Theorem ringidval 20099

Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidval.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringidval.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidval	⊢ 1 = (0g‘𝐺)

Proof of Theorem ringidval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ur 20098	. . . . 5 ⊢ 1r = (0g ∘ mulGrp)
2	1	fveq1i 6823	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅)
3		fnmgp 20058	. . . . 5 ⊢ mulGrp Fn V
4		fvco2 6919	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
5	3, 4	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
6	2, 5	eqtrid 2778	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
7		0g0 18569	. . . 4 ⊢ ∅ = (0g‘∅)
8		fvprc 6814	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = ∅)
9		fvprc 6814	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
10	9	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘∅))
11	7, 8, 10	3eqtr4a 2792	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
12	6, 11	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
13		ringidval.u	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
14		ringidval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
15	14	fveq2i 6825	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
16	12, 13, 15	3eqtr4i 2764	1 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ∅c0 4283   ∘ ccom 5620   Fn wfn 6476  ‘cfv 6481  0_gc0g 17340  mulGrpcmgp 20056  1_rcur 20097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-1cn 11061  ax-addcl 11063

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-nn 12123  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-0g 17342  df-mgp 20057  df-ur 20098

This theorem is referenced by:  dfur2  20100  srgidcl  20115  srgidmlem  20117  issrgid  20120  srgpcomp  20134  srg1expzeq1  20141  srgbinom  20147  ringidcl  20181  ringidmlem  20184  isringid  20187  prds1  20239  pwspjmhmmgpd  20244  xpsring1d  20249  oppr1  20266  unitsubm  20302  rngidpropd  20331  dfrhm2  20390  isrhm2d  20402  rhm1  20404  c0rhm  20447  c0rnghm  20448  subrgsubm  20498  issubrg3  20513  isdomn3  20628  cnfldexp  21339  expmhm  21371  nn0srg  21372  rge0srg  21373  fermltlchr  21464  freshmansdream  21509  frobrhm  21510  assamulgscmlem1  21834  mplcoe3  21971  mplcoe5  21973  mplbas2  21975  evlslem1  22015  evlsgsummul  22025  mhppwdeg  22063  psdpw  22083  ply1scltm  22193  ply1idvr1  22207  lply1binomsc  22224  evls1gsummul  22238  evl1gsummul  22273  madetsumid  22374  mat1mhm  22397  scmatmhm  22447  mdet0pr  22505  mdetunilem7  22531  smadiadetlem4  22582  mat2pmatmhm  22646  pm2mpmhm  22733  chfacfscmulgsum  22773  chfacfpmmulgsum  22777  cpmadugsumlemF  22789  efsubm  26485  amgmlem  26925  amgm  26926  wilthlem2  27004  wilthlem3  27005  dchrelbas3  27174  dchrzrh1  27180  dchrmulcl  27185  dchrn0  27186  dchrinvcl  27189  dchrfi  27191  dchrabs  27196  sumdchr2  27206  rpvmasum2  27448  psgnid  33061  cnmsgn0g  33110  altgnsg  33113  urpropd  33194  isunit3  33203  elrgspnlem2  33205  erlbr2d  33226  erler  33227  rloccring  33232  rloc0g  33233  rloc1r  33234  rlocf1  33235  domnprodn0  33237  rrgsubm  33245  znfermltl  33326  unitprodclb  33349  ssdifidlprm  33418  rprmdvdspow  33493  rprmdvdsprod  33494  1arithidomlem1  33495  1arithidom  33497  1arithufdlem3  33506  1arithufdlem4  33507  dfufd2lem  33509  zringfrac  33514  ressply1evls1  33523  evl1deg1  33534  evl1deg2  33535  evl1deg3  33536  assarrginv  33644  evls1fldgencl  33678  iistmd  33910  aks6d1c1p6  42146  evl1gprodd  42149  idomnnzpownz  42164  idomnnzgmulnz  42165  aks6d1c5lem2  42170  deg1gprod  42172  deg1pow  42173  aks5lem2  42219  unitscyglem5  42231  domnexpgn0cl  42555  abvexp  42564  pwsgprod  42576  evlsvvvallem  42593  evlsvvval  42595  evlselv  42619  mhphf  42629  mon1psubm  43231  deg1mhm  43232  amgmwlem  49833  amgmlemALT  49834