Theorem negsub 11606

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11544	. . . 4 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
2	1	oveq2i 7431	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
4		0cn 11298	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
5		addsubass 11567	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
6	4, 5	mp3an2 1478	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
7		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	addridd 11510	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
9	8	oveq1d 7435	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
10	3, 6, 9	3eqtr2d 2801	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200   + caddc 11203   − cmin 11541   -cneg 11542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-sub 11543  df-neg 11544

This theorem is used by:  negdi2  11616  negsubdi2  11617  resubcli  11620  resubcl  11622  negsubi  11636  negsubd  11675  submul2  11756  addneg1mul  11758  mulsub  11759  divsubdir  12010  difgtsumgt  12659  elz2  12711  zsubcl  12738  qsubcl  13096  rexsub  13363  fzsubel  13694  ceim1l  13987  modcyc2  14047  negmod  14059  modsumfzodifsn  14087  expsub  14253  binom2sub  14364  seqshft  15238  resub  15294  imsub  15302  cjsub  15316  cjreim  15327  absdiflt  15485  absdifle  15486  abs2dif2  15501  subcn2  15762  bpoly2  16223  bpoly3  16224  efsub  16268  efi4p  16305  sinsub  16336  cossub  16337  demoivreALT  16369  difmod0  16457  dvdssub  16474  modgcd  16705  gzsubcl  17118  psgnunilem2  19709  cnfldsub  21706  itg1sub  26030  plyremlem  26625  sineq0  26852  logneg2  26943  ang180lem2  27138  asinsin  27220  atanneg  27235  atancj  27238  atanlogadd  27242  atanlogsublem  27243  atanlogsub  27244  2efiatan  27246  tanatan  27247  cosatan  27249  atans2  27259  dvatan  27263  zetacvg  27342  wilthlem1  27395  wilthlem2  27396  basellem8  27415  lgsvalmod  27643  cnnvm  31284  cncph  31421  hvsubdistr2  31652  lnfnsubi  32648  subfacval2  35952  itg2addnclem3  38592  lcmineqlem1  43080  pellexlem6  43841  pell14qrdich  43876  rmxm1  43941  rmym1  43942  addsubeq0  48366  omoeALTV  48783  omeoALTV  48784  emoo  48802  emee  48804  zlmodzxzequap  49611  flsubz  49634