Theorem ringidval 19720

Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidval.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringidval.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidval	⊢ 1 = (0g‘𝐺)

Proof of Theorem ringidval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ur 19719	. . . . 5 ⊢ 1r = (0g ∘ mulGrp)
2	1	fveq1i 6769	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅)
3		fnmgp 19703	. . . . 5 ⊢ mulGrp Fn V
4		fvco2 6859	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
5	3, 4	mpan 686	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
6	2, 5	eqtrid 2791	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
7		0g0 18329	. . . 4 ⊢ ∅ = (0g‘∅)
8		fvprc 6760	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = ∅)
9		fvprc 6760	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
10	9	fveq2d 6772	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘∅))
11	7, 8, 10	3eqtr4a 2805	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
12	6, 11	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
13		ringidval.u	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
14		ringidval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
15	14	fveq2i 6771	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
16	12, 13, 15	3eqtr4i 2777	1 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  Vcvv 3430  ∅c0 4261   ∘ ccom 5592   Fn wfn 6425  ‘cfv 6430  0_gc0g 17131  mulGrpcmgp 19701  1_rcur 19718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-1cn 10913  ax-addcl 10915

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-ov 7271  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-nn 11957  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-0g 17133  df-mgp 19702  df-ur 19719

This theorem is referenced by:  dfur2  19721  srgidcl  19735  srgidmlem  19737  issrgid  19740  srgpcomp  19749  srg1expzeq1  19756  srgbinom  19762  ringidcl  19788  ringidmlem  19790  isringid  19793  prds1  19834  oppr1  19857  unitsubm  19893  rngidpropd  19918  dfrhm2  19942  isrhm2d  19953  rhm1  19955  subrgsubm  20018  issubrg3  20033  cnfldexp  20612  expmhm  20648  nn0srg  20649  rge0srg  20650  assamulgscmlem1  21084  mplcoe3  21220  mplcoe5  21222  mplbas2  21224  evlslem1  21273  evlsgsummul  21283  mhppwdeg  21321  ply1scltm  21433  lply1binomsc  21459  evls1gsummul  21472  evl1gsummul  21507  madetsumid  21591  mat1mhm  21614  scmatmhm  21664  mdet0pr  21722  mdetunilem7  21748  smadiadetlem4  21799  mat2pmatmhm  21863  pm2mpmhm  21950  chfacfscmulgsum  21990  chfacfpmmulgsum  21994  cpmadugsumlemF  22006  efsubm  25688  amgmlem  26120  amgm  26121  wilthlem2  26199  wilthlem3  26200  dchrelbas3  26367  dchrzrh1  26373  dchrmulcl  26378  dchrn0  26379  dchrinvcl  26382  dchrfi  26384  dchrabs  26389  sumdchr2  26399  rpvmasum2  26641  psgnid  31343  cnmsgn0g  31392  altgnsg  31395  freshmansdream  31463  frobrhm  31464  znfermltl  31541  iistmd  31831  pwspjmhmmgpd  40247  pwsgprod  40249  evlsbagval  40255  mhphf  40265  isdomn3  41009  mon1psubm  41011  deg1mhm  41012  c0rhm  45422  c0rnghm  45423  amgmwlem  46458  amgmlemALT  46459