Theorem 0g0 18348

Description: The identity element function evaluates to the empty set on an empty structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0g0	⊢ ∅ = (0g‘∅)

Proof of Theorem 0g0

Dummy variables 𝑒 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		base0 16917	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (+g‘∅) = (+g‘∅)
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ (0g‘∅) = (0g‘∅)
4	1, 2, 3	grpidval 18345	. 2 ⊢ (0g‘∅) = (℩𝑒(𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥)))
5		noel 4264	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑒 ∈ ∅
6	5	intnanr 488	. . . . 5 ⊢ ¬ (𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥))
7	6	nex 1803	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑒(𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥))
8		euex 2577	. . . 4 ⊢ (∃!𝑒(𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥)) → ∃𝑒(𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥)))
9	7, 8	mto 196	. . 3 ⊢ ¬ ∃!𝑒(𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥))
10		iotanul 6411	. . 3 ⊢ (¬ ∃!𝑒(𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥)) → (℩𝑒(𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥))) = ∅)
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (℩𝑒(𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥))) = ∅
12	4, 11	eqtr2i 2767	1 ⊢ ∅ = (0g‘∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106  ∃!weu 2568  ∀wral 3064  ∅c0 4256  ℩cio 6389  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  +_gcplusg 16962  0_gc0g 17150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-1cn 10929  ax-addcl 10931

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-nn 11974  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-0g 17152

This theorem is referenced by:  frmd0  18499  ringidval  19739