Theorem vtxlpfi 16411

Description: In a finite graph, the number of loops from a given vertex is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdgval.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdgval.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdgval.a	⊢ 𝐴 = dom 𝐼
vtxdgfifival.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
vtxdgfifival.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
vtxdgfifival.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
vtxdgfifival.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)

Assertion

Ref	Expression
vtxlpfi	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem vtxlpfi

Dummy variables 𝑟 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdgfifival.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		vtxdgfifival.v	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
3	2	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → 𝑉 ∈ Fin)
4		simprl 531	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → 𝑝 ∈ 𝑉)
5		simprr 533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → 𝑞 ∈ 𝑉)
6		fidceq 7137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → DECID 𝑝 = 𝑞)
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → DECID 𝑝 = 𝑞)
8	7	ralrimivva 2626	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ 𝑉 ∀𝑞 ∈ 𝑉 DECID 𝑝 = 𝑞)
9	8	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → ∀𝑝 ∈ 𝑉 ∀𝑞 ∈ 𝑉 DECID 𝑝 = 𝑞)
10		vtxdgfifival.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
11	10	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ 𝑉)
12		vtxdgfifival.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
13		vtxdgval.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = dom 𝐼
14	13	eleq2i 2301	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 ↔ 𝑟 ∈ dom 𝐼)
15	14	biimpi 120	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ dom 𝐼)
16		vtxdgval.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
17		vtxdgval.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
18	16, 17	upgrss 16220	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑟 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑟) ⊆ 𝑉)
19	12, 15, 18	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝐼‘𝑟) ⊆ 𝑉)
20	12	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ UPGraph)
21	16, 17	upgrfen 16218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
22	21	ffnd 5514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐼 Fn dom 𝐼)
23	13	fneq2i 5456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 Fn 𝐴 ↔ 𝐼 Fn dom 𝐼)
24	22, 23	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐼 Fn 𝐴)
25	20, 24	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐼 Fn 𝐴)
26		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ 𝐴)
27	16, 17	upgrfi 16223	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼 Fn 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝐼‘𝑟) ∈ Fin)
28	20, 25, 26, 27	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝐼‘𝑟) ∈ Fin)
29	9, 11, 19, 28	eqsndc 7176	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → DECID (𝐼‘𝑟) = {𝑈})
30	29	ralrimiva 2617	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ 𝐴 DECID (𝐼‘𝑟) = {𝑈})
31		fveqeq2 5684	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → ((𝐼‘𝑟) = {𝑈} ↔ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}))
32	31	dcbid 846	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (DECID (𝐼‘𝑟) = {𝑈} ↔ DECID (𝐼‘𝑥) = {𝑈}))
33	32	cbvralv 2780	. . 3 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐴 DECID (𝐼‘𝑟) = {𝑈} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID (𝐼‘𝑥) = {𝑈})
34	30, 33	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID (𝐼‘𝑥) = {𝑈})
35	1, 34	ssfirab 7210	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  {crab 2526   ⊆ wss 3214  𝒫 cpw 3674  {csn 3694   class class class wbr 4114  dom cdm 4754   Fn wfn 5352  ‘cfv 5357  1_oc1o 6653  2_oc2o 6654   ≈ cen 6986  Fincfn 6988  Vtxcvtx 16133  iEdgciedg 16134  UPGraphcupgr 16212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-en 6989  df-fin 6991  df-sub 8462  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-dec 9728  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-edgf 16126  df-vtx 16135  df-iedg 16136  df-upgren 16214

This theorem is referenced by:  vtxdgfifival  16412  vtxdgfif  16414  vtxdfifiun  16418  vtxd0nedgbfi  16420  vtxduspgrfvedgfi  16422