Theorem umgredgprv 15936

Description: In a multigraph, an edge is an unordered pair of vertices. This theorem would not hold for arbitrary hyper-/pseudographs since either 𝑀 or 𝑁 could be proper classes ((𝐸‘𝑋) would be a loop in this case), which are no vertices of course. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Aug-2017.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgrnloopv.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
umgredgprv.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgredgprv	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))

Proof of Theorem umgredgprv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁})
2		umgruhgr 15934	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
3		umgredgprv.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		umgrnloopv.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
5	3, 4	uhgrss 15896	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝑋) ⊆ 𝑉)
6	2, 5	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝑋) ⊆ 𝑉)
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → (𝐸‘𝑋) ⊆ 𝑉)
8	1, 7	eqsstrrd 3261	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉)
9	3, 4	umgredg2en 15930	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝑋) ≈ 2o)
10	9	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → (𝐸‘𝑋) ≈ 2o)
11	1, 10	eqbrtrrd 4107	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → {𝑀, 𝑁} ≈ 2o)
12		pr2cv 7386	. . . . 5 ⊢ ({𝑀, 𝑁} ≈ 2o → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V))
13	11, 12	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V))
14		prid1g 3770	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ V → 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁})
15		prid2g 3771	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ V → 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁})
16	14, 15	anim12i 338	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → (𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁}))
17		prssg 3825	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁}) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ↔ {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉))
18	13, 16, 17	3syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ↔ {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉))
19	8, 18	mpbird 167	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))
20	19	ex 115	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197  {cpr 3667   class class class wbr 4083  dom cdm 4720  ‘cfv 5321  2_oc2o 6567   ≈ cen 6898  Vtxcvtx 15834  iEdgciedg 15835  UHGraphcuhgr 15888  UMGraphcumgr 15913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-suc 4463  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-1o 6573  df-2o 6574  df-er 6693  df-en 6901  df-sub 8335  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-dec 9595  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-edgf 15827  df-vtx 15836  df-iedg 15837  df-uhgrm 15890  df-upgren 15914  df-umgren 15915

This theorem is referenced by:  umgrnloop  15937  usgredgprv  16015