Theorem 0g0 18710

Description: The identity element function evaluates to the empty set on an empty structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0g0	⊢ ∅ = (0g‘∅)

Proof of Theorem 0g0

Dummy variables 𝑒 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		base0 17262	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (+g‘∅) = (+g‘∅)
3		eqid 2765	. . 3 ⊢ (0g‘∅) = (0g‘∅)
4	1, 2, 3	grpidval 18707	. 2 ⊢ (0g‘∅) = (℩𝑒(𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥)))
5		noel 4293	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑒 ∈ ∅
6	5	intnanr 492	. . . . 5 ⊢ ¬ (𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥))
7	6	nex 1823	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑒(𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥))
8		euex 2607	. . . 4 ⊢ (∃!𝑒(𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥)) → ∃𝑒(𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥)))
9	7, 8	mto 200	. . 3 ⊢ ¬ ∃!𝑒(𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥))
10		iotanul 6505	. . 3 ⊢ (¬ ∃!𝑒(𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥)) → (℩𝑒(𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥))) = ∅)
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (℩𝑒(𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥))) = ∅
12	4, 11	eqtr2i 2789	1 ⊢ ∅ = (0g‘∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 400   = wceq 1563  ∃wex 1802   ∈ wcel 2145  ∃!weu 2598  ∀wral 3079  ∅c0 4288  ℩cio 6479  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  +_gcplusg 17298  0_gc0g 17480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-1cn 11146  ax-addcl 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-nn 12222  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-0g 17482

This theorem is referenced by:  frmd0  18907  ringidval  20253