Theorem ringidval 20086

Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidval.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringidval.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidval	⊢ 1 = (0g‘𝐺)

Proof of Theorem ringidval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ur 20085	. . . . 5 ⊢ 1r = (0g ∘ mulGrp)
2	1	fveq1i 6827	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅)
3		fnmgp 20045	. . . . 5 ⊢ mulGrp Fn V
4		fvco2 6924	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
5	3, 4	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
6	2, 5	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
7		0g0 18556	. . . 4 ⊢ ∅ = (0g‘∅)
8		fvprc 6818	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = ∅)
9		fvprc 6818	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
10	9	fveq2d 6830	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘∅))
11	7, 8, 10	3eqtr4a 2790	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
12	6, 11	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
13		ringidval.u	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
14		ringidval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
15	14	fveq2i 6829	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
16	12, 13, 15	3eqtr4i 2762	1 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438  ∅c0 4286   ∘ ccom 5627   Fn wfn 6481  ‘cfv 6486  0_gc0g 17361  mulGrpcmgp 20043  1_rcur 20084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-1cn 11086  ax-addcl 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-nn 12147  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-0g 17363  df-mgp 20044  df-ur 20085

This theorem is referenced by:  dfur2  20087  srgidcl  20102  srgidmlem  20104  issrgid  20107  srgpcomp  20121  srg1expzeq1  20128  srgbinom  20134  ringidcl  20168  ringidmlem  20171  isringid  20174  prds1  20226  pwspjmhmmgpd  20231  xpsring1d  20236  oppr1  20253  unitsubm  20289  rngidpropd  20318  dfrhm2  20377  isrhm2d  20390  rhm1  20392  c0rhm  20437  c0rnghm  20438  subrgsubm  20488  issubrg3  20503  isdomn3  20618  cnfldexp  21329  expmhm  21361  nn0srg  21362  rge0srg  21363  fermltlchr  21454  freshmansdream  21499  frobrhm  21500  assamulgscmlem1  21824  mplcoe3  21961  mplcoe5  21963  mplbas2  21965  evlslem1  22005  evlsgsummul  22015  mhppwdeg  22053  psdpw  22073  ply1scltm  22183  ply1idvr1  22197  lply1binomsc  22214  evls1gsummul  22228  evl1gsummul  22263  madetsumid  22364  mat1mhm  22387  scmatmhm  22437  mdet0pr  22495  mdetunilem7  22521  smadiadetlem4  22572  mat2pmatmhm  22636  pm2mpmhm  22723  chfacfscmulgsum  22763  chfacfpmmulgsum  22767  cpmadugsumlemF  22779  efsubm  26476  amgmlem  26916  amgm  26917  wilthlem2  26995  wilthlem3  26996  dchrelbas3  27165  dchrzrh1  27171  dchrmulcl  27176  dchrn0  27177  dchrinvcl  27180  dchrfi  27182  dchrabs  27187  sumdchr2  27197  rpvmasum2  27439  psgnid  33052  cnmsgn0g  33101  altgnsg  33104  urpropd  33182  isunit3  33191  elrgspnlem2  33193  erlbr2d  33214  erler  33215  rloccring  33220  rloc0g  33221  rloc1r  33222  rlocf1  33223  domnprodn0  33225  rrgsubm  33233  znfermltl  33313  unitprodclb  33336  ssdifidlprm  33405  rprmdvdspow  33480  rprmdvdsprod  33481  1arithidomlem1  33482  1arithidom  33484  1arithufdlem3  33493  1arithufdlem4  33494  dfufd2lem  33496  zringfrac  33501  ressply1evls1  33510  evl1deg1  33521  evl1deg2  33522  evl1deg3  33523  assarrginv  33608  evls1fldgencl  33641  iistmd  33868  aks6d1c1p6  42087  evl1gprodd  42090  idomnnzpownz  42105  idomnnzgmulnz  42106  aks6d1c5lem2  42111  deg1gprod  42113  deg1pow  42114  aks5lem2  42160  unitscyglem5  42172  domnexpgn0cl  42496  abvexp  42505  pwsgprod  42517  evlsvvvallem  42534  evlsvvval  42536  evlselv  42560  mhphf  42570  mon1psubm  43172  deg1mhm  43173  amgmwlem  49788  amgmlemALT  49789