Theorem ac6s6f 36310

Description: Generalization of the Axiom of Choice to classes, moving the existence condition in the consequent. (Contributed by Giovanni Mascellani, 20-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6s6f.1	⊢ 𝐴 ∈ V
ac6s6f.2	⊢ Ⅎ𝑦𝜓
ac6s6f.3	⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))
ac6s6f.4	⊢ Ⅎ𝑥𝐴

Assertion

Ref	Expression
ac6s6f	⊢ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑓   𝑥,𝑦,𝑓   𝐴,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ac6s6f

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac6s6f.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	isseti 3445	. . . 4 ⊢ ∃𝑧 𝑧 = 𝐴
3		ac6s6f.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝜓
4		vex 3434	. . . . 5 ⊢ 𝑧 ∈ V
5		ac6s6f.3	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))
6	3, 4, 5	ac6s6 36309	. . . 4 ⊢ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)
7	2, 6	exan 1868	. . 3 ⊢ ∃𝑧(𝑧 = 𝐴 ∧ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓))
8		exdistr 1961	. . 3 ⊢ (∃𝑧∃𝑓(𝑧 = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)) ↔ ∃𝑧(𝑧 = 𝐴 ∧ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)))
9	7, 8	mpbir 230	. 2 ⊢ ∃𝑧∃𝑓(𝑧 = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓))
10		nfcv 2908	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
11		ac6s6f.4	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
12	10, 11	raleqf 3330	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)))
13	12	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝑧 = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓))
14	13	2eximi 1841	. 2 ⊢ (∃𝑧∃𝑓(𝑧 = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)) → ∃𝑧∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓))
15		ax5e 1918	. 2 ⊢ (∃𝑧∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓))
16	9, 14, 15	mp2b 10	1 ⊢ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦𝜑 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1785  Ⅎwnf 1789   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2888  ∀wral 3065  Vcvv 3430  ‘cfv 6430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-reg 9312  ax-inf2 9360  ax-ac2 10203

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-iin 4932  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-en 8708  df-r1 9506  df-rank 9507  df-card 9681  df-ac 9856

This theorem is referenced by: (None)