Theorem ac6s6f 38163

Description: Generalization of the Axiom of Choice to classes, moving the existence condition in the consequent. (Contributed by Giovanni Mascellani, 20-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6s6f.1	⊢ 𝐴 ∈ V
ac6s6f.2	⊢ Ⅎ𝑦𝜓
ac6s6f.3	⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))
ac6s6f.4	⊢ Ⅎ𝑥𝐴

Assertion

Ref	Expression
ac6s6f	⊢ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑓   𝑥,𝑦,𝑓   𝐴,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ac6s6f

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac6s6f.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	isseti 3454	. . . 4 ⊢ ∃𝑧 𝑧 = 𝐴
3		ac6s6f.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝜓
4		vex 3440	. . . . 5 ⊢ 𝑧 ∈ V
5		ac6s6f.3	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))
6	3, 4, 5	ac6s6 38162	. . . 4 ⊢ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)
7	2, 6	exan 1862	. . 3 ⊢ ∃𝑧(𝑧 = 𝐴 ∧ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓))
8		exdistr 1954	. . 3 ⊢ (∃𝑧∃𝑓(𝑧 = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)) ↔ ∃𝑧(𝑧 = 𝐴 ∧ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)))
9	7, 8	mpbir 231	. 2 ⊢ ∃𝑧∃𝑓(𝑧 = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓))
10		nfcv 2891	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
11		ac6s6f.4	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
12	10, 11	raleqf 3318	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)))
13	12	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝑧 = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓))
14	13	2eximi 1836	. 2 ⊢ (∃𝑧∃𝑓(𝑧 = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)) → ∃𝑧∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓))
15		ax5e 1912	. 2 ⊢ (∃𝑧∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓))
16	9, 14, 15	mp2b 10	1 ⊢ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2876  ∀wral 3044  Vcvv 3436  ‘cfv 6482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-reg 9484  ax-inf2 9537  ax-ac2 10357

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-en 8873  df-r1 9660  df-rank 9661  df-card 9835  df-ac 10010

This theorem is referenced by: (None)