Theorem uspgr1eopdc 16496

Description: A simple pseudograph with (at least) two vertices and one edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 16-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgr1eopdc.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑊)
uspgr1eopdc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
uspgr1eopdc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
uspgr1eopdc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
uspgr1eopdc.dc	⊢ (𝜑 → DECID 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
uspgr1eopdc	⊢ (𝜑 → ⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩ ∈ USPGraph)

Proof of Theorem uspgr1eopdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. 2 ⊢ (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩)
2		uspgr1eopdc.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		uspgr1eopdc.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		uspgr1eopdc.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑊)
5		uspgr1eopdc.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
6		prexg 4349	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → {𝐵, 𝐶} ∈ V)
7	3, 5, 6	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ V)
8		opexg 4368	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ V) → ⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩ ∈ V)
9	2, 7, 8	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩ ∈ V)
10		snexg 4321	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩ ∈ V → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V)
11	9, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V)
12		opvtxfv 16275	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = 𝑉)
13	4, 11, 12	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = 𝑉)
14	3, 13	eleqtrrd 2318	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩))
15	5, 13	eleqtrrd 2318	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩))
16		opiedgfv 16278	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
17	4, 11, 16	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
18		uspgr1eopdc.dc	. 2 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐵 = 𝐶)
19	1, 2, 14, 15, 17, 18	uspgr1edc 16493	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩ ∈ USPGraph)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  {csn 3709  {cpr 3710  ⟨cop 3712  ‘cfv 5377  Vtxcvtx 16265  iEdgciedg 16266  USPGraphcuspgr 16406

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-sub 8499  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-dec 9780  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-edgf 16258  df-vtx 16267  df-iedg 16268  df-uspgren 16408

This theorem is used by:  uspgr1ewopdc  16497