MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negsub 10926
Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
negsub ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))

Proof of Theorem negsub
StepHypRef Expression
1 df-neg 10865 . . . 4 -𝐵 = (0 − 𝐵)
21oveq2i 7162 . . 3 (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵))
32a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
4 0cn 10625 . . 3 0 ∈ ℂ
5 addsubass 10888 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
64, 5mp3an2 1442 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
7 simpl 483 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
87addid1d 10832 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
98oveq1d 7166 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴𝐵))
103, 6, 93eqtr2d 2866 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  (class class class)co 7151  cc 10527  0cc0 10529   + caddc 10532  cmin 10862  -cneg 10863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-po 5472  df-so 5473  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-ltxr 10672  df-sub 10864  df-neg 10865
This theorem is referenced by:  negdi2  10936  negsubdi2  10937  resubcli  10940  resubcl  10942  negsubi  10956  negsubd  10995  submul2  11072  addneg1mul  11074  mulsub  11075  divsubdir  11326  difgtsumgt  11942  elz2  11991  zsubcl  12016  qsubcl  12360  rexsub  12619  fzsubel  12936  ceim1l  13208  modcyc2  13268  negmod  13277  modsumfzodifsn  13305  expsub  13470  binom2sub  13574  seqshft  14437  resub  14479  imsub  14487  cjsub  14501  cjreim  14512  absdiflt  14670  absdifle  14671  abs2dif2  14686  subcn2  14944  bpoly2  15403  bpoly3  15404  efsub  15445  efi4p  15482  sinsub  15513  cossub  15514  demoivreALT  15546  dvdssub  15646  modgcd  15872  gzsubcl  16268  psgnunilem2  18545  cnfldsub  20489  itg1sub  24225  plyremlem  24808  sineq0  25024  logneg2  25111  ang180lem2  25301  asinsin  25383  atanneg  25398  atancj  25401  atanlogadd  25405  atanlogsublem  25406  atanlogsub  25407  2efiatan  25409  tanatan  25410  cosatan  25412  atans2  25422  dvatan  25426  zetacvg  25506  wilthlem1  25559  wilthlem2  25560  basellem8  25579  lgsvalmod  25806  cnnvm  28373  cncph  28510  hvsubdistr2  28741  lnfnsubi  29737  subfacval2  32318  itg2addnclem3  34812  pellexlem6  39292  pell14qrdich  39327  rmxm1  39392  rmym1  39393  addsubeq0  43358  omoeALTV  43678  omeoALTV  43679  emoo  43697  emee  43699  zlmodzxzequap  44382  flsubz  44405
  Copyright terms: Public domain W3C validator