Theorem ac6s6f 38677

Description: Generalization of the Axiom of Choice to classes, moving the existence condition in the consequent. (Contributed by Giovanni Mascellani, 20-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6s6f.1	⊢ 𝐴 ∈ V
ac6s6f.2	⊢ Ⅎ𝑦𝜓
ac6s6f.3	⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))
ac6s6f.4	⊢ Ⅎ𝑥𝐴

Assertion

Ref	Expression
ac6s6f	⊢ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑓   𝑥,𝑦,𝑓   𝐴,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ac6s6f

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac6s6f.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	isseti 3474	. . . 4 ⊢ ∃𝑧 𝑧 = 𝐴
3		ac6s6f.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝜓
4		vex 3460	. . . . 5 ⊢ 𝑧 ∈ V
5		ac6s6f.3	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))
6	3, 4, 5	ac6s6 38676	. . . 4 ⊢ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)
7	2, 6	exan 1884	. . 3 ⊢ ∃𝑧(𝑧 = 𝐴 ∧ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓))
8		exdistr 1976	. . 3 ⊢ (∃𝑧∃𝑓(𝑧 = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)) ↔ ∃𝑧(𝑧 = 𝐴 ∧ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)))
9	7, 8	mpbir 233	. 2 ⊢ ∃𝑧∃𝑓(𝑧 = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓))
10		nfcv 2926	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
11		ac6s6f.4	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
12	10, 11	raleqf 3345	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)))
13	12	biimpa 480	. . 3 ⊢ ((𝑧 = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓))
14	13	2eximi 1858	. 2 ⊢ (∃𝑧∃𝑓(𝑧 = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)) → ∃𝑧∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓))
15		ax5e 1934	. 2 ⊢ (∃𝑧∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓))
16	9, 14, 15	mp2b 10	1 ⊢ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1562  ∃wex 1801  Ⅎwnf 1805   ∈ wcel 2144  Ⅎwnfc 2911  ∀wral 3078  Vcvv 3456  ‘cfv 6523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-reg 9542  ax-inf2 9598  ax-ac2 10422

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-en 8930  df-r1 9724  df-rank 9725  df-card 9899  df-ac 10074

This theorem is referenced by: (None)