Theorem umgredgprv 15993

Description: In a multigraph, an edge is an unordered pair of vertices. This theorem would not hold for arbitrary hyper-/pseudographs since either 𝑀 or 𝑁 could be proper classes ((𝐸‘𝑋) would be a loop in this case), which are no vertices of course. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Aug-2017.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgrnloopv.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
umgredgprv.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgredgprv	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))

Proof of Theorem umgredgprv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁})
2		umgruhgr 15991	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
3		umgredgprv.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		umgrnloopv.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
5	3, 4	uhgrss 15953	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝑋) ⊆ 𝑉)
6	2, 5	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝑋) ⊆ 𝑉)
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → (𝐸‘𝑋) ⊆ 𝑉)
8	1, 7	eqsstrrd 3264	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉)
9	3, 4	umgredg2en 15987	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝑋) ≈ 2o)
10	9	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → (𝐸‘𝑋) ≈ 2o)
11	1, 10	eqbrtrrd 4112	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → {𝑀, 𝑁} ≈ 2o)
12		pr2cv 7405	. . . . 5 ⊢ ({𝑀, 𝑁} ≈ 2o → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V))
13	11, 12	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V))
14		prid1g 3775	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ V → 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁})
15		prid2g 3776	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ V → 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁})
16	14, 15	anim12i 338	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → (𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁}))
17		prssg 3830	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁}) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ↔ {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉))
18	13, 16, 17	3syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ↔ {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉))
19	8, 18	mpbird 167	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))
20	19	ex 115	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ⊆ wss 3200  {cpr 3670   class class class wbr 4088  dom cdm 4725  ‘cfv 5326  2_oc2o 6579   ≈ cen 6910  Vtxcvtx 15890  iEdgciedg 15891  UHGraphcuhgr 15945  UMGraphcumgr 15970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-addcom 8135  ax-mulcom 8136  ax-addass 8137  ax-mulass 8138  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-1rid 8142  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-cnre 8146

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-1st 6306  df-2nd 6307  df-1o 6585  df-2o 6586  df-er 6705  df-en 6913  df-sub 8355  df-inn 9147  df-2 9205  df-3 9206  df-4 9207  df-5 9208  df-6 9209  df-7 9210  df-8 9211  df-9 9212  df-n0 9406  df-dec 9615  df-ndx 13106  df-slot 13107  df-base 13109  df-edgf 15883  df-vtx 15892  df-iedg 15893  df-uhgrm 15947  df-upgren 15971  df-umgren 15972

This theorem is referenced by:  umgrnloop  15994  usgredgprv  16074