Theorem negsub 11481

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11419	. . . 4 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
2	1	oveq2i 7409	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
4		0cn 11173	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
5		addsubass 11442	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
6	4, 5	mp3an2 1472	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
7		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	addridd 11385	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
9	8	oveq1d 7413	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
10	3, 6, 9	3eqtr2d 2805	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7398  ℂcc 11073  0cc0 11075   + caddc 11078   − cmin 11416  -cneg 11417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-po 5557  df-so 5558  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-ltxr 11223  df-sub 11418  df-neg 11419

This theorem is referenced by:  negdi2  11491  negsubdi2  11492  resubcli  11495  resubcl  11497  negsubi  11511  negsubd  11550  submul2  11629  addneg1mul  11631  mulsub  11632  divsubdir  11886  difgtsumgt  12536  elz2  12588  zsubcl  12615  qsubcl  12971  rexsub  13238  fzsubel  13567  ceim1l  13859  modcyc2  13919  negmod  13931  modsumfzodifsn  13959  expsub  14125  binom2sub  14235  seqshft  15100  resub  15156  imsub  15164  cjsub  15178  cjreim  15189  absdiflt  15347  absdifle  15348  abs2dif2  15363  subcn2  15624  bpoly2  16089  bpoly3  16090  efsub  16134  efi4p  16171  sinsub  16202  cossub  16203  demoivreALT  16235  difmod0  16323  dvdssub  16340  modgcd  16568  gzsubcl  16978  psgnunilem2  19537  cnfldsub  21454  itg1sub  25773  plyremlem  26370  sineq0  26591  logneg2  26682  ang180lem2  26877  asinsin  26959  atanneg  26974  atancj  26977  atanlogadd  26981  atanlogsublem  26982  atanlogsub  26983  2efiatan  26985  tanatan  26986  cosatan  26988  atans2  26998  dvatan  27002  zetacvg  27081  wilthlem1  27134  wilthlem2  27135  basellem8  27154  lgsvalmod  27382  cnnvm  30887  cncph  31024  hvsubdistr2  31255  lnfnsubi  32251  subfacval2  35542  itg2addnclem3  38177  lcmineqlem1  42651  pellexlem6  43416  pell14qrdich  43451  rmxm1  43516  rmym1  43517  addsubeq0  47895  omoeALTV  48312  omeoALTV  48313  emoo  48331  emee  48333  zlmodzxzequap  49126  flsubz  49149