Users' Mathboxes Mathbox for Giovanni Mascellani < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ac6s6f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ac6s6f 36436
Description: Generalization of the Axiom of Choice to classes, moving the existence condition in the consequent. (Contributed by Giovanni Mascellani, 20-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6s6f.1 𝐴 ∈ V
ac6s6f.2 𝑦𝜓
ac6s6f.3 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝜑𝜓))
ac6s6f.4 𝑥𝐴
Assertion
Ref Expression
ac6s6f 𝑓𝑥𝐴 (∃𝑦𝜑𝜓)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑓   𝑥,𝑦,𝑓   𝐴,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ac6s6f
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ac6s6f.1 . . . . 5 𝐴 ∈ V
21isseti 3456 . . . 4 𝑧 𝑧 = 𝐴
3 ac6s6f.2 . . . . 5 𝑦𝜓
4 vex 3445 . . . . 5 𝑧 ∈ V
5 ac6s6f.3 . . . . 5 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝜑𝜓))
63, 4, 5ac6s6 36435 . . . 4 𝑓𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑𝜓)
72, 6exan 1864 . . 3 𝑧(𝑧 = 𝐴 ∧ ∃𝑓𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑𝜓))
8 exdistr 1957 . . 3 (∃𝑧𝑓(𝑧 = 𝐴 ∧ ∀𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑𝜓)) ↔ ∃𝑧(𝑧 = 𝐴 ∧ ∃𝑓𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑𝜓)))
97, 8mpbir 230 . 2 𝑧𝑓(𝑧 = 𝐴 ∧ ∀𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑𝜓))
10 nfcv 2904 . . . . 5 𝑥𝑧
11 ac6s6f.4 . . . . 5 𝑥𝐴
1210, 11raleqf 3324 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑𝜓) ↔ ∀𝑥𝐴 (∃𝑦𝜑𝜓)))
1312biimpa 477 . . 3 ((𝑧 = 𝐴 ∧ ∀𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑𝜓)) → ∀𝑥𝐴 (∃𝑦𝜑𝜓))
14132eximi 1837 . 2 (∃𝑧𝑓(𝑧 = 𝐴 ∧ ∀𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑𝜓)) → ∃𝑧𝑓𝑥𝐴 (∃𝑦𝜑𝜓))
15 ax5e 1914 . 2 (∃𝑧𝑓𝑥𝐴 (∃𝑦𝜑𝜓) → ∃𝑓𝑥𝐴 (∃𝑦𝜑𝜓))
169, 14, 15mp2b 10 1 𝑓𝑥𝐴 (∃𝑦𝜑𝜓)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wex 1780  wnf 1784  wcel 2105  wnfc 2884  wral 3061  Vcvv 3441  cfv 6479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-reg 9449  ax-inf2 9498  ax-ac2 10320
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-en 8805  df-r1 9621  df-rank 9622  df-card 9796  df-ac 9973
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator