Theorem negsub 11431

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11369	. . . 4 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
2	1	oveq2i 7369	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
4		0cn 11126	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
5		addsubass 11392	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
6	4, 5	mp3an2 1452	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
7		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	addridd 11335	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
9	8	oveq1d 7373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
10	3, 6, 9	3eqtr2d 2776	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7358  ℂcc 11026  0cc0 11028   + caddc 11031   − cmin 11366  -cneg 11367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11368  df-neg 11369

This theorem is referenced by:  negdi2  11441  negsubdi2  11442  resubcli  11445  resubcl  11447  negsubi  11461  negsubd  11500  submul2  11579  addneg1mul  11581  mulsub  11582  divsubdir  11837  difgtsumgt  12456  elz2  12508  zsubcl  12535  qsubcl  12883  rexsub  13150  fzsubel  13478  ceim1l  13769  modcyc2  13829  negmod  13841  modsumfzodifsn  13869  expsub  14035  binom2sub  14145  seqshft  15010  resub  15052  imsub  15060  cjsub  15074  cjreim  15085  absdiflt  15243  absdifle  15244  abs2dif2  15259  subcn2  15520  bpoly2  15982  bpoly3  15983  efsub  16027  efi4p  16064  sinsub  16095  cossub  16096  demoivreALT  16128  difmod0  16216  dvdssub  16233  modgcd  16461  gzsubcl  16870  psgnunilem2  19426  cnfldsub  21354  itg1sub  25668  plyremlem  26270  sineq0  26491  logneg2  26582  ang180lem2  26778  asinsin  26860  atanneg  26875  atancj  26878  atanlogadd  26882  atanlogsublem  26883  atanlogsub  26884  2efiatan  26886  tanatan  26887  cosatan  26889  atans2  26899  dvatan  26903  zetacvg  26983  wilthlem1  27036  wilthlem2  27037  basellem8  27056  lgsvalmod  27285  cnnvm  30738  cncph  30875  hvsubdistr2  31106  lnfnsubi  32102  subfacval2  35360  itg2addnclem3  37843  lcmineqlem1  42318  pellexlem6  43113  pell14qrdich  43148  rmxm1  43213  rmym1  43214  addsubeq0  47579  omoeALTV  47968  omeoALTV  47969  emoo  47987  emee  47989  zlmodzxzequap  48782  flsubz  48805