Theorem negsub 10923

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 10862	. . . 4 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
2	1	oveq2i 7146	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
4		0cn 10622	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
5		addsubass 10885	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
6	4, 5	mp3an2 1446	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
7		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	addid1d 10829	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
9	8	oveq1d 7150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
10	3, 6, 9	3eqtr2d 2839	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  0cc0 10526   + caddc 10529   − cmin 10859  -cneg 10860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861  df-neg 10862

This theorem is referenced by:  negdi2  10933  negsubdi2  10934  resubcli  10937  resubcl  10939  negsubi  10953  negsubd  10992  submul2  11069  addneg1mul  11071  mulsub  11072  divsubdir  11323  difgtsumgt  11938  elz2  11987  zsubcl  12012  qsubcl  12355  rexsub  12614  fzsubel  12938  ceim1l  13210  modcyc2  13270  negmod  13279  modsumfzodifsn  13307  expsub  13473  binom2sub  13577  seqshft  14436  resub  14478  imsub  14486  cjsub  14500  cjreim  14511  absdiflt  14669  absdifle  14670  abs2dif2  14685  subcn2  14943  bpoly2  15403  bpoly3  15404  efsub  15445  efi4p  15482  sinsub  15513  cossub  15514  demoivreALT  15546  dvdssub  15646  modgcd  15870  gzsubcl  16266  psgnunilem2  18615  cnfldsub  20119  itg1sub  24313  plyremlem  24900  sineq0  25116  logneg2  25206  ang180lem2  25396  asinsin  25478  atanneg  25493  atancj  25496  atanlogadd  25500  atanlogsublem  25501  atanlogsub  25502  2efiatan  25504  tanatan  25505  cosatan  25507  atans2  25517  dvatan  25521  zetacvg  25600  wilthlem1  25653  wilthlem2  25654  basellem8  25673  lgsvalmod  25900  cnnvm  28465  cncph  28602  hvsubdistr2  28833  lnfnsubi  29829  subfacval2  32547  itg2addnclem3  35110  lcmineqlem1  39317  2xp3dxp2ge1d  39387  pellexlem6  39775  pell14qrdich  39810  rmxm1  39875  rmym1  39876  addsubeq0  43853  omoeALTV  44203  omeoALTV  44204  emoo  44222  emee  44224  zlmodzxzequap  44908  flsubz  44931