Theorem ringidval 18701

Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidval.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringidval.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidval	⊢ 1 = (0g‘𝐺)

Proof of Theorem ringidval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ur 18700	. . . . 5 ⊢ 1r = (0g ∘ mulGrp)
2	1	fveq1i 6405	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅)
3		fnmgp 18689	. . . . 5 ⊢ mulGrp Fn V
4		fvco2 6490	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
5	3, 4	mpan 673	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
6	2, 5	syl5eq 2852	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
7		0g0 17464	. . . 4 ⊢ ∅ = (0g‘∅)
8		fvprc 6397	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = ∅)
9		fvprc 6397	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
10	9	fveq2d 6408	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘∅))
11	7, 8, 10	3eqtr4a 2866	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
12	6, 11	pm2.61i 176	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
13		ringidval.u	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
14		ringidval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
15	14	fveq2i 6407	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
16	12, 13, 15	3eqtr4i 2838	1 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1637   ∈ wcel 2156  Vcvv 3391  ∅c0 4116   ∘ ccom 5315   Fn wfn 6092  ‘cfv 6097  0_gc0g 16301  mulGrpcmgp 18687  1_rcur 18699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4117  df-if 4280  df-sn 4371  df-pr 4373  df-op 4377  df-uni 4631  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5219  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-fv 6105  df-ov 6873  df-slot 16068  df-base 16070  df-0g 16303  df-mgp 18688  df-ur 18700

This theorem is referenced by:  dfur2  18702  srgidcl  18716  srgidmlem  18718  issrgid  18721  srgpcomp  18730  srg1expzeq1  18737  srgbinom  18743  ringidcl  18766  ringidmlem  18768  isringid  18771  prds1  18812  oppr1  18832  unitsubm  18868  rngidpropd  18893  dfrhm2  18917  isrhm2d  18928  rhm1  18930  subrgsubm  18993  issubrg3  19008  assamulgscmlem1  19553  mplcoe3  19671  mplcoe5  19673  mplbas2  19675  evlslem1  19719  ply1scltm  19855  lply1binomsc  19881  evls1gsummul  19894  evl1gsummul  19928  cnfldexp  19983  expmhm  20019  nn0srg  20020  rge0srg  20021  madetsumid  20475  mat1mhm  20498  scmatmhm  20548  mdet0pr  20606  mdetunilem7  20632  smadiadetlem4  20684  mat2pmatmhm  20748  pm2mpmhm  20835  chfacfscmulgsum  20875  chfacfpmmulgsum  20879  cpmadugsumlemF  20891  efsubm  24511  amgmlem  24929  amgm  24930  wilthlem2  25008  wilthlem3  25009  dchrelbas3  25176  dchrzrh1  25182  dchrmulcl  25187  dchrn0  25188  dchrinvcl  25191  dchrfi  25193  dchrabs  25198  sumdchr2  25208  rpvmasum2  25414  psgnid  30171  iistmd  30272  isdomn3  38280  mon1psubm  38282  deg1mhm  38283  c0rhm  42477  c0rnghm  42478  amgmwlem  43116  amgmlemALT  43117