Theorem negsub 11431

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11369	. . . 4 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
2	1	oveq2i 7367	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
4		0cn 11125	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
5		addsubass 11392	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
6	4, 5	mp3an2 1452	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
7		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	addridd 11335	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
9	8	oveq1d 7371	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
10	3, 6, 9	3eqtr2d 2776	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7356  ℂcc 11025  0cc0 11027   + caddc 11030   − cmin 11366  -cneg 11367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-po 5528  df-so 5529  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11368  df-neg 11369

This theorem is referenced by:  negdi2  11441  negsubdi2  11442  resubcli  11445  resubcl  11447  negsubi  11461  negsubd  11500  submul2  11579  addneg1mul  11581  mulsub  11582  divsubdir  11837  difgtsumgt  12479  elz2  12531  zsubcl  12558  qsubcl  12907  rexsub  13174  fzsubel  13503  ceim1l  13795  modcyc2  13855  negmod  13867  modsumfzodifsn  13895  expsub  14061  binom2sub  14171  seqshft  15036  resub  15078  imsub  15086  cjsub  15100  cjreim  15111  absdiflt  15269  absdifle  15270  abs2dif2  15285  subcn2  15546  bpoly2  16011  bpoly3  16012  efsub  16056  efi4p  16093  sinsub  16124  cossub  16125  demoivreALT  16157  difmod0  16245  dvdssub  16262  modgcd  16490  gzsubcl  16900  psgnunilem2  19459  cnfldsub  21369  itg1sub  25664  plyremlem  26258  sineq0  26476  logneg2  26567  ang180lem2  26762  asinsin  26844  atanneg  26859  atancj  26862  atanlogadd  26866  atanlogsublem  26867  atanlogsub  26868  2efiatan  26870  tanatan  26871  cosatan  26873  atans2  26883  dvatan  26887  zetacvg  26966  wilthlem1  27019  wilthlem2  27020  basellem8  27039  lgsvalmod  27267  cnnvm  30741  cncph  30878  hvsubdistr2  31109  lnfnsubi  32105  subfacval2  35357  itg2addnclem3  37982  lcmineqlem1  42456  pellexlem6  43250  pell14qrdich  43285  rmxm1  43350  rmym1  43351  addsubeq0  47732  omoeALTV  48149  omeoALTV  48150  emoo  48168  emee  48170  zlmodzxzequap  48963  flsubz  48986