 17	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
19	2, 5, 6, 16, 18	isum1p 11878	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) = ((𝐹‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))(𝐹‘𝑘)))
20	10	eftvalcn 12043	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑀) = ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀)))
21	9, 3, 20	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) = ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀)))
22		efsep.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
23	22	eqcomi 2210	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 + 1) = 𝑁
24	23	fveq2i 5592	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) = (ℤ≥‘𝑁)
25	24	sumeq1i 11749	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))(𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘)
26	25	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))(𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘))
27	21, 26	oveq12d 5975	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))(𝐹‘𝑘)) = (((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘)))
28	19, 27	eqtrd 2239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) = (((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘)))
29	28	oveq2d 5973	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)) = (𝐵 + (((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘))))
30		efsep.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
31		eftcl 12040	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℂ)
32	9, 3, 31	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℂ)
33		peano2nn0 9355	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
34	3, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 + 1) ∈ ℕ0
35	22, 34	eqeltri 2279	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
36	10	eftlcl 12074	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
37	9, 35, 36	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
38	30, 32, 37	addassd 8115	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘)) = (𝐵 + (((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘))))
39	29, 38	eqtr4d 2242	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)) = ((𝐵 + ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘)))
40		efsep.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀))) = 𝐷)
41	40	oveq1d 5972	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘)) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘)))
42	1, 39, 41	3eqtrd 2243	1 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ↦ cmpt 4113  dom cdm 4683  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  ℂcc 7943  1c1 7946   + caddc 7948   / cdiv 8765  ℕ₀cn0 9315  ℤcz 9392  ℤ_≥cuz 9668  seqcseq 10614  ↑cexp 10705  !cfa 10892   ⇝ cli 11664  Σcsu 11739  expce 12028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-pre-mulext 8063  ax-arch 8064  ax-caucvg 8065

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-isom 5289  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-irdg 6469  df-frec 6490  df-1o 6515  df-oadd 6519  df-er 6633  df-en 6841  df-dom 6842  df-fin 6843  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675  df-div 8766  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-q 9761  df-rp 9796  df-ico 10036  df-fz 10151  df-fzo 10285  df-seqfrec 10615  df-exp 10706  df-fac 10893  df-ihash 10943  df-cj 11228  df-re 11229  df-im 11230  df-rsqrt 11384  df-abs 11385  df-clim 11665  df-sumdc 11740

This theorem is referenced by:  ef4p  12080  dveflem  15273