Theorem ssenneg 11234

Description: Subsets of a class of a negative size (a degenerate case). Together with sshashneg 11235 this shows that sseqn 11233 could not be extended beyond 𝑁 ∈ ℕ₀. (Contributed by Jim Kingdon, 22-May-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ssenneg	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ 𝑥 ≈ (1...𝑁)} = {∅})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝐴

Proof of Theorem ssenneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
3		0red 8293	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 ∈ ℝ)
4		1red 8307	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 1 ∈ ℝ)
5		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝑁 < 0)
6		0lt1 8419	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
7	6	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 < 1)
8	2, 3, 4, 5, 7	lttrd 8418	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝑁 < 1)
9		1z 9625	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
10		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
11		fzn 10401	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 1 ↔ (1...𝑁) = ∅))
12	9, 10, 11	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝑁 < 1 ↔ (1...𝑁) = ∅))
13	8, 12	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (1...𝑁) = ∅)
14	13	breq2d 4127	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝑥 ≈ (1...𝑁) ↔ 𝑥 ≈ ∅))
15		en0 7050	. . . 4 ⊢ (𝑥 ≈ ∅ ↔ 𝑥 = ∅)
16	14, 15	bitrdi 196	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝑥 ≈ (1...𝑁) ↔ 𝑥 = ∅))
17	16	rabbidv 2804	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ 𝑥 ≈ (1...𝑁)} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ 𝑥 = ∅})
18		0elpw 4283	. . 3 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴
19		rabsn 3762	. . 3 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 𝐴 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ 𝑥 = ∅} = {∅})
20	18, 19	ax-mp 5	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ 𝑥 = ∅} = {∅}
21	17, 20	eqtrdi 2283	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ 𝑥 ≈ (1...𝑁)} = {∅})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {crab 2526  ∅c0 3512  𝒫 cpw 3675  {csn 3695   class class class wbr 4115  (class class class)co 6060   ≈ cen 6988  ℝcr 8144  0cc0 8145  1c1 8146   < clt 8326  ℤcz 9599  ...cfz 10366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-addcom 8245  ax-addass 8247  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-ltadd 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-f1 5364  df-fo 5365  df-f1o 5366  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-en 6991  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-inn 9260  df-n0 9519  df-z 9600  df-uz 9877  df-fz 10367

This theorem is referenced by: (None)