Theorem negsub 11531

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11469	. . . 4 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
2	1	oveq2i 7416	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
4		0cn 11227	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
5		addsubass 11492	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
6	4, 5	mp3an2 1451	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
7		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	addridd 11435	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
9	8	oveq1d 7420	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
10	3, 6, 9	3eqtr2d 2776	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129   + caddc 11132   − cmin 11466  -cneg 11467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-sub 11468  df-neg 11469

This theorem is referenced by:  negdi2  11541  negsubdi2  11542  resubcli  11545  resubcl  11547  negsubi  11561  negsubd  11600  submul2  11677  addneg1mul  11679  mulsub  11680  divsubdir  11935  difgtsumgt  12554  elz2  12606  zsubcl  12634  qsubcl  12984  rexsub  13249  fzsubel  13577  ceim1l  13864  modcyc2  13924  negmod  13934  modsumfzodifsn  13962  expsub  14128  binom2sub  14238  seqshft  15104  resub  15146  imsub  15154  cjsub  15168  cjreim  15179  absdiflt  15336  absdifle  15337  abs2dif2  15352  subcn2  15611  bpoly2  16073  bpoly3  16074  efsub  16118  efi4p  16155  sinsub  16186  cossub  16187  demoivreALT  16219  dvdssub  16323  modgcd  16551  gzsubcl  16960  psgnunilem2  19476  cnfldsub  21360  itg1sub  25662  plyremlem  26264  sineq0  26485  logneg2  26576  ang180lem2  26772  asinsin  26854  atanneg  26869  atancj  26872  atanlogadd  26876  atanlogsublem  26877  atanlogsub  26878  2efiatan  26880  tanatan  26881  cosatan  26883  atans2  26893  dvatan  26897  zetacvg  26977  wilthlem1  27030  wilthlem2  27031  basellem8  27050  lgsvalmod  27279  cnnvm  30663  cncph  30800  hvsubdistr2  31031  lnfnsubi  32027  subfacval2  35209  itg2addnclem3  37697  lcmineqlem1  42042  2xp3dxp2ge1d  42254  pellexlem6  42857  pell14qrdich  42892  rmxm1  42958  rmym1  42959  addsubeq0  47325  omoeALTV  47699  omeoALTV  47700  emoo  47718  emee  47720  zlmodzxzequap  48475  flsubz  48498