Theorem ringidval 20210

Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidval.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringidval.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidval	⊢ 1 = (0g‘𝐺)

Proof of Theorem ringidval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ur 20209	. . . . 5 ⊢ 1r = (0g ∘ mulGrp)
2	1	fveq1i 6921	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅)
3		fnmgp 20163	. . . . 5 ⊢ mulGrp Fn V
4		fvco2 7019	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
5	3, 4	mpan 689	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
6	2, 5	eqtrid 2792	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
7		0g0 18702	. . . 4 ⊢ ∅ = (0g‘∅)
8		fvprc 6912	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = ∅)
9		fvprc 6912	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
10	9	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘∅))
11	7, 8, 10	3eqtr4a 2806	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
12	6, 11	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
13		ringidval.u	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
14		ringidval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
15	14	fveq2i 6923	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
16	12, 13, 15	3eqtr4i 2778	1 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ∅c0 4352   ∘ ccom 5704   Fn wfn 6568  ‘cfv 6573  0_gc0g 17499  mulGrpcmgp 20161  1_rcur 20208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-1cn 11242  ax-addcl 11244

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-nn 12294  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-0g 17501  df-mgp 20162  df-ur 20209

This theorem is referenced by:  dfur2  20211  srgidcl  20226  srgidmlem  20228  issrgid  20231  srgpcomp  20245  srg1expzeq1  20252  srgbinom  20258  ringidcl  20289  ringidmlem  20291  isringid  20294  prds1  20346  pwspjmhmmgpd  20351  xpsring1d  20356  oppr1  20376  unitsubm  20412  rngidpropd  20441  dfrhm2  20500  isrhm2d  20513  rhm1  20515  c0rhm  20560  c0rnghm  20561  subrgsubm  20613  issubrg3  20628  isdomn3  20737  cnfldexp  21440  expmhm  21477  nn0srg  21478  rge0srg  21479  fermltlchr  21567  freshmansdream  21616  frobrhm  21617  assamulgscmlem1  21942  mplcoe3  22079  mplcoe5  22081  mplbas2  22083  evlslem1  22129  evlsgsummul  22139  mhppwdeg  22177  ply1scltm  22305  ply1idvr1  22319  lply1binomsc  22336  evls1gsummul  22350  evl1gsummul  22385  madetsumid  22488  mat1mhm  22511  scmatmhm  22561  mdet0pr  22619  mdetunilem7  22645  smadiadetlem4  22696  mat2pmatmhm  22760  pm2mpmhm  22847  chfacfscmulgsum  22887  chfacfpmmulgsum  22891  cpmadugsumlemF  22903  efsubm  26611  amgmlem  27051  amgm  27052  wilthlem2  27130  wilthlem3  27131  dchrelbas3  27300  dchrzrh1  27306  dchrmulcl  27311  dchrn0  27312  dchrinvcl  27315  dchrfi  27317  dchrabs  27322  sumdchr2  27332  rpvmasum2  27574  psgnid  33090  cnmsgn0g  33139  altgnsg  33142  urpropd  33212  isunit3  33221  erlbr2d  33236  erler  33237  rloccring  33242  rloc0g  33243  rloc1r  33244  rlocf1  33245  domnprodn0  33247  rrgsubm  33253  znfermltl  33359  unitprodclb  33382  ssdifidlprm  33451  rprmdvdspow  33526  rprmdvdsprod  33527  1arithidomlem1  33528  1arithidom  33530  1arithufdlem3  33539  1arithufdlem4  33540  dfufd2lem  33542  zringfrac  33547  evl1deg1  33566  evl1deg2  33567  evl1deg3  33568  assarrginv  33649  evls1fldgencl  33680  iistmd  33848  aks6d1c1p6  42071  evl1gprodd  42074  idomnnzpownz  42089  idomnnzgmulnz  42090  aks6d1c5lem2  42095  deg1gprod  42097  deg1pow  42098  aks5lem2  42144  unitscyglem5  42156  domnexpgn0cl  42478  abvexp  42487  pwsgprod  42499  evlsvvvallem  42516  evlsvvval  42518  evlselv  42542  mhphf  42552  mon1psubm  43160  deg1mhm  43161  amgmwlem  48896  amgmlemALT  48897