Theorem ringidval 20212

Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidval.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringidval.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidval	⊢ 1 = (0g‘𝐺)

Proof of Theorem ringidval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ur 20211	. . . . 5 ⊢ 1r = (0g ∘ mulGrp)
2	1	fveq1i 6864	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅)
3		fnmgp 20171	. . . . 5 ⊢ mulGrp Fn V
4		fvco2 6960	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
5	3, 4	mpan 700	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
6	2, 5	eqtrid 2808	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
7		0g0 18681	. . . 4 ⊢ ∅ = (0g‘∅)
8		fvprc 6855	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = ∅)
9		fvprc 6855	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
10	9	fveq2d 6867	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘∅))
11	7, 8, 10	3eqtr4a 2822	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
12	6, 11	pm2.61i 183	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
13		ringidval.u	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
14		ringidval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
15	14	fveq2i 6866	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
16	12, 13, 15	3eqtr4i 2794	1 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  ∅c0 4285   ∘ ccom 5649   Fn wfn 6512  ‘cfv 6517  0_gc0g 17451  mulGrpcmgp 20169  1_rcur 20210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-1cn 11128  ax-addcl 11130

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-nn 12208  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-0g 17453  df-mgp 20170  df-ur 20211

This theorem is referenced by:  dfur2  20213  srgidcl  20228  srgidmlem  20230  issrgid  20233  srgpcomp  20247  srg1expzeq1  20254  srgbinom  20260  ringidcl  20294  ringidmlem  20297  isringid  20300  prds1  20350  pwspjmhmmgpd  20355  pwsgprod  20357  xpsring1d  20361  oppr1  20378  unitsubm  20414  rngidpropd  20443  dfrhm2  20502  isrhm2d  20515  rhm1  20517  c0rhm  20563  c0rnghm  20564  subrgsubm  20614  issubrg3  20629  isdomn3  20744  cnfldexp  21437  expmhm  21468  nn0srg  21469  rge0srg  21470  fermltlchr  21561  freshmansdream  21606  frobrhm  21607  assamulgscmlem1  21931  mplcoe3  22071  mplcoe5  22073  mplbas2  22075  evlslem1  22115  evlsvvvallem  22124  evlsvvval  22126  evlsgsummul  22130  mhppwdeg  22195  psdpw  22215  ply1scltm  22324  ply1idvr1  22337  lply1binomsc  22354  evls1gsummul  22368  evl1gsummul  22403  madetsumid  22501  mat1mhm  22524  scmatmhm  22574  mdet0pr  22632  mdetunilem7  22658  smadiadetlem4  22709  mat2pmatmhm  22773  pm2mpmhm  22860  chfacfscmulgsum  22900  chfacfpmmulgsum  22904  cpmadugsumlemF  22916  efsubm  26593  amgmlem  27031  amgm  27032  wilthlem2  27110  wilthlem3  27111  dchrelbas3  27279  dchrzrh1  27285  dchrmulcl  27290  dchrn0  27291  dchrinvcl  27294  dchrfi  27296  dchrabs  27301  sumdchr2  27311  rpvmasum2  27553  psgnid  33238  cnmsgn0g  33287  altgnsg  33290  urpropd  33372  isunit3  33382  elrgspnlem2  33385  erlbr2d  33406  erler  33407  rloccring  33413  rloc0g  33414  rloc1r  33415  rlocf1  33416  rlocinvunit  33417  rlocisunit  33418  domnprodn0  33420  domnprodeq0  33421  rrgsubm  33429  znfermltl  33513  unitprodclb  33536  ssdifidlprm  33606  prmidlsubm  33607  rprmdvdspow  33690  rprmdvdsprod  33691  1arithidomlem1  33692  1arithidom  33694  1arithufdlem3  33703  1arithufdlem4  33704  dfufd2lem  33706  zringfrac  33711  ressply1evls1  33722  evl1deg1  33733  evl1deg2  33734  evl1deg3  33735  deg1prod  33740  evlextv  33800  psrmonprod  33810  vieta  33838  assarrginv  33894  evls1fldgencl  33928  iistmd  34160  aks6d1c1p6  42695  evl1gprodd  42698  idomnnzpownz  42713  idomnnzgmulnz  42714  aks6d1c5lem2  42719  deg1gprod  42721  deg1pow  42722  aks5lem2  42768  unitscyglem5  42780  domnexpgn0cl  43105  abvexp  43114  evlselv  43135  mhphf  43143  mon1psubm  43740  deg1mhm  43741  amgmwlem  50387  amgmlemALT  50388