Theorem ringidval 20099

Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidval.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringidval.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidval	⊢ 1 = (0g‘𝐺)

Proof of Theorem ringidval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ur 20098	. . . . 5 ⊢ 1r = (0g ∘ mulGrp)
2	1	fveq1i 6862	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅)
3		fnmgp 20058	. . . . 5 ⊢ mulGrp Fn V
4		fvco2 6961	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
5	3, 4	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
6	2, 5	eqtrid 2777	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
7		0g0 18598	. . . 4 ⊢ ∅ = (0g‘∅)
8		fvprc 6853	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = ∅)
9		fvprc 6853	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
10	9	fveq2d 6865	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘∅))
11	7, 8, 10	3eqtr4a 2791	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
12	6, 11	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
13		ringidval.u	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
14		ringidval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
15	14	fveq2i 6864	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
16	12, 13, 15	3eqtr4i 2763	1 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ∅c0 4299   ∘ ccom 5645   Fn wfn 6509  ‘cfv 6514  0_gc0g 17409  mulGrpcmgp 20056  1_rcur 20097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-1cn 11133  ax-addcl 11135

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-nn 12194  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-0g 17411  df-mgp 20057  df-ur 20098

This theorem is referenced by:  dfur2  20100  srgidcl  20115  srgidmlem  20117  issrgid  20120  srgpcomp  20134  srg1expzeq1  20141  srgbinom  20147  ringidcl  20181  ringidmlem  20184  isringid  20187  prds1  20239  pwspjmhmmgpd  20244  xpsring1d  20249  oppr1  20266  unitsubm  20302  rngidpropd  20331  dfrhm2  20390  isrhm2d  20403  rhm1  20405  c0rhm  20450  c0rnghm  20451  subrgsubm  20501  issubrg3  20516  isdomn3  20631  cnfldexp  21323  expmhm  21360  nn0srg  21361  rge0srg  21362  fermltlchr  21446  freshmansdream  21491  frobrhm  21492  assamulgscmlem1  21815  mplcoe3  21952  mplcoe5  21954  mplbas2  21956  evlslem1  21996  evlsgsummul  22006  mhppwdeg  22044  psdpw  22064  ply1scltm  22174  ply1idvr1  22188  lply1binomsc  22205  evls1gsummul  22219  evl1gsummul  22254  madetsumid  22355  mat1mhm  22378  scmatmhm  22428  mdet0pr  22486  mdetunilem7  22512  smadiadetlem4  22563  mat2pmatmhm  22627  pm2mpmhm  22714  chfacfscmulgsum  22754  chfacfpmmulgsum  22758  cpmadugsumlemF  22770  efsubm  26467  amgmlem  26907  amgm  26908  wilthlem2  26986  wilthlem3  26987  dchrelbas3  27156  dchrzrh1  27162  dchrmulcl  27167  dchrn0  27168  dchrinvcl  27171  dchrfi  27173  dchrabs  27178  sumdchr2  27188  rpvmasum2  27430  psgnid  33061  cnmsgn0g  33110  altgnsg  33113  urpropd  33190  isunit3  33199  elrgspnlem2  33201  erlbr2d  33222  erler  33223  rloccring  33228  rloc0g  33229  rloc1r  33230  rlocf1  33231  domnprodn0  33233  rrgsubm  33241  znfermltl  33344  unitprodclb  33367  ssdifidlprm  33436  rprmdvdspow  33511  rprmdvdsprod  33512  1arithidomlem1  33513  1arithidom  33515  1arithufdlem3  33524  1arithufdlem4  33525  dfufd2lem  33527  zringfrac  33532  ressply1evls1  33541  evl1deg1  33552  evl1deg2  33553  evl1deg3  33554  assarrginv  33639  evls1fldgencl  33672  iistmd  33899  aks6d1c1p6  42109  evl1gprodd  42112  idomnnzpownz  42127  idomnnzgmulnz  42128  aks6d1c5lem2  42133  deg1gprod  42135  deg1pow  42136  aks5lem2  42182  unitscyglem5  42194  domnexpgn0cl  42518  abvexp  42527  pwsgprod  42539  evlsvvvallem  42556  evlsvvval  42558  evlselv  42582  mhphf  42592  mon1psubm  43195  deg1mhm  43196  amgmwlem  49795  amgmlemALT  49796