Theorem negsub 11563

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11501	. . . 4 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
2	1	oveq2i 7420	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
4		0cn 11255	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
5		addsubass 11524	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
6	4, 5	mp3an2 1478	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
7		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	addridd 11467	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
9	8	oveq1d 7424	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
10	3, 6, 9	3eqtr2d 2801	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7409  ℂcc 11155  0cc0 11157   + caddc 11160   − cmin 11498  -cneg 11499

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-ltxr 11305  df-sub 11500  df-neg 11501

This theorem is used by:  negdi2  11573  negsubdi2  11574  resubcli  11577  resubcl  11579  negsubi  11593  negsubd  11632  submul2  11711  addneg1mul  11713  mulsub  11714  divsubdir  11965  difgtsumgt  12614  elz2  12666  zsubcl  12693  qsubcl  13051  rexsub  13318  fzsubel  13648  ceim1l  13941  modcyc2  14001  negmod  14013  modsumfzodifsn  14041  expsub  14207  binom2sub  14317  seqshft  15191  resub  15247  imsub  15255  cjsub  15269  cjreim  15280  absdiflt  15438  absdifle  15439  abs2dif2  15454  subcn2  15715  bpoly2  16176  bpoly3  16177  efsub  16221  efi4p  16258  sinsub  16289  cossub  16290  demoivreALT  16322  difmod0  16410  dvdssub  16427  modgcd  16655  gzsubcl  17065  psgnunilem2  19656  cnfldsub  21653  itg1sub  25977  plyremlem  26574  sineq0  26801  logneg2  26892  ang180lem2  27087  asinsin  27169  atanneg  27184  atancj  27187  atanlogadd  27191  atanlogsublem  27192  atanlogsub  27193  2efiatan  27195  tanatan  27196  cosatan  27198  atans2  27208  dvatan  27212  zetacvg  27291  wilthlem1  27344  wilthlem2  27345  basellem8  27364  lgsvalmod  27592  cnnvm  31203  cncph  31340  hvsubdistr2  31571  lnfnsubi  32567  subfacval2  35867  itg2addnclem3  38505  lcmineqlem1  42993  pellexlem6  43773  pell14qrdich  43808  rmxm1  43873  rmym1  43874  addsubeq0  48282  omoeALTV  48699  omeoALTV  48700  emoo  48718  emee  48720  zlmodzxzequap  49527  flsubz  49550