Theorem vtxlpfi 16285

Description: In a finite graph, the number of loops from a given vertex is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdgval.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdgval.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdgval.a	⊢ 𝐴 = dom 𝐼
vtxdgfifival.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
vtxdgfifival.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
vtxdgfifival.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
vtxdgfifival.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)

Assertion

Ref	Expression
vtxlpfi	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem vtxlpfi

Dummy variables 𝑟 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdgfifival.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		vtxdgfifival.v	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
3	2	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → 𝑉 ∈ Fin)
4		simprl 531	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → 𝑝 ∈ 𝑉)
5		simprr 533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → 𝑞 ∈ 𝑉)
6		fidceq 7124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → DECID 𝑝 = 𝑞)
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → DECID 𝑝 = 𝑞)
8	7	ralrimivva 2624	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ 𝑉 ∀𝑞 ∈ 𝑉 DECID 𝑝 = 𝑞)
9	8	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → ∀𝑝 ∈ 𝑉 ∀𝑞 ∈ 𝑉 DECID 𝑝 = 𝑞)
10		vtxdgfifival.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
11	10	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ 𝑉)
12		vtxdgfifival.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
13		vtxdgval.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = dom 𝐼
14	13	eleq2i 2299	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 ↔ 𝑟 ∈ dom 𝐼)
15	14	biimpi 120	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ dom 𝐼)
16		vtxdgval.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
17		vtxdgval.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
18	16, 17	upgrss 16094	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑟 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑟) ⊆ 𝑉)
19	12, 15, 18	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝐼‘𝑟) ⊆ 𝑉)
20	12	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ UPGraph)
21	16, 17	upgrfen 16092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
22	21	ffnd 5509	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐼 Fn dom 𝐼)
23	13	fneq2i 5451	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 Fn 𝐴 ↔ 𝐼 Fn dom 𝐼)
24	22, 23	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐼 Fn 𝐴)
25	20, 24	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐼 Fn 𝐴)
26		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ 𝐴)
27	16, 17	upgrfi 16097	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼 Fn 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝐼‘𝑟) ∈ Fin)
28	20, 25, 26, 27	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝐼‘𝑟) ∈ Fin)
29	9, 11, 19, 28	eqsndc 7163	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → DECID (𝐼‘𝑟) = {𝑈})
30	29	ralrimiva 2615	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ 𝐴 DECID (𝐼‘𝑟) = {𝑈})
31		fveqeq2 5679	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → ((𝐼‘𝑟) = {𝑈} ↔ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}))
32	31	dcbid 846	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (DECID (𝐼‘𝑟) = {𝑈} ↔ DECID (𝐼‘𝑥) = {𝑈}))
33	32	cbvralv 2778	. . 3 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐴 DECID (𝐼‘𝑟) = {𝑈} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID (𝐼‘𝑥) = {𝑈})
34	30, 33	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID (𝐼‘𝑥) = {𝑈})
35	1, 34	ssfirab 7197	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  {crab 2524   ⊆ wss 3211  𝒫 cpw 3669  {csn 3689   class class class wbr 4109  dom cdm 4749   Fn wfn 5347  ‘cfv 5352  1_oc1o 6640  2_oc2o 6641   ≈ cen 6973  Fincfn 6975  Vtxcvtx 16007  iEdgciedg 16008  UPGraphcupgr 16086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-1o 6647  df-2o 6648  df-er 6767  df-en 6976  df-fin 6978  df-sub 8446  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-dec 9710  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-edgf 16000  df-vtx 16009  df-iedg 16010  df-upgren 16088

This theorem is referenced by:  vtxdgfifival  16286  vtxdgfif  16288  vtxdfifiun  16292  vtxd0nedgbfi  16294  vtxduspgrfvedgfi  16296