Theorem negsub 11443

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11381	. . . 4 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
2	1	oveq2i 7381	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
4		0cn 11138	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
5		addsubass 11404	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
6	4, 5	mp3an2 1452	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
7		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	addridd 11347	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
9	8	oveq1d 7385	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
10	3, 6, 9	3eqtr2d 2778	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7370  ℂcc 11038  0cc0 11040   + caddc 11043   − cmin 11378  -cneg 11379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-po 5542  df-so 5543  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-ltxr 11185  df-sub 11380  df-neg 11381

This theorem is referenced by:  negdi2  11453  negsubdi2  11454  resubcli  11457  resubcl  11459  negsubi  11473  negsubd  11512  submul2  11591  addneg1mul  11593  mulsub  11594  divsubdir  11849  difgtsumgt  12468  elz2  12520  zsubcl  12547  qsubcl  12895  rexsub  13162  fzsubel  13490  ceim1l  13781  modcyc2  13841  negmod  13853  modsumfzodifsn  13881  expsub  14047  binom2sub  14157  seqshft  15022  resub  15064  imsub  15072  cjsub  15086  cjreim  15097  absdiflt  15255  absdifle  15256  abs2dif2  15271  subcn2  15532  bpoly2  15994  bpoly3  15995  efsub  16039  efi4p  16076  sinsub  16107  cossub  16108  demoivreALT  16140  difmod0  16228  dvdssub  16245  modgcd  16473  gzsubcl  16882  psgnunilem2  19441  cnfldsub  21369  itg1sub  25683  plyremlem  26285  sineq0  26506  logneg2  26597  ang180lem2  26793  asinsin  26875  atanneg  26890  atancj  26893  atanlogadd  26897  atanlogsublem  26898  atanlogsub  26899  2efiatan  26901  tanatan  26902  cosatan  26904  atans2  26914  dvatan  26918  zetacvg  26998  wilthlem1  27051  wilthlem2  27052  basellem8  27071  lgsvalmod  27300  cnnvm  30776  cncph  30913  hvsubdistr2  31144  lnfnsubi  32140  subfacval2  35409  itg2addnclem3  37953  lcmineqlem1  42428  pellexlem6  43220  pell14qrdich  43255  rmxm1  43320  rmym1  43321  addsubeq0  47685  omoeALTV  48074  omeoALTV  48075  emoo  48093  emee  48095  zlmodzxzequap  48888  flsubz  48911