Theorem negsub 10972

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 10911	. . . 4 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
2	1	oveq2i 7161	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
4		0cn 10671	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
5		addsubass 10934	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
6	4, 5	mp3an2 1446	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
7		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	addid1d 10878	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
9	8	oveq1d 7165	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
10	3, 6, 9	3eqtr2d 2799	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7150  ℂcc 10573  0cc0 10575   + caddc 10578   − cmin 10908  -cneg 10909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-po 5443  df-so 5444  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-ltxr 10718  df-sub 10910  df-neg 10911

This theorem is referenced by:  negdi2  10982  negsubdi2  10983  resubcli  10986  resubcl  10988  negsubi  11002  negsubd  11041  submul2  11118  addneg1mul  11120  mulsub  11121  divsubdir  11372  difgtsumgt  11987  elz2  12038  zsubcl  12063  qsubcl  12408  rexsub  12667  fzsubel  12992  ceim1l  13264  modcyc2  13324  negmod  13333  modsumfzodifsn  13361  expsub  13527  binom2sub  13631  seqshft  14492  resub  14534  imsub  14542  cjsub  14556  cjreim  14567  absdiflt  14725  absdifle  14726  abs2dif2  14741  subcn2  14999  bpoly2  15459  bpoly3  15460  efsub  15501  efi4p  15538  sinsub  15569  cossub  15570  demoivreALT  15602  dvdssub  15705  modgcd  15931  gzsubcl  16331  psgnunilem2  18690  cnfldsub  20194  itg1sub  24409  plyremlem  24999  sineq0  25215  logneg2  25305  ang180lem2  25495  asinsin  25577  atanneg  25592  atancj  25595  atanlogadd  25599  atanlogsublem  25600  atanlogsub  25601  2efiatan  25603  tanatan  25604  cosatan  25606  atans2  25616  dvatan  25620  zetacvg  25699  wilthlem1  25752  wilthlem2  25753  basellem8  25772  lgsvalmod  25999  cnnvm  28564  cncph  28701  hvsubdistr2  28932  lnfnsubi  29928  subfacval2  32665  itg2addnclem3  35390  lcmineqlem1  39596  2xp3dxp2ge1d  39684  pellexlem6  40148  pell14qrdich  40183  rmxm1  40248  rmym1  40249  addsubeq0  44221  omoeALTV  44570  omeoALTV  44571  emoo  44589  emee  44591  zlmodzxzequap  45273  flsubz  45296