Theorem umgredgprv 15872

Description: In a multigraph, an edge is an unordered pair of vertices. This theorem would not hold for arbitrary hyper-/pseudographs since either 𝑀 or 𝑁 could be proper classes ((𝐸‘𝑋) would be a loop in this case), which are no vertices of course. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Aug-2017.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgrnloopv.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
umgredgprv.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgredgprv	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))

Proof of Theorem umgredgprv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁})
2		umgruhgr 15870	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
3		umgredgprv.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		umgrnloopv.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
5	3, 4	uhgrss 15832	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝑋) ⊆ 𝑉)
6	2, 5	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝑋) ⊆ 𝑉)
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → (𝐸‘𝑋) ⊆ 𝑉)
8	1, 7	eqsstrrd 3239	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉)
9	3, 4	umgredg2en 15866	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝑋) ≈ 2o)
10	9	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → (𝐸‘𝑋) ≈ 2o)
11	1, 10	eqbrtrrd 4084	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → {𝑀, 𝑁} ≈ 2o)
12		pr2cv 7333	. . . . 5 ⊢ ({𝑀, 𝑁} ≈ 2o → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V))
13	11, 12	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V))
14		prid1g 3748	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ V → 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁})
15		prid2g 3749	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ V → 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁})
16	14, 15	anim12i 338	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → (𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁}))
17		prssg 3802	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁}) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ↔ {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉))
18	13, 16, 17	3syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ↔ {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉))
19	8, 18	mpbird 167	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))
20	19	ex 115	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  Vcvv 2777   ⊆ wss 3175  {cpr 3645   class class class wbr 4060  dom cdm 4694  ‘cfv 5291  2_oc2o 6521   ≈ cen 6850  Vtxcvtx 15772  iEdgciedg 15773  UHGraphcuhgr 15824  UMGraphcumgr 15849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4179  ax-nul 4187  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1cn 8055  ax-1re 8056  ax-icn 8057  ax-addcl 8058  ax-addrcl 8059  ax-mulcl 8060  ax-addcom 8062  ax-mulcom 8063  ax-addass 8064  ax-mulass 8065  ax-distr 8066  ax-i2m1 8067  ax-1rid 8069  ax-0id 8070  ax-rnegex 8071  ax-cnre 8073

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-csb 3103  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-nul 3470  df-if 3581  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-tr 4160  df-id 4359  df-iord 4432  df-on 4434  df-suc 4437  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-f1 5296  df-fo 5297  df-f1o 5298  df-fv 5299  df-riota 5924  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-1st 6251  df-2nd 6252  df-1o 6527  df-2o 6528  df-er 6645  df-en 6853  df-sub 8282  df-inn 9074  df-2 9132  df-3 9133  df-4 9134  df-5 9135  df-6 9136  df-7 9137  df-8 9138  df-9 9139  df-n0 9333  df-dec 9542  df-ndx 12996  df-slot 12997  df-base 12999  df-edgf 15765  df-vtx 15774  df-iedg 15775  df-uhgrm 15826  df-upgren 15850  df-umgren 15851

This theorem is referenced by:  umgrnloop  15873  usgredgprv  15951