Theorem negsub 11512

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11450	. . . 4 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
2	1	oveq2i 7423	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
4		0cn 11204	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
5		addsubass 11473	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
6	4, 5	mp3an2 1477	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
7		simpl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	addridd 11416	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
9	8	oveq1d 7427	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
10	3, 6, 9	3eqtr2d 2803	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  0cc0 11106   + caddc 11109   − cmin 11447  -cneg 11448

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11449  df-neg 11450

This theorem is used by:  negdi2  11522  negsubdi2  11523  resubcli  11526  resubcl  11528  negsubi  11542  negsubd  11581  submul2  11660  addneg1mul  11662  mulsub  11663  divsubdir  11914  difgtsumgt  12563  elz2  12615  zsubcl  12642  qsubcl  12998  rexsub  13265  fzsubel  13595  ceim1l  13887  modcyc2  13947  negmod  13959  modsumfzodifsn  13987  expsub  14153  binom2sub  14263  seqshft  15129  resub  15185  imsub  15193  cjsub  15207  cjreim  15218  absdiflt  15376  absdifle  15377  abs2dif2  15392  subcn2  15653  bpoly2  16117  bpoly3  16118  efsub  16162  efi4p  16199  sinsub  16230  cossub  16231  demoivreALT  16263  difmod0  16351  dvdssub  16368  modgcd  16596  gzsubcl  17006  psgnunilem2  19571  cnfldsub  21561  itg1sub  25879  plyremlem  26476  sineq0  26700  logneg2  26791  ang180lem2  26986  asinsin  27068  atanneg  27083  atancj  27086  atanlogadd  27090  atanlogsublem  27091  atanlogsub  27092  2efiatan  27094  tanatan  27095  cosatan  27097  atans2  27107  dvatan  27111  zetacvg  27190  wilthlem1  27243  wilthlem2  27244  basellem8  27263  lgsvalmod  27491  cnnvm  31045  cncph  31182  hvsubdistr2  31413  lnfnsubi  32409  subfacval2  35687  itg2addnclem3  38352  lcmineqlem1  42824  pellexlem6  43589  pell14qrdich  43624  rmxm1  43689  rmym1  43690  addsubeq0  48061  omoeALTV  48478  omeoALTV  48479  emoo  48497  emee  48499  zlmodzxzequap  49307  flsubz  49330