Theorem ringidval 20152

Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidval.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringidval.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidval	⊢ 1 = (0g‘𝐺)

Proof of Theorem ringidval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ur 20151	. . . . 5 ⊢ 1r = (0g ∘ mulGrp)
2	1	fveq1i 6897	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅)
3		fnmgp 20105	. . . . 5 ⊢ mulGrp Fn V
4		fvco2 6994	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
5	3, 4	mpan 688	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
6	2, 5	eqtrid 2777	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
7		0g0 18643	. . . 4 ⊢ ∅ = (0g‘∅)
8		fvprc 6888	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = ∅)
9		fvprc 6888	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
10	9	fveq2d 6900	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘∅))
11	7, 8, 10	3eqtr4a 2791	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
12	6, 11	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
13		ringidval.u	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
14		ringidval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
15	14	fveq2i 6899	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
16	12, 13, 15	3eqtr4i 2763	1 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3461  ∅c0 4322   ∘ ccom 5682   Fn wfn 6544  ‘cfv 6549  0_gc0g 17440  mulGrpcmgp 20103  1_rcur 20150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-1cn 11203  ax-addcl 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-nn 12251  df-slot 17170  df-ndx 17182  df-base 17200  df-0g 17442  df-mgp 20104  df-ur 20151

This theorem is referenced by:  dfur2  20153  srgidcl  20168  srgidmlem  20170  issrgid  20173  srgpcomp  20187  srg1expzeq1  20194  srgbinom  20200  ringidcl  20231  ringidmlem  20233  isringid  20236  prds1  20288  pwspjmhmmgpd  20293  xpsring1d  20298  oppr1  20318  unitsubm  20354  rngidpropd  20383  dfrhm2  20442  isrhm2d  20455  rhm1  20457  c0rhm  20500  c0rnghm  20501  subrgsubm  20553  issubrg3  20568  isdomn3  21282  cnfldexp  21366  expmhm  21403  nn0srg  21404  rge0srg  21405  fermltlchr  21493  freshmansdream  21542  assamulgscmlem1  21866  mplcoe3  22015  mplcoe5  22017  mplbas2  22019  evlslem1  22067  evlsgsummul  22077  mhppwdeg  22114  ply1scltm  22242  lply1binomsc  22272  evls1gsummul  22286  evl1gsummul  22321  madetsumid  22424  mat1mhm  22447  scmatmhm  22497  mdet0pr  22555  mdetunilem7  22581  smadiadetlem4  22632  mat2pmatmhm  22696  pm2mpmhm  22783  chfacfscmulgsum  22823  chfacfpmmulgsum  22827  cpmadugsumlemF  22839  efsubm  26547  amgmlem  26987  amgm  26988  wilthlem2  27066  wilthlem3  27067  dchrelbas3  27236  dchrzrh1  27242  dchrmulcl  27247  dchrn0  27248  dchrinvcl  27251  dchrfi  27253  dchrabs  27258  sumdchr2  27268  rpvmasum2  27510  psgnid  32931  cnmsgn0g  32980  altgnsg  32983  urpropd  33053  frobrhm  33054  erlbr2d  33075  erler  33076  rloccring  33081  rloc0g  33082  rloc1r  33083  rlocf1  33084  domnprodn0  33086  rrgsubm  33093  znfermltl  33198  unitprodclb  33222  ssdifidlprm  33291  rprmdvdspow  33366  rprmdvdsprod  33367  1arithidomlem1  33368  1arithidom  33370  1arithufdlem3  33379  1arithufdlem4  33380  dfufd2lem  33382  zringfrac  33387  evl1deg1  33405  evl1deg3  33406  evls1fldgencl  33508  iistmd  33654  aks6d1c1p6  41736  evl1gprodd  41739  idomnnzpownz  41754  idomnnzgmulnz  41755  aks6d1c5lem2  41760  deg1gprod  41762  deg1pow  41763  aks5lem2  41809  pwsgprod  41931  evlsvvvallem  41948  evlsvvval  41950  evlselv  41974  mhphf  41984  mon1psubm  42774  deg1mhm  42775  amgmwlem  48426  amgmlemALT  48427