Theorem negsub 11199

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11138	. . . 4 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
2	1	oveq2i 7266	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
4		0cn 10898	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
5		addsubass 11161	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
6	4, 5	mp3an2 1447	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
7		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	addid1d 11105	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
9	8	oveq1d 7270	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
10	3, 6, 9	3eqtr2d 2784	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802   + caddc 10805   − cmin 11135  -cneg 11136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137  df-neg 11138

This theorem is referenced by:  negdi2  11209  negsubdi2  11210  resubcli  11213  resubcl  11215  negsubi  11229  negsubd  11268  submul2  11345  addneg1mul  11347  mulsub  11348  divsubdir  11599  difgtsumgt  12216  elz2  12267  zsubcl  12292  qsubcl  12637  rexsub  12896  fzsubel  13221  ceim1l  13495  modcyc2  13555  negmod  13564  modsumfzodifsn  13592  expsub  13759  binom2sub  13863  seqshft  14724  resub  14766  imsub  14774  cjsub  14788  cjreim  14799  absdiflt  14957  absdifle  14958  abs2dif2  14973  subcn2  15232  bpoly2  15695  bpoly3  15696  efsub  15737  efi4p  15774  sinsub  15805  cossub  15806  demoivreALT  15838  dvdssub  15941  modgcd  16168  gzsubcl  16569  psgnunilem2  19018  cnfldsub  20538  itg1sub  24779  plyremlem  25369  sineq0  25585  logneg2  25675  ang180lem2  25865  asinsin  25947  atanneg  25962  atancj  25965  atanlogadd  25969  atanlogsublem  25970  atanlogsub  25971  2efiatan  25973  tanatan  25974  cosatan  25976  atans2  25986  dvatan  25990  zetacvg  26069  wilthlem1  26122  wilthlem2  26123  basellem8  26142  lgsvalmod  26369  cnnvm  28945  cncph  29082  hvsubdistr2  29313  lnfnsubi  30309  subfacval2  33049  itg2addnclem3  35757  lcmineqlem1  39965  2xp3dxp2ge1d  40090  pellexlem6  40572  pell14qrdich  40607  rmxm1  40672  rmym1  40673  addsubeq0  44676  omoeALTV  45025  omeoALTV  45026  emoo  45044  emee  45046  zlmodzxzequap  45728  flsubz  45751