Theorem negsub 11433

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11371	. . . 4 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
2	1	oveq2i 7371	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
4		0cn 11128	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
5		addsubass 11394	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
6	4, 5	mp3an2 1452	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
7		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	addridd 11337	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
9	8	oveq1d 7375	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
10	3, 6, 9	3eqtr2d 2778	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  0cc0 11030   + caddc 11033   − cmin 11368  -cneg 11369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-neg 11371

This theorem is referenced by:  negdi2  11443  negsubdi2  11444  resubcli  11447  resubcl  11449  negsubi  11463  negsubd  11502  submul2  11581  addneg1mul  11583  mulsub  11584  divsubdir  11839  difgtsumgt  12458  elz2  12510  zsubcl  12537  qsubcl  12885  rexsub  13152  fzsubel  13480  ceim1l  13771  modcyc2  13831  negmod  13843  modsumfzodifsn  13871  expsub  14037  binom2sub  14147  seqshft  15012  resub  15054  imsub  15062  cjsub  15076  cjreim  15087  absdiflt  15245  absdifle  15246  abs2dif2  15261  subcn2  15522  bpoly2  15984  bpoly3  15985  efsub  16029  efi4p  16066  sinsub  16097  cossub  16098  demoivreALT  16130  difmod0  16218  dvdssub  16235  modgcd  16463  gzsubcl  16872  psgnunilem2  19428  cnfldsub  21356  itg1sub  25670  plyremlem  26272  sineq0  26493  logneg2  26584  ang180lem2  26780  asinsin  26862  atanneg  26877  atancj  26880  atanlogadd  26884  atanlogsublem  26885  atanlogsub  26886  2efiatan  26888  tanatan  26889  cosatan  26891  atans2  26901  dvatan  26905  zetacvg  26985  wilthlem1  27038  wilthlem2  27039  basellem8  27058  lgsvalmod  27287  cnnvm  30761  cncph  30898  hvsubdistr2  31129  lnfnsubi  32125  subfacval2  35383  itg2addnclem3  37876  lcmineqlem1  42351  pellexlem6  43143  pell14qrdich  43178  rmxm1  43243  rmym1  43244  addsubeq0  47609  omoeALTV  47998  omeoALTV  47999  emoo  48017  emee  48019  zlmodzxzequap  48812  flsubz  48835