Users' Mathboxes Mathbox for Giovanni Mascellani < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ac6s6f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ac6s6f 37089
Description: Generalization of the Axiom of Choice to classes, moving the existence condition in the consequent. (Contributed by Giovanni Mascellani, 20-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6s6f.1 𝐴 ∈ V
ac6s6f.2 𝑦𝜓
ac6s6f.3 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝜑𝜓))
ac6s6f.4 𝑥𝐴
Assertion
Ref Expression
ac6s6f 𝑓𝑥𝐴 (∃𝑦𝜑𝜓)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑓   𝑥,𝑦,𝑓   𝐴,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ac6s6f
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ac6s6f.1 . . . . 5 𝐴 ∈ V
21isseti 3490 . . . 4 𝑧 𝑧 = 𝐴
3 ac6s6f.2 . . . . 5 𝑦𝜓
4 vex 3479 . . . . 5 𝑧 ∈ V
5 ac6s6f.3 . . . . 5 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝜑𝜓))
63, 4, 5ac6s6 37088 . . . 4 𝑓𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑𝜓)
72, 6exan 1866 . . 3 𝑧(𝑧 = 𝐴 ∧ ∃𝑓𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑𝜓))
8 exdistr 1959 . . 3 (∃𝑧𝑓(𝑧 = 𝐴 ∧ ∀𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑𝜓)) ↔ ∃𝑧(𝑧 = 𝐴 ∧ ∃𝑓𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑𝜓)))
97, 8mpbir 230 . 2 𝑧𝑓(𝑧 = 𝐴 ∧ ∀𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑𝜓))
10 nfcv 2904 . . . . 5 𝑥𝑧
11 ac6s6f.4 . . . . 5 𝑥𝐴
1210, 11raleqf 3350 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑𝜓) ↔ ∀𝑥𝐴 (∃𝑦𝜑𝜓)))
1312biimpa 478 . . 3 ((𝑧 = 𝐴 ∧ ∀𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑𝜓)) → ∀𝑥𝐴 (∃𝑦𝜑𝜓))
14132eximi 1839 . 2 (∃𝑧𝑓(𝑧 = 𝐴 ∧ ∀𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑𝜓)) → ∃𝑧𝑓𝑥𝐴 (∃𝑦𝜑𝜓))
15 ax5e 1916 . 2 (∃𝑧𝑓𝑥𝐴 (∃𝑦𝜑𝜓) → ∃𝑓𝑥𝐴 (∃𝑦𝜑𝜓))
169, 14, 15mp2b 10 1 𝑓𝑥𝐴 (∃𝑦𝜑𝜓)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wnf 1786  wcel 2107  wnfc 2884  wral 3062  Vcvv 3475  cfv 6544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-reg 9587  ax-inf2 9636  ax-ac2 10458
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-en 8940  df-r1 9759  df-rank 9760  df-card 9934  df-ac 10111
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator