Theorem addsfo 27913

Description: Surreal addition is onto. (Contributed by Scott Fenton, 21-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
addsfo	⊢ +s :( No × No )–onto→ No

Proof of Theorem addsfo

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addsf 27912	. 2 ⊢ +s :( No × No )⟶ No
2		0sno 27772	. . . . 5 ⊢ 0s ∈ No
3		opelxpi 5715	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ No ∧ 0s ∈ No ) → ⟨𝑧, 0s ⟩ ∈ ( No × No ))
4	2, 3	mpan2 690	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ No → ⟨𝑧, 0s ⟩ ∈ ( No × No ))
5		addsrid 27894	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ No → (𝑧 +s 0s ) = 𝑧)
6	5	eqcomd 2734	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ No → 𝑧 = (𝑧 +s 0s ))
7		fveq2 6897	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑧, 0s ⟩ → ( +s ‘𝑥) = ( +s ‘⟨𝑧, 0s ⟩))
8		df-ov 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 +s 0s ) = ( +s ‘⟨𝑧, 0s ⟩)
9	7, 8	eqtr4di 2786	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑧, 0s ⟩ → ( +s ‘𝑥) = (𝑧 +s 0s ))
10	9	rspceeqv 3631	. . . 4 ⊢ ((⟨𝑧, 0s ⟩ ∈ ( No × No ) ∧ 𝑧 = (𝑧 +s 0s )) → ∃𝑥 ∈ ( No × No )𝑧 = ( +s ‘𝑥))
11	4, 6, 10	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ No → ∃𝑥 ∈ ( No × No )𝑧 = ( +s ‘𝑥))
12	11	rgen 3060	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ No ∃𝑥 ∈ ( No × No )𝑧 = ( +s ‘𝑥)
13		dffo3 7112	. 2 ⊢ ( +s :( No × No )–onto→ No ↔ ( +s :( No × No )⟶ No ∧ ∀𝑧 ∈ No ∃𝑥 ∈ ( No × No )𝑧 = ( +s ‘𝑥)))
14	1, 12, 13	mpbir2an 710	1 ⊢ +s :( No × No )–onto→ No

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3058  ∃wrex 3067  ⟨cop 4635   × cxp 5676  ⟶wf 6544  –onto→wfo 6546  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420   No csur 27586   0_s c0s 27768   +_s cadds 27889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-1o 8487  df-2o 8488  df-nadd 8687  df-no 27589  df-slt 27590  df-bday 27591  df-sslt 27727  df-scut 27729  df-0s 27770  df-made 27787  df-old 27788  df-left 27790  df-right 27791  df-norec2 27879  df-adds 27890

This theorem is referenced by: (None)