Theorem negsub 11533

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11471	. . . 4 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
2	1	oveq2i 7427	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
4		0cn 11225	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
5		addsubass 11494	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
6	4, 5	mp3an2 1478	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
7		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	addridd 11437	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
9	8	oveq1d 7431	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
10	3, 6, 9	3eqtr2d 2803	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  0cc0 11127   + caddc 11130   − cmin 11468  -cneg 11469

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-sub 11470  df-neg 11471

This theorem is used by:  negdi2  11543  negsubdi2  11544  resubcli  11547  resubcl  11549  negsubi  11563  negsubd  11602  submul2  11681  addneg1mul  11683  mulsub  11684  divsubdir  11935  difgtsumgt  12584  elz2  12636  zsubcl  12663  qsubcl  13020  rexsub  13287  fzsubel  13617  ceim1l  13910  modcyc2  13970  negmod  13982  modsumfzodifsn  14010  expsub  14176  binom2sub  14286  seqshft  15160  resub  15216  imsub  15224  cjsub  15238  cjreim  15249  absdiflt  15407  absdifle  15408  abs2dif2  15423  subcn2  15684  bpoly2  16147  bpoly3  16148  efsub  16192  efi4p  16229  sinsub  16260  cossub  16261  demoivreALT  16293  difmod0  16381  dvdssub  16398  modgcd  16626  gzsubcl  17036  psgnunilem2  19623  cnfldsub  21614  itg1sub  25938  plyremlem  26535  sineq0  26759  logneg2  26850  ang180lem2  27045  asinsin  27127  atanneg  27142  atancj  27145  atanlogadd  27149  atanlogsublem  27150  atanlogsub  27151  2efiatan  27153  tanatan  27154  cosatan  27156  atans2  27166  dvatan  27170  zetacvg  27249  wilthlem1  27302  wilthlem2  27303  basellem8  27322  lgsvalmod  27550  cnnvm  31149  cncph  31286  hvsubdistr2  31517  lnfnsubi  32513  subfacval2  35753  itg2addnclem3  38409  lcmineqlem1  42882  pellexlem6  43662  pell14qrdich  43697  rmxm1  43762  rmym1  43763  addsubeq0  48171  omoeALTV  48588  omeoALTV  48589  emoo  48607  emee  48609  zlmodzxzequap  49416  flsubz  49439