Theorem ringidval 19784

Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidval.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringidval.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidval	⊢ 1 = (0g‘𝐺)

Proof of Theorem ringidval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ur 19783	. . . . 5 ⊢ 1r = (0g ∘ mulGrp)
2	1	fveq1i 6805	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅)
3		fnmgp 19767	. . . . 5 ⊢ mulGrp Fn V
4		fvco2 6897	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
5	3, 4	mpan 688	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
6	2, 5	eqtrid 2788	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
7		0g0 18393	. . . 4 ⊢ ∅ = (0g‘∅)
8		fvprc 6796	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = ∅)
9		fvprc 6796	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
10	9	fveq2d 6808	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘∅))
11	7, 8, 10	3eqtr4a 2802	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
12	6, 11	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
13		ringidval.u	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
14		ringidval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
15	14	fveq2i 6807	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
16	12, 13, 15	3eqtr4i 2774	1 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3437  ∅c0 4262   ∘ ccom 5604   Fn wfn 6453  ‘cfv 6458  0_gc0g 17195  mulGrpcmgp 19765  1_rcur 19782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-1cn 10975  ax-addcl 10977

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-ov 7310  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-nn 12020  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-base 16958  df-0g 17197  df-mgp 19766  df-ur 19783

This theorem is referenced by:  dfur2  19785  srgidcl  19799  srgidmlem  19801  issrgid  19804  srgpcomp  19813  srg1expzeq1  19820  srgbinom  19826  ringidcl  19852  ringidmlem  19854  isringid  19857  prds1  19898  oppr1  19921  unitsubm  19957  rngidpropd  19982  dfrhm2  20006  isrhm2d  20017  rhm1  20019  subrgsubm  20082  issubrg3  20097  cnfldexp  20676  expmhm  20712  nn0srg  20713  rge0srg  20714  assamulgscmlem1  21148  mplcoe3  21284  mplcoe5  21286  mplbas2  21288  evlslem1  21337  evlsgsummul  21347  mhppwdeg  21385  ply1scltm  21497  lply1binomsc  21523  evls1gsummul  21536  evl1gsummul  21571  madetsumid  21655  mat1mhm  21678  scmatmhm  21728  mdet0pr  21786  mdetunilem7  21812  smadiadetlem4  21863  mat2pmatmhm  21927  pm2mpmhm  22014  chfacfscmulgsum  22054  chfacfpmmulgsum  22058  cpmadugsumlemF  22070  efsubm  25752  amgmlem  26184  amgm  26185  wilthlem2  26263  wilthlem3  26264  dchrelbas3  26431  dchrzrh1  26437  dchrmulcl  26442  dchrn0  26443  dchrinvcl  26446  dchrfi  26448  dchrabs  26453  sumdchr2  26463  rpvmasum2  26705  psgnid  31409  cnmsgn0g  31458  altgnsg  31461  freshmansdream  31529  frobrhm  31530  znfermltl  31607  iistmd  31897  pwspjmhmmgpd  40304  pwsgprod  40306  evlsbagval  40312  mhphf  40322  isdomn3  41067  mon1psubm  41069  deg1mhm  41070  c0rhm  45528  c0rnghm  45529  amgmwlem  46564  amgmlemALT  46565