Theorem negsub 11429

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11367	. . . 4 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
2	1	oveq2i 7369	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
4		0cn 11124	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
5		addsubass 11390	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
6	4, 5	mp3an2 1451	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
7		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	addridd 11333	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
9	8	oveq1d 7373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
10	3, 6, 9	3eqtr2d 2777	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026   + caddc 11029   − cmin 11364  -cneg 11365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sub 11366  df-neg 11367

This theorem is referenced by:  negdi2  11439  negsubdi2  11440  resubcli  11443  resubcl  11445  negsubi  11459  negsubd  11498  submul2  11577  addneg1mul  11579  mulsub  11580  divsubdir  11835  difgtsumgt  12454  elz2  12506  zsubcl  12533  qsubcl  12881  rexsub  13148  fzsubel  13476  ceim1l  13767  modcyc2  13827  negmod  13839  modsumfzodifsn  13867  expsub  14033  binom2sub  14143  seqshft  15008  resub  15050  imsub  15058  cjsub  15072  cjreim  15083  absdiflt  15241  absdifle  15242  abs2dif2  15257  subcn2  15518  bpoly2  15980  bpoly3  15981  efsub  16025  efi4p  16062  sinsub  16093  cossub  16094  demoivreALT  16126  difmod0  16214  dvdssub  16231  modgcd  16459  gzsubcl  16868  psgnunilem2  19424  cnfldsub  21352  itg1sub  25666  plyremlem  26268  sineq0  26489  logneg2  26580  ang180lem2  26776  asinsin  26858  atanneg  26873  atancj  26876  atanlogadd  26880  atanlogsublem  26881  atanlogsub  26882  2efiatan  26884  tanatan  26885  cosatan  26887  atans2  26897  dvatan  26901  zetacvg  26981  wilthlem1  27034  wilthlem2  27035  basellem8  27054  lgsvalmod  27283  cnnvm  30757  cncph  30894  hvsubdistr2  31125  lnfnsubi  32121  subfacval2  35381  itg2addnclem3  37870  lcmineqlem1  42279  pellexlem6  43072  pell14qrdich  43107  rmxm1  43172  rmym1  43173  addsubeq0  47538  omoeALTV  47927  omeoALTV  47928  emoo  47946  emee  47948  zlmodzxzequap  48741  flsubz  48764