Theorem negsub 10934

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 10873	. . . 4 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
2	1	oveq2i 7167	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
4		0cn 10633	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
5		addsubass 10896	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
6	4, 5	mp3an2 1445	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
7		simpl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	addid1d 10840	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
9	8	oveq1d 7171	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
10	3, 6, 9	3eqtr2d 2862	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  0cc0 10537   + caddc 10540   − cmin 10870  -cneg 10871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680  df-sub 10872  df-neg 10873

This theorem is referenced by:  negdi2  10944  negsubdi2  10945  resubcli  10948  resubcl  10950  negsubi  10964  negsubd  11003  submul2  11080  addneg1mul  11082  mulsub  11083  divsubdir  11334  difgtsumgt  11951  elz2  12000  zsubcl  12025  qsubcl  12368  rexsub  12627  fzsubel  12944  ceim1l  13216  modcyc2  13276  negmod  13285  modsumfzodifsn  13313  expsub  13478  binom2sub  13582  seqshft  14444  resub  14486  imsub  14494  cjsub  14508  cjreim  14519  absdiflt  14677  absdifle  14678  abs2dif2  14693  subcn2  14951  bpoly2  15411  bpoly3  15412  efsub  15453  efi4p  15490  sinsub  15521  cossub  15522  demoivreALT  15554  dvdssub  15654  modgcd  15880  gzsubcl  16276  psgnunilem2  18623  cnfldsub  20573  itg1sub  24310  plyremlem  24893  sineq0  25109  logneg2  25198  ang180lem2  25388  asinsin  25470  atanneg  25485  atancj  25488  atanlogadd  25492  atanlogsublem  25493  atanlogsub  25494  2efiatan  25496  tanatan  25497  cosatan  25499  atans2  25509  dvatan  25513  zetacvg  25592  wilthlem1  25645  wilthlem2  25646  basellem8  25665  lgsvalmod  25892  cnnvm  28459  cncph  28596  hvsubdistr2  28827  lnfnsubi  29823  subfacval2  32434  itg2addnclem3  34960  2xp3dxp2ge1d  39117  pellexlem6  39451  pell14qrdich  39486  rmxm1  39551  rmym1  39552  addsubeq0  43516  omoeALTV  43870  omeoALTV  43871  emoo  43889  emee  43891  zlmodzxzequap  44574  flsubz  44597