Theorem negsub 11504

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11443	. . . 4 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
2	1	oveq2i 7416	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
4		0cn 11202	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
5		addsubass 11466	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
6	4, 5	mp3an2 1449	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
7		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	addridd 11410	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
9	8	oveq1d 7420	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
10	3, 6, 9	3eqtr2d 2778	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  0cc0 11106   + caddc 11109   − cmin 11440  -cneg 11441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11442  df-neg 11443

This theorem is referenced by:  negdi2  11514  negsubdi2  11515  resubcli  11518  resubcl  11520  negsubi  11534  negsubd  11573  submul2  11650  addneg1mul  11652  mulsub  11653  divsubdir  11904  difgtsumgt  12521  elz2  12572  zsubcl  12600  qsubcl  12948  rexsub  13208  fzsubel  13533  ceim1l  13808  modcyc2  13868  negmod  13877  modsumfzodifsn  13905  expsub  14072  binom2sub  14179  seqshft  15028  resub  15070  imsub  15078  cjsub  15092  cjreim  15103  absdiflt  15260  absdifle  15261  abs2dif2  15276  subcn2  15535  bpoly2  15997  bpoly3  15998  efsub  16039  efi4p  16076  sinsub  16107  cossub  16108  demoivreALT  16140  dvdssub  16243  modgcd  16470  gzsubcl  16869  psgnunilem2  19357  cnfldsub  20965  itg1sub  25218  plyremlem  25808  sineq0  26024  logneg2  26114  ang180lem2  26304  asinsin  26386  atanneg  26401  atancj  26404  atanlogadd  26408  atanlogsublem  26409  atanlogsub  26410  2efiatan  26412  tanatan  26413  cosatan  26415  atans2  26425  dvatan  26429  zetacvg  26508  wilthlem1  26561  wilthlem2  26562  basellem8  26581  lgsvalmod  26808  cnnvm  29922  cncph  30059  hvsubdistr2  30290  lnfnsubi  31286  subfacval2  34166  itg2addnclem3  36529  lcmineqlem1  40882  2xp3dxp2ge1d  41010  pellexlem6  41557  pell14qrdich  41592  rmxm1  41658  rmym1  41659  addsubeq0  45990  omoeALTV  46339  omeoALTV  46340  emoo  46358  emee  46360  zlmodzxzequap  47133  flsubz  47156