Theorem ssenneg 11263

Description: Subsets of a class of a negative size (a degenerate case). Together with sshashneg 11264 this shows that sseqn 11262 could not be extended beyond 𝑁 ∈ ℕ₀. (Contributed by Jim Kingdon, 22-May-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ssenneg	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ 𝑥 ≈ (1...𝑁)} = {∅})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝐴

Proof of Theorem ssenneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
3		0red 8321	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 ∈ ℝ)
4		1red 8335	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 1 ∈ ℝ)
5		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝑁 < 0)
6		0lt1 8447	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
7	6	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 < 1)
8	2, 3, 4, 5, 7	lttrd 8446	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝑁 < 1)
9		1z 9653	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
10		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
11		fzn 10429	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 1 ↔ (1...𝑁) = ∅))
12	9, 10, 11	sylancr 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝑁 < 1 ↔ (1...𝑁) = ∅))
13	8, 12	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (1...𝑁) = ∅)
14	13	breq2d 4140	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝑥 ≈ (1...𝑁) ↔ 𝑥 ≈ ∅))
15		en0 7076	. . . 4 ⊢ (𝑥 ≈ ∅ ↔ 𝑥 = ∅)
16	14, 15	bitrdi 196	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝑥 ≈ (1...𝑁) ↔ 𝑥 = ∅))
17	16	rabbidv 2810	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ 𝑥 ≈ (1...𝑁)} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ 𝑥 = ∅})
18		0elpw 4299	. . 3 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴
19		rabsn 3775	. . 3 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 𝐴 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ 𝑥 = ∅} = {∅})
20	18, 19	ax-mp 5	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ 𝑥 = ∅} = {∅}
21	17, 20	eqtrdi 2287	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ 𝑥 ≈ (1...𝑁)} = {∅})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532  ∅c0 3520  𝒫 cpw 3688  {csn 3708   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079   ≈ cen 7014  ℝcr 8172  0cc0 8173  1c1 8174   < clt 8354  ℤcz 9627  ...cfz 10394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-en 7017  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395

This theorem is referenced by: (None)