Theorem ringidval 20328

Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidval.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringidval.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidval	⊢ 1 = (0g‘𝐺)

Proof of Theorem ringidval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ur 20327	. . . . 5 ⊢ 1r = (0g ∘ mulGrp)
2	1	fveq1i 6883	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅)
3		fnmgp 20281	. . . . 5 ⊢ mulGrp Fn V
4		fvco2 6979	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
5	3, 4	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
6	2, 5	eqtrid 2809	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
7		0g0 18763	. . . 4 ⊢ ∅ = (0g‘∅)
8		fvprc 6874	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = ∅)
9		fvprc 6874	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
10	9	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘∅))
11	7, 8, 10	3eqtr4a 2823	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
12	6, 11	pm2.61i 184	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
13		ringidval.u	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
14		ringidval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
15	14	fveq2i 6885	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
16	12, 13, 15	3eqtr4i 2795	1 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  ∅c0 4282   ∘ ccom 5663   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  0_gc0g 17530  mulGrpcmgp 20279  1_rcur 20326

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-1cn 11186  ax-addcl 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-nn 12262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-0g 17532  df-mgp 20280  df-ur 20327

This theorem is used by:  dfur2  20329  srgidcl  20344  srgidmlem  20346  issrgid  20349  srgpcomp  20363  srg1expzeq1  20370  srgbinom  20376  ringidcl  20412  ringidmlem  20415  isringid  20418  prds1  20469  pwspjmhmmgpd  20474  pwsgprod  20476  xpsring1d  20480  oppr1  20497  unitsubm  20533  rngidpropd  20562  dfrhm2  20621  isrhm2d  20638  rhm1  20641  c0rhm  20702  c0rnghm  20703  subrgsubm  20753  issubrg3  20768  isdomn3  20882  isdrng3lem1  20920  ssdifidlprm  21555  prmidlsubm  21556  cnfldexp  21624  expmhm  21655  nn0srg  21656  rge0srg  21657  fermltlchr  21748  freshmansdream  21793  frobrhm  21794  assamulgscmlem1  22120  mplcoe3  22260  mplcoe5  22262  mplbas2  22264  evlslem1  22304  evlsvvvallem  22313  evlsvvval  22315  evlsgsummul  22319  mhppwdeg  22384  psdpw  22404  ply1scltm  22513  ply1idvr1  22526  lply1binomsc  22542  evls1gsummul  22556  evl1gsummul  22591  madetsumid  22689  mat1mhm  22712  scmatmhm  22762  mdet0pr  22820  mdetunilem7  22846  smadiadetlem4  22897  mat2pmatmhm  22964  pm2mpmhm  23051  chfacfscmulgsum  23091  chfacfpmmulgsum  23095  cpmadugsumlemF  23107  efsubm  26796  amgmlem  27234  amgm  27235  wilthlem2  27313  wilthlem3  27314  dchrelbas3  27482  dchrzrh1  27488  dchrmulcl  27493  dchrn0  27494  dchrinvcl  27497  dchrfi  27499  dchrabs  27504  sumdchr2  27514  rpvmasum2  27756  psgnid  33545  cnmsgn0g  33594  altgnsg  33597  urpropd  33678  isunit3  33688  elrgspnlem2  33691  erlbr2d  33712  erler  33713  rloccring  33719  rloc0g  33720  rloc1r  33721  rlocf1  33722  rlocinvunit  33723  rlocisunit  33724  domnprodn0  33726  domnprodeq0  33727  rrgsubm  33732  znfermltl  33809  unitprodclb  33830  rprmdvdspow  33951  rprmdvdsprod  33952  1arithidomlem1  33953  1arithidom  33955  1arithufdlem3  33964  1arithufdlem4  33965  dfufd2lem  33967  zringfrac  33972  ressply1evls1  33983  evl1deg1  33994  evl1deg2  33995  evl1deg3  33996  deg1prod  34001  evlextv  34060  psrmonprod  34070  vieta  34098  assarrginv  34154  evls1fldgencl  34188  iistmd  34420  aks6d1c1p6  42988  evl1gprodd  42991  idomnnzpownz  43006  idomnnzgmulnz  43007  aks6d1c5lem2  43012  deg1gprod  43014  deg1pow  43015  aks5lem2  43061  unitscyglem5  43073  domnexpgn0cl  43413  abvexp  43422  evlselv  43443  mhphf  43451  mon1psubm  44048  deg1mhm  44049  amgmwlem  50828  amgmlemALT  50829