Theorem ringidval 20088

Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidval.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringidval.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidval	⊢ 1 = (0g‘𝐺)

Proof of Theorem ringidval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ur 20087	. . . . 5 ⊢ 1r = (0g ∘ mulGrp)
2	1	fveq1i 6886	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅)
3		fnmgp 20041	. . . . 5 ⊢ mulGrp Fn V
4		fvco2 6982	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
5	3, 4	mpan 687	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
6	2, 5	eqtrid 2778	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
7		0g0 18597	. . . 4 ⊢ ∅ = (0g‘∅)
8		fvprc 6877	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = ∅)
9		fvprc 6877	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
10	9	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘∅))
11	7, 8, 10	3eqtr4a 2792	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
12	6, 11	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
13		ringidval.u	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
14		ringidval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
15	14	fveq2i 6888	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
16	12, 13, 15	3eqtr4i 2764	1 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  ∅c0 4317   ∘ ccom 5673   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  0_gc0g 17394  mulGrpcmgp 20039  1_rcur 20086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-1cn 11170  ax-addcl 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-nn 12217  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-0g 17396  df-mgp 20040  df-ur 20087

This theorem is referenced by:  dfur2  20089  srgidcl  20104  srgidmlem  20106  issrgid  20109  srgpcomp  20123  srg1expzeq1  20130  srgbinom  20136  ringidcl  20165  ringidmlem  20167  isringid  20170  prds1  20222  pwspjmhmmgpd  20227  xpsring1d  20232  oppr1  20252  unitsubm  20288  rngidpropd  20317  dfrhm2  20376  isrhm2d  20389  rhm1  20391  c0rhm  20434  c0rnghm  20435  subrgsubm  20487  issubrg3  20502  cnfldexp  21293  expmhm  21330  nn0srg  21331  rge0srg  21332  fermltlchr  21420  freshmansdream  21469  assamulgscmlem1  21793  mplcoe3  21935  mplcoe5  21937  mplbas2  21939  evlslem1  21987  evlsgsummul  21997  mhppwdeg  22033  ply1scltm  22155  lply1binomsc  22185  evls1gsummul  22199  evl1gsummul  22234  madetsumid  22318  mat1mhm  22341  scmatmhm  22391  mdet0pr  22449  mdetunilem7  22475  smadiadetlem4  22526  mat2pmatmhm  22590  pm2mpmhm  22677  chfacfscmulgsum  22717  chfacfpmmulgsum  22721  cpmadugsumlemF  22733  efsubm  26440  amgmlem  26877  amgm  26878  wilthlem2  26956  wilthlem3  26957  dchrelbas3  27126  dchrzrh1  27132  dchrmulcl  27137  dchrn0  27138  dchrinvcl  27141  dchrfi  27143  dchrabs  27148  sumdchr2  27158  rpvmasum2  27400  psgnid  32762  cnmsgn0g  32811  altgnsg  32814  urpropd  32882  frobrhm  32884  znfermltl  32985  evls1fldgencl  33263  iistmd  33412  aks6d1c1p6  41491  evl1gprodd  41494  idomnnzpownz  41508  idomnnzgmulnz  41509  aks6d1c5lem2  41514  deg1gprod  41517  deg1pow  41518  pwsgprod  41671  evlsvvvallem  41690  evlsvvval  41692  evlselv  41716  mhphf  41726  isdomn3  42523  mon1psubm  42524  deg1mhm  42525  amgmwlem  48123  amgmlemALT  48124