Theorem ringidval 20201

Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidval.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringidval.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidval	⊢ 1 = (0g‘𝐺)

Proof of Theorem ringidval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ur 20200	. . . . 5 ⊢ 1r = (0g ∘ mulGrp)
2	1	fveq1i 6908	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅)
3		fnmgp 20154	. . . . 5 ⊢ mulGrp Fn V
4		fvco2 7006	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
5	3, 4	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
6	2, 5	eqtrid 2787	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
7		0g0 18690	. . . 4 ⊢ ∅ = (0g‘∅)
8		fvprc 6899	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = ∅)
9		fvprc 6899	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
10	9	fveq2d 6911	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘∅))
11	7, 8, 10	3eqtr4a 2801	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
12	6, 11	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
13		ringidval.u	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
14		ringidval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
15	14	fveq2i 6910	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
16	12, 13, 15	3eqtr4i 2773	1 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  ∅c0 4339   ∘ ccom 5693   Fn wfn 6558  ‘cfv 6563  0_gc0g 17486  mulGrpcmgp 20152  1_rcur 20199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-1cn 11211  ax-addcl 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-nn 12265  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-0g 17488  df-mgp 20153  df-ur 20200

This theorem is referenced by:  dfur2  20202  srgidcl  20217  srgidmlem  20219  issrgid  20222  srgpcomp  20236  srg1expzeq1  20243  srgbinom  20249  ringidcl  20280  ringidmlem  20282  isringid  20285  prds1  20337  pwspjmhmmgpd  20342  xpsring1d  20347  oppr1  20367  unitsubm  20403  rngidpropd  20432  dfrhm2  20491  isrhm2d  20504  rhm1  20506  c0rhm  20551  c0rnghm  20552  subrgsubm  20602  issubrg3  20617  isdomn3  20732  cnfldexp  21435  expmhm  21472  nn0srg  21473  rge0srg  21474  fermltlchr  21562  freshmansdream  21611  frobrhm  21612  assamulgscmlem1  21937  mplcoe3  22074  mplcoe5  22076  mplbas2  22078  evlslem1  22124  evlsgsummul  22134  mhppwdeg  22172  ply1scltm  22300  ply1idvr1  22314  lply1binomsc  22331  evls1gsummul  22345  evl1gsummul  22380  madetsumid  22483  mat1mhm  22506  scmatmhm  22556  mdet0pr  22614  mdetunilem7  22640  smadiadetlem4  22691  mat2pmatmhm  22755  pm2mpmhm  22842  chfacfscmulgsum  22882  chfacfpmmulgsum  22886  cpmadugsumlemF  22898  efsubm  26608  amgmlem  27048  amgm  27049  wilthlem2  27127  wilthlem3  27128  dchrelbas3  27297  dchrzrh1  27303  dchrmulcl  27308  dchrn0  27309  dchrinvcl  27312  dchrfi  27314  dchrabs  27319  sumdchr2  27329  rpvmasum2  27571  psgnid  33100  cnmsgn0g  33149  altgnsg  33152  urpropd  33222  isunit3  33231  elrgspnlem2  33233  erlbr2d  33251  erler  33252  rloccring  33257  rloc0g  33258  rloc1r  33259  rlocf1  33260  domnprodn0  33262  rrgsubm  33268  znfermltl  33374  unitprodclb  33397  ssdifidlprm  33466  rprmdvdspow  33541  rprmdvdsprod  33542  1arithidomlem1  33543  1arithidom  33545  1arithufdlem3  33554  1arithufdlem4  33555  dfufd2lem  33557  zringfrac  33562  evl1deg1  33581  evl1deg2  33582  evl1deg3  33583  assarrginv  33664  evls1fldgencl  33695  iistmd  33863  aks6d1c1p6  42096  evl1gprodd  42099  idomnnzpownz  42114  idomnnzgmulnz  42115  aks6d1c5lem2  42120  deg1gprod  42122  deg1pow  42123  aks5lem2  42169  unitscyglem5  42181  domnexpgn0cl  42510  abvexp  42519  pwsgprod  42531  evlsvvvallem  42548  evlsvvval  42550  evlselv  42574  mhphf  42584  mon1psubm  43188  deg1mhm  43189  amgmwlem  49033  amgmlemALT  49034