Theorem negsub 11409

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11347	. . . 4 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
2	1	oveq2i 7357	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
4		0cn 11104	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
5		addsubass 11370	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
6	4, 5	mp3an2 1451	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
7		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	addridd 11313	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
9	8	oveq1d 7361	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
10	3, 6, 9	3eqtr2d 2772	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006   + caddc 11009   − cmin 11344  -cneg 11345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-sub 11346  df-neg 11347

This theorem is referenced by:  negdi2  11419  negsubdi2  11420  resubcli  11423  resubcl  11425  negsubi  11439  negsubd  11478  submul2  11557  addneg1mul  11559  mulsub  11560  divsubdir  11815  difgtsumgt  12434  elz2  12486  zsubcl  12514  qsubcl  12866  rexsub  13132  fzsubel  13460  ceim1l  13751  modcyc2  13811  negmod  13823  modsumfzodifsn  13851  expsub  14017  binom2sub  14127  seqshft  14992  resub  15034  imsub  15042  cjsub  15056  cjreim  15067  absdiflt  15225  absdifle  15226  abs2dif2  15241  subcn2  15502  bpoly2  15964  bpoly3  15965  efsub  16009  efi4p  16046  sinsub  16077  cossub  16078  demoivreALT  16110  difmod0  16198  dvdssub  16215  modgcd  16443  gzsubcl  16852  psgnunilem2  19407  cnfldsub  21334  itg1sub  25637  plyremlem  26239  sineq0  26460  logneg2  26551  ang180lem2  26747  asinsin  26829  atanneg  26844  atancj  26847  atanlogadd  26851  atanlogsublem  26852  atanlogsub  26853  2efiatan  26855  tanatan  26856  cosatan  26858  atans2  26868  dvatan  26872  zetacvg  26952  wilthlem1  27005  wilthlem2  27006  basellem8  27025  lgsvalmod  27254  cnnvm  30662  cncph  30799  hvsubdistr2  31030  lnfnsubi  32026  subfacval2  35231  itg2addnclem3  37712  lcmineqlem1  42121  pellexlem6  42926  pell14qrdich  42961  rmxm1  43026  rmym1  43027  addsubeq0  47395  omoeALTV  47784  omeoALTV  47785  emoo  47803  emee  47805  zlmodzxzequap  48599  flsubz  48622