Theorem ac6s6f 39106

Description: Generalization of the Axiom of Choice to classes, moving the existence condition in the consequent. (Contributed by Giovanni Mascellani, 20-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6s6f.1	⊢ 𝐴 ∈ V
ac6s6f.2	⊢ Ⅎ𝑦𝜓
ac6s6f.3	⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))
ac6s6f.4	⊢ Ⅎ𝑥𝐴

Assertion

Ref	Expression
ac6s6f	⊢ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑓   𝑥,𝑦,𝑓   𝐴,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑓)   𝐴(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem ac6s6f

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac6s6f.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	isseti 3468	. . . 4 ⊢ ∃𝑧 𝑧 = 𝐴
3		ac6s6f.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝜓
4		vex 3454	. . . . 5 ⊢ 𝑧 ∈ V
5		ac6s6f.3	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))
6	3, 4, 5	ac6s6 39105	. . . 4 ⊢ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)
7	2, 6	exan 1894	. . 3 ⊢ ∃𝑧(𝑧 = 𝐴 ∧ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓))
8		exdistr 1986	. . 3 ⊢ (∃𝑧∃𝑓(𝑧 = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)) ↔ ∃𝑧(𝑧 = 𝐴 ∧ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)))
9	7, 8	mpbir 234	. 2 ⊢ ∃𝑧∃𝑓(𝑧 = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓))
10		nfcv 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
11		ac6s6f.4	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
12	10, 11	raleqf 3341	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)))
13	12	biimpa 482	. . 3 ⊢ ((𝑧 = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓))
14	13	2eximi 1868	. 2 ⊢ (∃𝑧∃𝑓(𝑧 = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)) → ∃𝑧∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓))
15		ax5e 1944	. 2 ⊢ (∃𝑧∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓))
16	9, 14, 15	mp2b 10	1 ⊢ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ∃wex 1811  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2144  Ⅎwnfc 2907  ∀wral 3076  Vcvv 3450  ‘cfv 6538

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-reg 9586  ax-inf2 9642  ax-ac2 10541

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-en 8974  df-r1 9768  df-rank 9769  df-scott 9929  df-card 10020  df-ac 10195

This theorem is used by: (None)