Theorem negsub 11448

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11386	. . . 4 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
2	1	oveq2i 7380	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
4		0cn 11144	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
5		addsubass 11409	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
6	4, 5	mp3an2 1451	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
7		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	addridd 11352	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
9	8	oveq1d 7384	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
10	3, 6, 9	3eqtr2d 2770	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  ℂcc 11044  0cc0 11046   + caddc 11049   − cmin 11383  -cneg 11384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-ltxr 11191  df-sub 11385  df-neg 11386

This theorem is referenced by:  negdi2  11458  negsubdi2  11459  resubcli  11462  resubcl  11464  negsubi  11478  negsubd  11517  submul2  11596  addneg1mul  11598  mulsub  11599  divsubdir  11854  difgtsumgt  12473  elz2  12525  zsubcl  12553  qsubcl  12905  rexsub  13171  fzsubel  13499  ceim1l  13787  modcyc2  13847  negmod  13859  modsumfzodifsn  13887  expsub  14053  binom2sub  14163  seqshft  15028  resub  15070  imsub  15078  cjsub  15092  cjreim  15103  absdiflt  15261  absdifle  15262  abs2dif2  15277  subcn2  15538  bpoly2  16000  bpoly3  16001  efsub  16045  efi4p  16082  sinsub  16113  cossub  16114  demoivreALT  16146  difmod0  16234  dvdssub  16251  modgcd  16479  gzsubcl  16888  psgnunilem2  19410  cnfldsub  21340  itg1sub  25644  plyremlem  26246  sineq0  26467  logneg2  26558  ang180lem2  26754  asinsin  26836  atanneg  26851  atancj  26854  atanlogadd  26858  atanlogsublem  26859  atanlogsub  26860  2efiatan  26862  tanatan  26863  cosatan  26865  atans2  26875  dvatan  26879  zetacvg  26959  wilthlem1  27012  wilthlem2  27013  basellem8  27032  lgsvalmod  27261  cnnvm  30662  cncph  30799  hvsubdistr2  31030  lnfnsubi  32026  subfacval2  35168  itg2addnclem3  37661  lcmineqlem1  42011  pellexlem6  42816  pell14qrdich  42851  rmxm1  42917  rmym1  42918  addsubeq0  47291  omoeALTV  47680  omeoALTV  47681  emoo  47699  emee  47701  zlmodzxzequap  48482  flsubz  48505