Theorem ringidval 20414

Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidval.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringidval.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidval	⊢ 1 = (0g‘𝐺)

Proof of Theorem ringidval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ur 20413	. . . . 5 ⊢ 1r = (0g ∘ mulGrp)
2	1	fveq1i 6886	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅)
3		fnmgp 20367	. . . . 5 ⊢ mulGrp Fn V
4		fvco2 6982	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
5	3, 4	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
6	2, 5	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
7		0g0 18849	. . . 4 ⊢ ∅ = (0g‘∅)
8		fvprc 6877	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = ∅)
9		fvprc 6877	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
10	9	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘∅))
11	7, 8, 10	3eqtr4a 2821	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
12	6, 11	pm2.61i 184	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
13		ringidval.u	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
14		ringidval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
15	14	fveq2i 6888	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
16	12, 13, 15	3eqtr4i 2793	1 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ∅c0 4278   ∘ ccom 5654   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538  0_gc0g 17615  mulGrpcmgp 20365  1_rcur 20412

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-1cn 11261  ax-addcl 11263

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-nn 12339  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-0g 17617  df-mgp 20366  df-ur 20413

This theorem is used by:  dfur2  20415  srgidcl  20430  srgidmlem  20432  issrgid  20435  srgpcomp  20449  srg1expzeq1  20456  srgbinom  20462  ringidcl  20499  ringidmlem  20502  isringid  20505  prds1  20557  pwspjmhmmgpd  20562  pwsgprod  20564  xpsring1d  20568  oppr1  20585  unitsubm  20621  rngidpropd  20650  dfrhm2  20709  isrhm2d  20726  rhm1  20729  c0rhm  20791  c0rnghm  20792  subrgsubm  20842  issubrg3  20857  isdomn3  20971  isdrng3lem1  21010  ssdifidlprm  21647  prmidlsubm  21648  cnfldexp  21716  expmhm  21747  nn0srg  21748  rge0srg  21749  fermltlchr  21840  freshmansdream  21885  frobrhm  21886  assamulgscmlem1  22212  mplcoe3  22352  mplcoe5  22354  mplbas2  22356  evlslem1  22396  evlsvvvallem  22405  evlsvvval  22407  evlsgsummul  22411  mhppwdeg  22476  psdpw  22496  ply1scltm  22605  ply1idvr1  22618  lply1binomsc  22634  evls1gsummul  22648  evl1gsummul  22683  madetsumid  22781  mat1mhm  22804  scmatmhm  22854  mdet0pr  22912  mdetunilem7  22938  smadiadetlem4  22989  mat2pmatmhm  23056  pm2mpmhm  23143  chfacfscmulgsum  23183  chfacfpmmulgsum  23187  cpmadugsumlemF  23199  efsubm  26884  amgmlem  27322  amgm  27323  wilthlem2  27401  wilthlem3  27402  dchrelbas3  27570  dchrzrh1  27576  dchrmulcl  27581  dchrn0  27582  dchrinvcl  27585  dchrfi  27587  dchrabs  27592  sumdchr2  27602  rpvmasum2  27844  psgnid  33704  cnmsgn0g  33753  altgnsg  33756  urpropd  33837  isunit3  33847  elrgspnlem2  33850  erlbr2d  33871  erler  33872  rloccring  33878  rloc0g  33879  rloc1r  33880  rlocf1  33881  rlocinvunit  33882  rlocisunit  33883  domnprodn0  33885  domnprodeq0  33886  rrgsubm  33891  znfermltl  33968  unitprodclb  33990  rprmdvdspow  34111  rprmdvdsprod  34112  1arithidomlem1  34113  1arithidom  34115  1arithufdlem3  34124  1arithufdlem4  34125  dfufd2lem  34127  zringfrac  34132  ressply1evls1  34143  evl1deg1  34154  evl1deg2  34155  evl1deg3  34156  deg1prod  34161  evlextv  34220  psrmonprod  34230  vieta  34258  assarrginv  34314  evls1fldgencl  34348  iistmd  34580  aks6d1c1p6  43257  evl1gprodd  43260  idomnnzpownz  43275  idomnnzgmulnz  43276  aks6d1c5lem2  43281  deg1gprod  43283  deg1pow  43284  aks5lem2  43330  unitscyglem5  43342  domnexpgn0cl  43677  abvexp  43689  evlselv  43710  mhphf  43718  mon1psubm  44294  deg1mhm  44295  amgmwlem  51155  amgmlemALT  51156