Theorem vtxlpfi 16160

Description: In a finite graph, the number of loops from a given vertex is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdgval.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdgval.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdgval.a	⊢ 𝐴 = dom 𝐼
vtxdgfifival.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
vtxdgfifival.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
vtxdgfifival.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
vtxdgfifival.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)

Assertion

Ref	Expression
vtxlpfi	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem vtxlpfi

Dummy variables 𝑟 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdgfifival.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		vtxdgfifival.v	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
3	2	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → 𝑉 ∈ Fin)
4		simprl 531	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → 𝑝 ∈ 𝑉)
5		simprr 533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → 𝑞 ∈ 𝑉)
6		fidceq 7056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → DECID 𝑝 = 𝑞)
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1273	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → DECID 𝑝 = 𝑞)
8	7	ralrimivva 2614	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ 𝑉 ∀𝑞 ∈ 𝑉 DECID 𝑝 = 𝑞)
9	8	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → ∀𝑝 ∈ 𝑉 ∀𝑞 ∈ 𝑉 DECID 𝑝 = 𝑞)
10		vtxdgfifival.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
11	10	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ 𝑉)
12		vtxdgfifival.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
13		vtxdgval.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = dom 𝐼
14	13	eleq2i 2298	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 ↔ 𝑟 ∈ dom 𝐼)
15	14	biimpi 120	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ dom 𝐼)
16		vtxdgval.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
17		vtxdgval.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
18	16, 17	upgrss 15969	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑟 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑟) ⊆ 𝑉)
19	12, 15, 18	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝐼‘𝑟) ⊆ 𝑉)
20	12	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ UPGraph)
21	16, 17	upgrfen 15967	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
22	21	ffnd 5483	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐼 Fn dom 𝐼)
23	13	fneq2i 5425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 Fn 𝐴 ↔ 𝐼 Fn dom 𝐼)
24	22, 23	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐼 Fn 𝐴)
25	20, 24	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐼 Fn 𝐴)
26		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ 𝐴)
27	16, 17	upgrfi 15972	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼 Fn 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝐼‘𝑟) ∈ Fin)
28	20, 25, 26, 27	syl3anc 1273	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝐼‘𝑟) ∈ Fin)
29	9, 11, 19, 28	eqsndc 7095	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → DECID (𝐼‘𝑟) = {𝑈})
30	29	ralrimiva 2605	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ 𝐴 DECID (𝐼‘𝑟) = {𝑈})
31		fveqeq2 5648	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → ((𝐼‘𝑟) = {𝑈} ↔ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}))
32	31	dcbid 845	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (DECID (𝐼‘𝑟) = {𝑈} ↔ DECID (𝐼‘𝑥) = {𝑈}))
33	32	cbvralv 2767	. . 3 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐴 DECID (𝐼‘𝑟) = {𝑈} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID (𝐼‘𝑥) = {𝑈})
34	30, 33	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID (𝐼‘𝑥) = {𝑈})
35	1, 34	ssfirab 7129	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  {crab 2514   ⊆ wss 3200  𝒫 cpw 3652  {csn 3669   class class class wbr 4088  dom cdm 4725   Fn wfn 5321  ‘cfv 5326  1_oc1o 6575  2_oc2o 6576   ≈ cen 6907  Fincfn 6909  Vtxcvtx 15882  iEdgciedg 15883  UPGraphcupgr 15961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-1o 6582  df-2o 6583  df-er 6702  df-en 6910  df-fin 6912  df-sub 8352  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-dec 9612  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-edgf 15875  df-vtx 15884  df-iedg 15885  df-upgren 15963

This theorem is referenced by:  vtxdgfifival  16161  vtxdgfif  16163  vtxdfifiun  16167  vtxd0nedgbfi  16169  vtxduspgrfvedgfi  16171