Theorem ringidval 20127

Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidval.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringidval.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidval	⊢ 1 = (0g‘𝐺)

Proof of Theorem ringidval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ur 20126	. . . . 5 ⊢ 1r = (0g ∘ mulGrp)
2	1	fveq1i 6893	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅)
3		fnmgp 20080	. . . . 5 ⊢ mulGrp Fn V
4		fvco2 6990	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
5	3, 4	mpan 688	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
6	2, 5	eqtrid 2777	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
7		0g0 18623	. . . 4 ⊢ ∅ = (0g‘∅)
8		fvprc 6884	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = ∅)
9		fvprc 6884	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
10	9	fveq2d 6896	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘∅))
11	7, 8, 10	3eqtr4a 2791	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
12	6, 11	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
13		ringidval.u	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
14		ringidval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
15	14	fveq2i 6895	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
16	12, 13, 15	3eqtr4i 2763	1 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463  ∅c0 4318   ∘ ccom 5676   Fn wfn 6538  ‘cfv 6543  0_gc0g 17420  mulGrpcmgp 20078  1_rcur 20125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-1cn 11196  ax-addcl 11198

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7419  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-nn 12243  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-0g 17422  df-mgp 20079  df-ur 20126

This theorem is referenced by:  dfur2  20128  srgidcl  20143  srgidmlem  20145  issrgid  20148  srgpcomp  20162  srg1expzeq1  20169  srgbinom  20175  ringidcl  20206  ringidmlem  20208  isringid  20211  prds1  20263  pwspjmhmmgpd  20268  xpsring1d  20273  oppr1  20293  unitsubm  20329  rngidpropd  20358  dfrhm2  20417  isrhm2d  20430  rhm1  20432  c0rhm  20475  c0rnghm  20476  subrgsubm  20528  issubrg3  20543  isdomn3  21252  cnfldexp  21336  expmhm  21373  nn0srg  21374  rge0srg  21375  fermltlchr  21463  freshmansdream  21512  assamulgscmlem1  21836  mplcoe3  21983  mplcoe5  21985  mplbas2  21987  evlslem1  22035  evlsgsummul  22045  mhppwdeg  22082  ply1scltm  22209  lply1binomsc  22239  evls1gsummul  22253  evl1gsummul  22288  madetsumid  22381  mat1mhm  22404  scmatmhm  22454  mdet0pr  22512  mdetunilem7  22538  smadiadetlem4  22589  mat2pmatmhm  22653  pm2mpmhm  22740  chfacfscmulgsum  22780  chfacfpmmulgsum  22784  cpmadugsumlemF  22796  efsubm  26503  amgmlem  26940  amgm  26941  wilthlem2  27019  wilthlem3  27020  dchrelbas3  27189  dchrzrh1  27195  dchrmulcl  27200  dchrn0  27201  dchrinvcl  27204  dchrfi  27206  dchrabs  27211  sumdchr2  27221  rpvmasum2  27463  psgnid  32863  cnmsgn0g  32912  altgnsg  32915  urpropd  32984  frobrhm  32985  rrgsubm  33000  erlbr2d  33027  erler  33028  rloccring  33033  rloc0g  33034  rloc1r  33035  rlocf1  33036  znfermltl  33126  rprmdvdspow  33296  rprmdvdsprod  33297  zringfrac  33301  evls1fldgencl  33415  iistmd  33560  aks6d1c1p6  41641  evl1gprodd  41644  idomnnzpownz  41659  idomnnzgmulnz  41660  aks6d1c5lem2  41665  deg1gprod  41668  deg1pow  41669  pwsgprod  41830  evlsvvvallem  41859  evlsvvval  41861  evlselv  41885  mhphf  41895  mon1psubm  42692  deg1mhm  42693  amgmwlem  48347  amgmlemALT  48348