Theorem negsub 11554

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11492	. . . 4 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
2	1	oveq2i 7441	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
4		0cn 11250	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
5		addsubass 11515	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
6	4, 5	mp3an2 1448	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
7		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	addridd 11458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
9	8	oveq1d 7445	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
10	3, 6, 9	3eqtr2d 2780	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  0cc0 11152   + caddc 11155   − cmin 11489  -cneg 11490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-sub 11491  df-neg 11492

This theorem is referenced by:  negdi2  11564  negsubdi2  11565  resubcli  11568  resubcl  11570  negsubi  11584  negsubd  11623  submul2  11700  addneg1mul  11702  mulsub  11703  divsubdir  11958  difgtsumgt  12576  elz2  12628  zsubcl  12656  qsubcl  13007  rexsub  13271  fzsubel  13596  ceim1l  13883  modcyc2  13943  negmod  13953  modsumfzodifsn  13981  expsub  14147  binom2sub  14255  seqshft  15120  resub  15162  imsub  15170  cjsub  15184  cjreim  15195  absdiflt  15352  absdifle  15353  abs2dif2  15368  subcn2  15627  bpoly2  16089  bpoly3  16090  efsub  16132  efi4p  16169  sinsub  16200  cossub  16201  demoivreALT  16233  dvdssub  16337  modgcd  16565  gzsubcl  16973  psgnunilem2  19527  cnfldsub  21427  itg1sub  25758  plyremlem  26360  sineq0  26580  logneg2  26671  ang180lem2  26867  asinsin  26949  atanneg  26964  atancj  26967  atanlogadd  26971  atanlogsublem  26972  atanlogsub  26973  2efiatan  26975  tanatan  26976  cosatan  26978  atans2  26988  dvatan  26992  zetacvg  27072  wilthlem1  27125  wilthlem2  27126  basellem8  27145  lgsvalmod  27374  cnnvm  30710  cncph  30847  hvsubdistr2  31078  lnfnsubi  32074  subfacval2  35171  itg2addnclem3  37659  lcmineqlem1  42010  2xp3dxp2ge1d  42222  pellexlem6  42821  pell14qrdich  42856  rmxm1  42922  rmym1  42923  addsubeq0  47245  omoeALTV  47609  omeoALTV  47610  emoo  47628  emee  47630  zlmodzxzequap  48344  flsubz  48367