Theorem ringidval 20130

Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidval.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringidval.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidval	⊢ 1 = (0g‘𝐺)

Proof of Theorem ringidval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ur 20129	. . . . 5 ⊢ 1r = (0g ∘ mulGrp)
2	1	fveq1i 6843	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅)
3		fnmgp 20089	. . . . 5 ⊢ mulGrp Fn V
4		fvco2 6939	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
5	3, 4	mpan 691	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
6	2, 5	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
7		0g0 18601	. . . 4 ⊢ ∅ = (0g‘∅)
8		fvprc 6834	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = ∅)
9		fvprc 6834	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
10	9	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘∅))
11	7, 8, 10	3eqtr4a 2798	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
12	6, 11	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
13		ringidval.u	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
14		ringidval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
15	14	fveq2i 6845	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
16	12, 13, 15	3eqtr4i 2770	1 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  ∅c0 4287   ∘ ccom 5636   Fn wfn 6495  ‘cfv 6500  0_gc0g 17371  mulGrpcmgp 20087  1_rcur 20128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-1cn 11096  ax-addcl 11098

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-nn 12158  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-0g 17373  df-mgp 20088  df-ur 20129

This theorem is referenced by:  dfur2  20131  srgidcl  20146  srgidmlem  20148  issrgid  20151  srgpcomp  20165  srg1expzeq1  20172  srgbinom  20178  ringidcl  20212  ringidmlem  20215  isringid  20218  prds1  20270  pwspjmhmmgpd  20275  pwsgprod  20277  xpsring1d  20281  oppr1  20298  unitsubm  20334  rngidpropd  20363  dfrhm2  20422  isrhm2d  20434  rhm1  20436  c0rhm  20479  c0rnghm  20480  subrgsubm  20530  issubrg3  20545  isdomn3  20660  cnfldexp  21371  expmhm  21403  nn0srg  21404  rge0srg  21405  fermltlchr  21496  freshmansdream  21541  frobrhm  21542  assamulgscmlem1  21867  mplcoe3  22005  mplcoe5  22007  mplbas2  22009  evlslem1  22049  evlsvvvallem  22058  evlsvvval  22060  evlsgsummul  22064  mhppwdeg  22105  psdpw  22125  ply1scltm  22235  ply1idvr1  22250  lply1binomsc  22267  evls1gsummul  22281  evl1gsummul  22316  madetsumid  22417  mat1mhm  22440  scmatmhm  22490  mdet0pr  22548  mdetunilem7  22574  smadiadetlem4  22625  mat2pmatmhm  22689  pm2mpmhm  22776  chfacfscmulgsum  22816  chfacfpmmulgsum  22820  cpmadugsumlemF  22832  efsubm  26528  amgmlem  26968  amgm  26969  wilthlem2  27047  wilthlem3  27048  dchrelbas3  27217  dchrzrh1  27223  dchrmulcl  27228  dchrn0  27229  dchrinvcl  27232  dchrfi  27234  dchrabs  27239  sumdchr2  27249  rpvmasum2  27491  psgnid  33190  cnmsgn0g  33239  altgnsg  33242  urpropd  33324  isunit3  33334  elrgspnlem2  33336  erlbr2d  33357  erler  33358  rloccring  33363  rloc0g  33364  rloc1r  33365  rlocf1  33366  domnprodn0  33368  domnprodeq0  33369  rrgsubm  33377  znfermltl  33458  unitprodclb  33481  ssdifidlprm  33550  rprmdvdspow  33625  rprmdvdsprod  33626  1arithidomlem1  33627  1arithidom  33629  1arithufdlem3  33638  1arithufdlem4  33639  dfufd2lem  33641  zringfrac  33646  ressply1evls1  33657  evl1deg1  33668  evl1deg2  33669  evl1deg3  33670  deg1prod  33675  evlextv  33718  psrmonprod  33728  vieta  33756  assarrginv  33813  evls1fldgencl  33847  iistmd  34079  aks6d1c1p6  42478  evl1gprodd  42481  idomnnzpownz  42496  idomnnzgmulnz  42497  aks6d1c5lem2  42502  deg1gprod  42504  deg1pow  42505  aks5lem2  42551  unitscyglem5  42563  domnexpgn0cl  42887  abvexp  42896  evlselv  42939  mhphf  42949  mon1psubm  43550  deg1mhm  43551  amgmwlem  50155  amgmlemALT  50156