Theorem negsub 11438

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11376	. . . 4 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
2	1	oveq2i 7370	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
4		0cn 11132	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
5		addsubass 11399	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
6	4, 5	mp3an2 1458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
7		simpl 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	addridd 11342	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
9	8	oveq1d 7374	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
10	3, 6, 9	3eqtr2d 2782	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  (class class class)co 7359  ℂcc 11032  0cc0 11034   + caddc 11037   − cmin 11373  -cneg 11374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-po 5528  df-so 5529  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-ltxr 11180  df-sub 11375  df-neg 11376

This theorem is referenced by:  negdi2  11448  negsubdi2  11449  resubcli  11452  resubcl  11454  negsubi  11468  negsubd  11507  submul2  11586  addneg1mul  11588  mulsub  11589  divsubdir  11843  difgtsumgt  12485  elz2  12537  zsubcl  12564  qsubcl  12913  rexsub  13180  fzsubel  13509  ceim1l  13801  modcyc2  13861  negmod  13873  modsumfzodifsn  13901  expsub  14067  binom2sub  14177  seqshft  15042  resub  15084  imsub  15092  cjsub  15106  cjreim  15117  absdiflt  15275  absdifle  15276  abs2dif2  15291  subcn2  15552  bpoly2  16017  bpoly3  16018  efsub  16062  efi4p  16099  sinsub  16130  cossub  16131  demoivreALT  16163  difmod0  16251  dvdssub  16268  modgcd  16496  gzsubcl  16906  psgnunilem2  19464  cnfldsub  21378  itg1sub  25697  plyremlem  26291  sineq0  26509  logneg2  26600  ang180lem2  26795  asinsin  26877  atanneg  26892  atancj  26895  atanlogadd  26899  atanlogsublem  26900  atanlogsub  26901  2efiatan  26903  tanatan  26904  cosatan  26906  atans2  26916  dvatan  26920  zetacvg  26999  wilthlem1  27052  wilthlem2  27053  basellem8  27072  lgsvalmod  27300  cnnvm  30773  cncph  30910  hvsubdistr2  31141  lnfnsubi  32137  subfacval2  35428  itg2addnclem3  38053  lcmineqlem1  42527  pellexlem6  43292  pell14qrdich  43327  rmxm1  43392  rmym1  43393  addsubeq0  47771  omoeALTV  48188  omeoALTV  48189  emoo  48207  emee  48209  zlmodzxzequap  49002  flsubz  49025