Theorem negsub 11508

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11447	. . . 4 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
2	1	oveq2i 7420	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
4		0cn 11206	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
5		addsubass 11470	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
6	4, 5	mp3an2 1450	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
7		simpl 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	addridd 11414	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
9	8	oveq1d 7424	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
10	3, 6, 9	3eqtr2d 2779	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  0cc0 11110   + caddc 11113   − cmin 11444  -cneg 11445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446  df-neg 11447

This theorem is referenced by:  negdi2  11518  negsubdi2  11519  resubcli  11522  resubcl  11524  negsubi  11538  negsubd  11577  submul2  11654  addneg1mul  11656  mulsub  11657  divsubdir  11908  difgtsumgt  12525  elz2  12576  zsubcl  12604  qsubcl  12952  rexsub  13212  fzsubel  13537  ceim1l  13812  modcyc2  13872  negmod  13881  modsumfzodifsn  13909  expsub  14076  binom2sub  14183  seqshft  15032  resub  15074  imsub  15082  cjsub  15096  cjreim  15107  absdiflt  15264  absdifle  15265  abs2dif2  15280  subcn2  15539  bpoly2  16001  bpoly3  16002  efsub  16043  efi4p  16080  sinsub  16111  cossub  16112  demoivreALT  16144  dvdssub  16247  modgcd  16474  gzsubcl  16873  psgnunilem2  19363  cnfldsub  20973  itg1sub  25227  plyremlem  25817  sineq0  26033  logneg2  26123  ang180lem2  26315  asinsin  26397  atanneg  26412  atancj  26415  atanlogadd  26419  atanlogsublem  26420  atanlogsub  26421  2efiatan  26423  tanatan  26424  cosatan  26426  atans2  26436  dvatan  26440  zetacvg  26519  wilthlem1  26572  wilthlem2  26573  basellem8  26592  lgsvalmod  26819  cnnvm  29966  cncph  30103  hvsubdistr2  30334  lnfnsubi  31330  subfacval2  34209  itg2addnclem3  36589  lcmineqlem1  40942  2xp3dxp2ge1d  41070  pellexlem6  41620  pell14qrdich  41655  rmxm1  41721  rmym1  41722  addsubeq0  46052  omoeALTV  46401  omeoALTV  46402  emoo  46420  emee  46422  zlmodzxzequap  47228  flsubz  47251