Theorem ringidval 20389

Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidval.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringidval.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidval	⊢ 1 = (0g‘𝐺)

Proof of Theorem ringidval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ur 20388	. . . . 5 ⊢ 1r = (0g ∘ mulGrp)
2	1	fveq1i 6878	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅)
3		fnmgp 20342	. . . . 5 ⊢ mulGrp Fn V
4		fvco2 6974	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
5	3, 4	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
6	2, 5	eqtrid 2808	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
7		0g0 18824	. . . 4 ⊢ ∅ = (0g‘∅)
8		fvprc 6869	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = ∅)
9		fvprc 6869	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
10	9	fveq2d 6881	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘∅))
11	7, 8, 10	3eqtr4a 2822	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
12	6, 11	pm2.61i 184	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
13		ringidval.u	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
14		ringidval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
15	14	fveq2i 6880	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
16	12, 13, 15	3eqtr4i 2794	1 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  ∅c0 4279   ∘ ccom 5655   Fn wfn 6526  ‘cfv 6531  0_gc0g 17590  mulGrpcmgp 20340  1_rcur 20387

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-1cn 11239  ax-addcl 11241

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-nn 12317  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-0g 17592  df-mgp 20341  df-ur 20388

This theorem is used by:  dfur2  20390  srgidcl  20405  srgidmlem  20407  issrgid  20410  srgpcomp  20424  srg1expzeq1  20431  srgbinom  20437  ringidcl  20474  ringidmlem  20477  isringid  20480  prds1  20532  pwspjmhmmgpd  20537  pwsgprod  20539  xpsring1d  20543  oppr1  20560  unitsubm  20596  rngidpropd  20625  dfrhm2  20684  isrhm2d  20701  rhm1  20704  c0rhm  20766  c0rnghm  20767  subrgsubm  20817  issubrg3  20832  isdomn3  20946  isdrng3lem1  20985  ssdifidlprm  21622  prmidlsubm  21623  cnfldexp  21691  expmhm  21722  nn0srg  21723  rge0srg  21724  fermltlchr  21815  freshmansdream  21860  frobrhm  21861  assamulgscmlem1  22187  mplcoe3  22327  mplcoe5  22329  mplbas2  22331  evlslem1  22371  evlsvvvallem  22380  evlsvvval  22382  evlsgsummul  22386  mhppwdeg  22451  psdpw  22471  ply1scltm  22580  ply1idvr1  22593  lply1binomsc  22609  evls1gsummul  22623  evl1gsummul  22658  madetsumid  22756  mat1mhm  22779  scmatmhm  22829  mdet0pr  22887  mdetunilem7  22913  smadiadetlem4  22964  mat2pmatmhm  23031  pm2mpmhm  23118  chfacfscmulgsum  23158  chfacfpmmulgsum  23162  cpmadugsumlemF  23174  efsubm  26861  amgmlem  27299  amgm  27300  wilthlem2  27378  wilthlem3  27379  dchrelbas3  27547  dchrzrh1  27553  dchrmulcl  27558  dchrn0  27559  dchrinvcl  27562  dchrfi  27564  dchrabs  27569  sumdchr2  27579  rpvmasum2  27821  psgnid  33640  cnmsgn0g  33689  altgnsg  33692  urpropd  33773  isunit3  33783  elrgspnlem2  33786  erlbr2d  33807  erler  33808  rloccring  33814  rloc0g  33815  rloc1r  33816  rlocf1  33817  rlocinvunit  33818  rlocisunit  33819  domnprodn0  33821  domnprodeq0  33822  rrgsubm  33827  znfermltl  33904  unitprodclb  33926  rprmdvdspow  34047  rprmdvdsprod  34048  1arithidomlem1  34049  1arithidom  34051  1arithufdlem3  34060  1arithufdlem4  34061  dfufd2lem  34063  zringfrac  34068  ressply1evls1  34079  evl1deg1  34090  evl1deg2  34091  evl1deg3  34092  deg1prod  34097  evlextv  34156  psrmonprod  34166  vieta  34194  assarrginv  34250  evls1fldgencl  34284  iistmd  34516  aks6d1c1p6  43132  evl1gprodd  43135  idomnnzpownz  43150  idomnnzgmulnz  43151  aks6d1c5lem2  43156  deg1gprod  43158  deg1pow  43159  aks5lem2  43205  unitscyglem5  43217  domnexpgn0cl  43549  abvexp  43558  evlselv  43579  mhphf  43587  mon1psubm  44159  deg1mhm  44160  amgmwlem  50931  amgmlemALT  50932