Theorem 0g0 18263

Description: The identity element function evaluates to the empty set on an empty structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0g0	⊢ ∅ = (0g‘∅)

Proof of Theorem 0g0

Dummy variables 𝑒 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		base0 16845	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (+g‘∅) = (+g‘∅)
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ (0g‘∅) = (0g‘∅)
4	1, 2, 3	grpidval 18260	. 2 ⊢ (0g‘∅) = (℩𝑒(𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥)))
5		noel 4261	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑒 ∈ ∅
6	5	intnanr 487	. . . . 5 ⊢ ¬ (𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥))
7	6	nex 1804	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑒(𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥))
8		euex 2577	. . . 4 ⊢ (∃!𝑒(𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥)) → ∃𝑒(𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥)))
9	7, 8	mto 196	. . 3 ⊢ ¬ ∃!𝑒(𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥))
10		iotanul 6396	. . 3 ⊢ (¬ ∃!𝑒(𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥)) → (℩𝑒(𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥))) = ∅)
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (℩𝑒(𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥))) = ∅
12	4, 11	eqtr2i 2767	1 ⊢ ∅ = (0g‘∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108  ∃!weu 2568  ∀wral 3063  ∅c0 4253  ℩cio 6374  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  +_gcplusg 16888  0_gc0g 17067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-1cn 10860  ax-addcl 10862

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-nn 11904  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-0g 17069

This theorem is referenced by:  frmd0  18414  ringidval  19654