Theorem ringidval 19834

Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidval.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringidval.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidval	⊢ 1 = (0g‘𝐺)

Proof of Theorem ringidval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ur 19833	. . . . 5 ⊢ 1r = (0g ∘ mulGrp)
2	1	fveq1i 6826	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅)
3		fnmgp 19817	. . . . 5 ⊢ mulGrp Fn V
4		fvco2 6921	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
5	3, 4	mpan 687	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
6	2, 5	eqtrid 2788	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
7		0g0 18445	. . . 4 ⊢ ∅ = (0g‘∅)
8		fvprc 6817	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = ∅)
9		fvprc 6817	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
10	9	fveq2d 6829	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘∅))
11	7, 8, 10	3eqtr4a 2802	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
12	6, 11	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
13		ringidval.u	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
14		ringidval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
15	14	fveq2i 6828	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
16	12, 13, 15	3eqtr4i 2774	1 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441  ∅c0 4269   ∘ ccom 5624   Fn wfn 6474  ‘cfv 6479  0_gc0g 17247  mulGrpcmgp 19815  1_rcur 19832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-1cn 11030  ax-addcl 11032

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-ov 7340  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-nn 12075  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-0g 17249  df-mgp 19816  df-ur 19833

This theorem is referenced by:  dfur2  19835  srgidcl  19849  srgidmlem  19851  issrgid  19854  srgpcomp  19863  srg1expzeq1  19870  srgbinom  19876  ringidcl  19902  ringidmlem  19904  isringid  19907  prds1  19948  oppr1  19971  unitsubm  20007  rngidpropd  20032  dfrhm2  20056  isrhm2d  20068  rhm1  20070  subrgsubm  20142  issubrg3  20157  cnfldexp  20737  expmhm  20773  nn0srg  20774  rge0srg  20775  assamulgscmlem1  21209  mplcoe3  21345  mplcoe5  21347  mplbas2  21349  evlslem1  21398  evlsgsummul  21408  mhppwdeg  21446  ply1scltm  21558  lply1binomsc  21584  evls1gsummul  21597  evl1gsummul  21632  madetsumid  21716  mat1mhm  21739  scmatmhm  21789  mdet0pr  21847  mdetunilem7  21873  smadiadetlem4  21924  mat2pmatmhm  21988  pm2mpmhm  22075  chfacfscmulgsum  22115  chfacfpmmulgsum  22119  cpmadugsumlemF  22131  efsubm  25813  amgmlem  26245  amgm  26246  wilthlem2  26324  wilthlem3  26325  dchrelbas3  26492  dchrzrh1  26498  dchrmulcl  26503  dchrn0  26504  dchrinvcl  26507  dchrfi  26509  dchrabs  26514  sumdchr2  26524  rpvmasum2  26766  psgnid  31651  cnmsgn0g  31700  altgnsg  31703  freshmansdream  31771  frobrhm  31772  fermltlchr  31858  znfermltl  31859  iistmd  32150  pwspjmhmmgpd  40527  pwsgprod  40529  evlsbagval  40535  mhphf  40545  isdomn3  41292  mon1psubm  41294  deg1mhm  41295  c0rhm  45821  c0rnghm  45822  amgmwlem  46857  amgmlemALT  46858