Theorem negsub 11412

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11350	. . . 4 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
2	1	oveq2i 7360	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
4		0cn 11107	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
5		addsubass 11373	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
6	4, 5	mp3an2 1451	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
7		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	addridd 11316	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
9	8	oveq1d 7364	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
10	3, 6, 9	3eqtr2d 2770	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  0cc0 11009   + caddc 11012   − cmin 11347  -cneg 11348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-ltxr 11154  df-sub 11349  df-neg 11350

This theorem is referenced by:  negdi2  11422  negsubdi2  11423  resubcli  11426  resubcl  11428  negsubi  11442  negsubd  11481  submul2  11560  addneg1mul  11562  mulsub  11563  divsubdir  11818  difgtsumgt  12437  elz2  12489  zsubcl  12517  qsubcl  12869  rexsub  13135  fzsubel  13463  ceim1l  13751  modcyc2  13811  negmod  13823  modsumfzodifsn  13851  expsub  14017  binom2sub  14127  seqshft  14992  resub  15034  imsub  15042  cjsub  15056  cjreim  15067  absdiflt  15225  absdifle  15226  abs2dif2  15241  subcn2  15502  bpoly2  15964  bpoly3  15965  efsub  16009  efi4p  16046  sinsub  16077  cossub  16078  demoivreALT  16110  difmod0  16198  dvdssub  16215  modgcd  16443  gzsubcl  16852  psgnunilem2  19374  cnfldsub  21304  itg1sub  25608  plyremlem  26210  sineq0  26431  logneg2  26522  ang180lem2  26718  asinsin  26800  atanneg  26815  atancj  26818  atanlogadd  26822  atanlogsublem  26823  atanlogsub  26824  2efiatan  26826  tanatan  26827  cosatan  26829  atans2  26839  dvatan  26843  zetacvg  26923  wilthlem1  26976  wilthlem2  26977  basellem8  26996  lgsvalmod  27225  cnnvm  30630  cncph  30767  hvsubdistr2  30998  lnfnsubi  31994  subfacval2  35180  itg2addnclem3  37673  lcmineqlem1  42022  pellexlem6  42827  pell14qrdich  42862  rmxm1  42927  rmym1  42928  addsubeq0  47300  omoeALTV  47689  omeoALTV  47690  emoo  47708  emee  47710  zlmodzxzequap  48504  flsubz  48527