Theorem ackbij2lem4 10229

Description: Lemma for ackbij2 10230. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ackbij.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
ackbij.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑥 ↦ (𝐹‘(𝑥 “ 𝑦))))

Assertion

Ref	Expression
ackbij2lem4	⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (rec(𝐺, ∅)‘𝐵) ⊆ (rec(𝐺, ∅)‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem ackbij2lem4

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6881	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → (rec(𝐺, ∅)‘𝑎) = (rec(𝐺, ∅)‘𝐵))
2	1	sseq2d 3969	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → ((rec(𝐺, ∅)‘𝐵) ⊆ (rec(𝐺, ∅)‘𝑎) ↔ (rec(𝐺, ∅)‘𝐵) ⊆ (rec(𝐺, ∅)‘𝐵)))
3		fveq2 6881	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (rec(𝐺, ∅)‘𝑎) = (rec(𝐺, ∅)‘𝑏))
4	3	sseq2d 3969	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((rec(𝐺, ∅)‘𝐵) ⊆ (rec(𝐺, ∅)‘𝑎) ↔ (rec(𝐺, ∅)‘𝐵) ⊆ (rec(𝐺, ∅)‘𝑏)))
5		fveq2 6881	. . 3 ⊢ (𝑎 = suc 𝑏 → (rec(𝐺, ∅)‘𝑎) = (rec(𝐺, ∅)‘suc 𝑏))
6	5	sseq2d 3969	. 2 ⊢ (𝑎 = suc 𝑏 → ((rec(𝐺, ∅)‘𝐵) ⊆ (rec(𝐺, ∅)‘𝑎) ↔ (rec(𝐺, ∅)‘𝐵) ⊆ (rec(𝐺, ∅)‘suc 𝑏)))
7		fveq2 6881	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (rec(𝐺, ∅)‘𝑎) = (rec(𝐺, ∅)‘𝐴))
8	7	sseq2d 3969	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((rec(𝐺, ∅)‘𝐵) ⊆ (rec(𝐺, ∅)‘𝑎) ↔ (rec(𝐺, ∅)‘𝐵) ⊆ (rec(𝐺, ∅)‘𝐴)))
9		ssidd 3960	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (rec(𝐺, ∅)‘𝐵) ⊆ (rec(𝐺, ∅)‘𝐵))
10		ackbij.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
11		ackbij.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑥 ↦ (𝐹‘(𝑥 “ 𝑦))))
12	10, 11	ackbij2lem3 10228	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ω → (rec(𝐺, ∅)‘𝑏) ⊆ (rec(𝐺, ∅)‘suc 𝑏))
13	12	ad2antrr 738	. . 3 ⊢ (((𝑏 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑏) → (rec(𝐺, ∅)‘𝑏) ⊆ (rec(𝐺, ∅)‘suc 𝑏))
14		sstr2 3944	. . 3 ⊢ ((rec(𝐺, ∅)‘𝐵) ⊆ (rec(𝐺, ∅)‘𝑏) → ((rec(𝐺, ∅)‘𝑏) ⊆ (rec(𝐺, ∅)‘suc 𝑏) → (rec(𝐺, ∅)‘𝐵) ⊆ (rec(𝐺, ∅)‘suc 𝑏)))
15	13, 14	syl5com 32	. 2 ⊢ (((𝑏 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑏) → ((rec(𝐺, ∅)‘𝐵) ⊆ (rec(𝐺, ∅)‘𝑏) → (rec(𝐺, ∅)‘𝐵) ⊆ (rec(𝐺, ∅)‘suc 𝑏)))
16	2, 4, 6, 8, 9, 15	findsg 7890	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (rec(𝐺, ∅)‘𝐵) ⊆ (rec(𝐺, ∅)‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4562  {csn 4589  ∪ ciun 4956   ↦ cmpt 5192   × cxp 5659  dom cdm 5661   “ cima 5664  suc csuc 6362  ‘cfv 6536  ωcom 7858  reccrdg 8392  Fincfn 8939  cardccrd 9926

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-r1 9732  df-dju 9892  df-card 9930

This theorem is used by:  ackbij2  10230