Theorem addsfo 27851

Description: Surreal addition is onto. (Contributed by Scott Fenton, 21-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
addsfo	⊢ +s :( No × No )–onto→ No

Proof of Theorem addsfo

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addsf 27850	. 2 ⊢ +s :( No × No )⟶ No
2		0sno 27710	. . . . 5 ⊢ 0s ∈ No
3		opelxpi 5706	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ No ∧ 0s ∈ No ) → ⟨𝑧, 0s ⟩ ∈ ( No × No ))
4	2, 3	mpan2 688	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ No → ⟨𝑧, 0s ⟩ ∈ ( No × No ))
5		addsrid 27832	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ No → (𝑧 +s 0s ) = 𝑧)
6	5	eqcomd 2732	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ No → 𝑧 = (𝑧 +s 0s ))
7		fveq2 6884	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑧, 0s ⟩ → ( +s ‘𝑥) = ( +s ‘⟨𝑧, 0s ⟩))
8		df-ov 7407	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 +s 0s ) = ( +s ‘⟨𝑧, 0s ⟩)
9	7, 8	eqtr4di 2784	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑧, 0s ⟩ → ( +s ‘𝑥) = (𝑧 +s 0s ))
10	9	rspceeqv 3628	. . . 4 ⊢ ((⟨𝑧, 0s ⟩ ∈ ( No × No ) ∧ 𝑧 = (𝑧 +s 0s )) → ∃𝑥 ∈ ( No × No )𝑧 = ( +s ‘𝑥))
11	4, 6, 10	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ No → ∃𝑥 ∈ ( No × No )𝑧 = ( +s ‘𝑥))
12	11	rgen 3057	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ No ∃𝑥 ∈ ( No × No )𝑧 = ( +s ‘𝑥)
13		dffo3 7096	. 2 ⊢ ( +s :( No × No )–onto→ No ↔ ( +s :( No × No )⟶ No ∧ ∀𝑧 ∈ No ∃𝑥 ∈ ( No × No )𝑧 = ( +s ‘𝑥)))
14	1, 12, 13	mpbir2an 708	1 ⊢ +s :( No × No )–onto→ No

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  ∃wrex 3064  ⟨cop 4629   × cxp 5667  ⟶wf 6532  –onto→wfo 6534  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404   No csur 27524   0_s c0s 27706   +_s cadds 27827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-1o 8464  df-2o 8465  df-nadd 8664  df-no 27527  df-slt 27528  df-bday 27529  df-sslt 27665  df-scut 27667  df-0s 27708  df-made 27725  df-old 27726  df-left 27728  df-right 27729  df-norec2 27817  df-adds 27828

This theorem is referenced by: (None)