Theorem negsub 11504

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11443	. . . 4 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
2	1	oveq2i 7415	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
4		0cn 11202	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
5		addsubass 11466	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
6	4, 5	mp3an2 1450	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
7		simpl 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	addridd 11410	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
9	8	oveq1d 7419	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
10	3, 6, 9	3eqtr2d 2779	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7404  ℂcc 11104  0cc0 11106   + caddc 11109   − cmin 11440  -cneg 11441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11442  df-neg 11443

This theorem is referenced by:  negdi2  11514  negsubdi2  11515  resubcli  11518  resubcl  11520  negsubi  11534  negsubd  11573  submul2  11650  addneg1mul  11652  mulsub  11653  divsubdir  11904  difgtsumgt  12521  elz2  12572  zsubcl  12600  qsubcl  12948  rexsub  13208  fzsubel  13533  ceim1l  13808  modcyc2  13868  negmod  13877  modsumfzodifsn  13905  expsub  14072  binom2sub  14179  seqshft  15028  resub  15070  imsub  15078  cjsub  15092  cjreim  15103  absdiflt  15260  absdifle  15261  abs2dif2  15276  subcn2  15535  bpoly2  15997  bpoly3  15998  efsub  16039  efi4p  16076  sinsub  16107  cossub  16108  demoivreALT  16140  dvdssub  16243  modgcd  16470  gzsubcl  16869  psgnunilem2  19356  cnfldsub  20958  itg1sub  25209  plyremlem  25799  sineq0  26015  logneg2  26105  ang180lem2  26295  asinsin  26377  atanneg  26392  atancj  26395  atanlogadd  26399  atanlogsublem  26400  atanlogsub  26401  2efiatan  26403  tanatan  26404  cosatan  26406  atans2  26416  dvatan  26420  zetacvg  26499  wilthlem1  26552  wilthlem2  26553  basellem8  26572  lgsvalmod  26799  cnnvm  29913  cncph  30050  hvsubdistr2  30281  lnfnsubi  31277  subfacval2  34116  itg2addnclem3  36479  lcmineqlem1  40832  2xp3dxp2ge1d  40960  pellexlem6  41505  pell14qrdich  41540  rmxm1  41606  rmym1  41607  addsubeq0  45939  omoeALTV  46288  omeoALTV  46289  emoo  46307  emee  46309  zlmodzxzequap  47082  flsubz  47105