Theorem negsub 11505

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11443	. . . 4 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
2	1	oveq2i 7421	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
4		0cn 11197	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
5		addsubass 11466	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
6	4, 5	mp3an2 1476	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
7		simpl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	addridd 11409	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
9	8	oveq1d 7425	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
10	3, 6, 9	3eqtr2d 2802	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7410  ℂcc 11097  0cc0 11099   + caddc 11102   − cmin 11440  -cneg 11441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-ltxr 11247  df-sub 11442  df-neg 11443

This theorem is referenced by:  negdi2  11515  negsubdi2  11516  resubcli  11519  resubcl  11521  negsubi  11535  negsubd  11574  submul2  11653  addneg1mul  11655  mulsub  11656  divsubdir  11907  difgtsumgt  12556  elz2  12608  zsubcl  12635  qsubcl  12991  rexsub  13258  fzsubel  13587  ceim1l  13879  modcyc2  13939  negmod  13951  modsumfzodifsn  13979  expsub  14145  binom2sub  14255  seqshft  15121  resub  15177  imsub  15185  cjsub  15199  cjreim  15210  absdiflt  15368  absdifle  15369  abs2dif2  15384  subcn2  15645  bpoly2  16110  bpoly3  16111  efsub  16155  efi4p  16192  sinsub  16223  cossub  16224  demoivreALT  16256  difmod0  16344  dvdssub  16361  modgcd  16589  gzsubcl  16999  psgnunilem2  19564  cnfldsub  21529  itg1sub  25847  plyremlem  26444  sineq0  26665  logneg2  26756  ang180lem2  26951  asinsin  27033  atanneg  27048  atancj  27051  atanlogadd  27055  atanlogsublem  27056  atanlogsub  27057  2efiatan  27059  tanatan  27060  cosatan  27062  atans2  27072  dvatan  27076  zetacvg  27155  wilthlem1  27208  wilthlem2  27209  basellem8  27228  lgsvalmod  27456  cnnvm  31000  cncph  31137  hvsubdistr2  31368  lnfnsubi  32364  subfacval2  35633  itg2addnclem3  38268  lcmineqlem1  42742  pellexlem6  43509  pell14qrdich  43544  rmxm1  43609  rmym1  43610  addsubeq0  47978  omoeALTV  48395  omeoALTV  48396  emoo  48414  emee  48416  zlmodzxzequap  49224  flsubz  49247