Theorem umgredgprv 16478

Description: In a multigraph, an edge is an unordered pair of vertices. This theorem would not hold for arbitrary hyper-/pseudographs since either 𝑀 or 𝑁 could be proper classes ((𝐸‘𝑋) would be a loop in this case), which are no vertices of course. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Aug-2017.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgrnloopv.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
umgredgprv.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgredgprv	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))

Proof of Theorem umgredgprv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁})
2		umgruhgr 16476	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
3		umgredgprv.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		umgrnloopv.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
5	3, 4	uhgrss 16438	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝑋) ⊆ 𝑉)
6	2, 5	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝑋) ⊆ 𝑉)
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → (𝐸‘𝑋) ⊆ 𝑉)
8	1, 7	eqsstrrd 3285	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉)
9	3, 4	umgredg2en 16472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝑋) ≈ 2o)
10	9	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → (𝐸‘𝑋) ≈ 2o)
11	1, 10	eqbrtrrd 4154	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → {𝑀, 𝑁} ≈ 2o)
12		pr2cv 7544	. . . . 5 ⊢ ({𝑀, 𝑁} ≈ 2o → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V))
13	11, 12	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V))
14		prid1g 3815	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ V → 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁})
15		prid2g 3816	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ V → 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁})
16	14, 15	anim12i 338	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → (𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁}))
17		prssg 3872	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁}) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ↔ {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉))
18	13, 16, 17	3syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ↔ {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉))
19	8, 18	mpbird 167	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))
20	19	ex 115	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  {cpr 3710   class class class wbr 4130  dom cdm 4774  ‘cfv 5377  2_oc2o 6681   ≈ cen 7020  Vtxcvtx 16375  iEdgciedg 16376  UHGraphcuhgr 16430  UMGraphcumgr 16455

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-sub 8501  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-dec 9783  df-ndx 13406  df-slot 13407  df-base 13409  df-edgf 16368  df-vtx 16377  df-iedg 16378  df-uhgrm 16432  df-upgren 16456  df-umgren 16457

This theorem is used by:  umgrnloop  16479  usgredgprv  16559