Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  addsubeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addsubeq0 44749
Description: The sum of two complex numbers is equal to the difference of these two complex numbers iff the subtrahend is 0. (Contributed by AV, 8-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
addsubeq0 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴𝐵) ↔ 𝐵 = 0))

Proof of Theorem addsubeq0
StepHypRef Expression
1 negsub 11261 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
21eqcomd 2746 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) = (𝐴 + -𝐵))
32eqeq2d 2751 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + -𝐵)))
4 negcl 11213 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
54adantl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -𝐵 ∈ ℂ)
6 addcan 11151 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + -𝐵) ↔ 𝐵 = -𝐵))
75, 6mpd3an3 1461 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + -𝐵) ↔ 𝐵 = -𝐵))
8 eqneg 11687 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 = -𝐵𝐵 = 0))
98adantl 482 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 = -𝐵𝐵 = 0))
103, 7, 93bitrd 305 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴𝐵) ↔ 𝐵 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  (class class class)co 7269  cc 10862  0cc0 10864   + caddc 10867  cmin 11197  -cneg 11198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-er 8473  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200
This theorem is referenced by:  inlinecirc02plem  46093
  Copyright terms: Public domain W3C validator