Theorem uspgrupgrushgr 16026

Description: A graph is a simple pseudograph iff it is a pseudograph and a simple hypergraph. (Contributed by AV, 30-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uspgrupgrushgr	⊢ (𝐺 ∈ USPGraph ↔ (𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐺 ∈ USHGraph))

Proof of Theorem uspgrupgrushgr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgrupgr 16025	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
2		uspgrushgr 16024	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ USHGraph)
3	1, 2	jca 306	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → (𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐺 ∈ USHGraph))
4		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
6	4, 5	ushgrfm 15918	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USHGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥})
7		edgvalg 15903	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
8		upgredgssen 15983	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (Edg‘𝐺) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
9	7, 8	eqsstrrd 3262	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → ran (iEdg‘𝐺) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
10		f1ssr 5546	. . . 4 ⊢ (((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥} ∧ ran (iEdg‘𝐺) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
11	6, 9, 10	syl2anr 290	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐺 ∈ USHGraph) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
12	4, 5	isuspgren 16001	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐺 ∈ USPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}))
13	12	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐺 ∈ USHGraph) → (𝐺 ∈ USPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}))
14	11, 13	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐺 ∈ USHGraph) → 𝐺 ∈ USPGraph)
15	3, 14	impbii 126	1 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph ↔ (𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐺 ∈ USHGraph))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  {crab 2512   ⊆ wss 3198  𝒫 cpw 3650   class class class wbr 4086  dom cdm 4723  ran crn 4724  –1-1→wf1 5321  ‘cfv 5324  1_oc1o 6570  2_oc2o 6571   ≈ cen 6902  Vtxcvtx 15856  iEdgciedg 15857  Edgcedg 15901  USHGraphcushgr 15912  UPGraphcupgr 15935  USPGraphcuspgr 15997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-1o 6577  df-2o 6578  df-en 6905  df-sub 8345  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-dec 9605  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-edgf 15849  df-vtx 15858  df-iedg 15859  df-edg 15902  df-ushgrm 15914  df-upgren 15937  df-uspgren 15999

This theorem is referenced by: (None)