Theorem addsfo 27890

Description: Surreal addition is onto. (Contributed by Scott Fenton, 21-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
addsfo	⊢ +s :( No × No )–onto→ No

Proof of Theorem addsfo

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addsf 27889	. 2 ⊢ +s :( No × No )⟶ No
2		0sno 27738	. . . . 5 ⊢ 0s ∈ No
3		opelxpi 5675	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ No ∧ 0s ∈ No ) → ⟨𝑧, 0s ⟩ ∈ ( No × No ))
4	2, 3	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ No → ⟨𝑧, 0s ⟩ ∈ ( No × No ))
5		addsrid 27871	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ No → (𝑧 +s 0s ) = 𝑧)
6	5	eqcomd 2735	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ No → 𝑧 = (𝑧 +s 0s ))
7		fveq2 6858	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑧, 0s ⟩ → ( +s ‘𝑥) = ( +s ‘⟨𝑧, 0s ⟩))
8		df-ov 7390	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 +s 0s ) = ( +s ‘⟨𝑧, 0s ⟩)
9	7, 8	eqtr4di 2782	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑧, 0s ⟩ → ( +s ‘𝑥) = (𝑧 +s 0s ))
10	9	rspceeqv 3611	. . . 4 ⊢ ((⟨𝑧, 0s ⟩ ∈ ( No × No ) ∧ 𝑧 = (𝑧 +s 0s )) → ∃𝑥 ∈ ( No × No )𝑧 = ( +s ‘𝑥))
11	4, 6, 10	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ No → ∃𝑥 ∈ ( No × No )𝑧 = ( +s ‘𝑥))
12	11	rgen 3046	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ No ∃𝑥 ∈ ( No × No )𝑧 = ( +s ‘𝑥)
13		dffo3 7074	. 2 ⊢ ( +s :( No × No )–onto→ No ↔ ( +s :( No × No )⟶ No ∧ ∀𝑧 ∈ No ∃𝑥 ∈ ( No × No )𝑧 = ( +s ‘𝑥)))
14	1, 12, 13	mpbir2an 711	1 ⊢ +s :( No × No )–onto→ No

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  ⟨cop 4595   × cxp 5636  ⟶wf 6507  –onto→wfo 6509  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   No csur 27551   0_s c0s 27734   +_s cadds 27866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-1o 8434  df-2o 8435  df-nadd 8630  df-no 27554  df-slt 27555  df-bday 27556  df-sslt 27693  df-scut 27695  df-0s 27736  df-made 27755  df-old 27756  df-left 27758  df-right 27759  df-norec2 27856  df-adds 27867

This theorem is referenced by: (None)