Theorem negsub 11630

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11568	. . . 4 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
2	1	oveq2i 7451	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
4		0cn 11322	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
5		addsubass 11591	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
6	4, 5	mp3an2 1479	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
7		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	addridd 11534	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
9	8	oveq1d 7455	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
10	3, 6, 9	3eqtr2d 2804	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  0cc0 11224   + caddc 11227   − cmin 11565   -cneg 11566

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-ltxr 11372  df-sub 11567  df-neg 11568

This theorem is used by:  negdi2  11640  negsubdi2  11641  resubcli  11644  resubcl  11646  negsubi  11660  negsubd  11699  submul2  11780  addneg1mul  11782  mulsub  11783  divsubdir  12034  difgtsumgt  12683  elz2  12735  zsubcl  12762  qsubcl  13120  rexsub  13387  fzsubel  13718  ceim1l  14011  modcyc2  14071  negmod  14083  modsumfzodifsn  14111  expsub  14277  binom2sub  14388  seqshft  15264  resub  15320  imsub  15328  cjsub  15342  cjreim  15353  absdiflt  15511  absdifle  15512  abs2dif2  15527  subcn2  15788  bpoly2  16249  bpoly3  16250  efsub  16294  efi4p  16331  sinsub  16362  cossub  16363  demoivreALT  16395  difmod0  16483  dvdssub  16500  modgcd  16731  gzsubcl  17144  psgnunilem2  19736  cnfldsub  21733  itg1sub  26057  plyremlem  26652  sineq0  26879  logneg2  26970  ang180lem2  27165  asinsin  27247  atanneg  27262  atancj  27265  atanlogadd  27269  atanlogsublem  27270  atanlogsub  27271  2efiatan  27273  tanatan  27274  cosatan  27276  atans2  27286  dvatan  27290  zetacvg  27369  wilthlem1  27422  wilthlem2  27423  basellem8  27442  lgsvalmod  27670  cnnvm  31311  cncph  31448  hvsubdistr2  31679  lnfnsubi  32675  subfacval2  36118  itg2addnclem3  38782  lcmineqlem1  43270  pellexlem6  44032  pell14qrdich  44067  rmxm1  44132  rmym1  44133  addsubeq0  48569  omoeALTV  48986  omeoALTV  48987  emoo  49005  emee  49007  zlmodzxzequap  49814  flsubz  49837