Theorem ac6s6f 38986

Description: Generalization of the Axiom of Choice to classes, moving the existence condition in the consequent. (Contributed by Giovanni Mascellani, 20-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6s6f.1	⊢ 𝐴 ∈ V
ac6s6f.2	⊢ Ⅎ𝑦𝜓
ac6s6f.3	⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))
ac6s6f.4	⊢ Ⅎ𝑥𝐴

Assertion

Ref	Expression
ac6s6f	⊢ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑓   𝑥,𝑦,𝑓   𝐴,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑓)   𝐴(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem ac6s6f

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac6s6f.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	isseti 3468	. . . 4 ⊢ ∃𝑧 𝑧 = 𝐴
3		ac6s6f.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝜓
4		vex 3454	. . . . 5 ⊢ 𝑧 ∈ V
5		ac6s6f.3	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))
6	3, 4, 5	ac6s6 38985	. . . 4 ⊢ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)
7	2, 6	exan 1895	. . 3 ⊢ ∃𝑧(𝑧 = 𝐴 ∧ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓))
8		exdistr 1987	. . 3 ⊢ (∃𝑧∃𝑓(𝑧 = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)) ↔ ∃𝑧(𝑧 = 𝐴 ∧ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)))
9	7, 8	mpbir 234	. 2 ⊢ ∃𝑧∃𝑓(𝑧 = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓))
10		nfcv 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
11		ac6s6f.4	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
12	10, 11	raleqf 3341	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)))
13	12	biimpa 482	. . 3 ⊢ ((𝑧 = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓))
14	13	2eximi 1869	. 2 ⊢ (∃𝑧∃𝑓(𝑧 = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)) → ∃𝑧∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓))
15		ax5e 1945	. 2 ⊢ (∃𝑧∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓))
16	9, 14, 15	mp2b 10	1 ⊢ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2907  ∀wral 3076  Vcvv 3450  ‘cfv 6535

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-reg 9571  ax-inf2 9627  ax-ac2 10490

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7373  df-ov 7419  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-en 8960  df-r1 9753  df-rank 9754  df-scott 9893  df-card 9969  df-ac 10144

This theorem is used by: (None)