Theorem mulneg2d 11580

Description: Product with negative is negative of product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulneg2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulneg2 11563	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7354  ℂcc 11013   · cmul 11020  -cneg 11354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-ltxr 11160  df-sub 11355  df-neg 11356

This theorem is referenced by:  prodge0rd  13003  expmulz  14019  discr  14151  sincossq  16089  oexpneg  16260  mulgass  19028  mulgmodid  19030  zringlpirlem3  21405  pjthlem1  25367  dvfsum2  25971  vieta1  26250  advlogexp  26594  logccv  26602  cxpmul2z  26630  abscxpbnd  26693  isosctrlem3  26760  affineequiv3  26765  dcubic1lem  26783  mcubic  26787  amgmlem  26930  ftalem5  27017  pntrlog2bndlem2  27519  brbtwn2  28887  colinearalglem4  28891  pjhthlem1  31375  constrresqrtcl  33813  fwddifnp1  36232  areacirclem1  37771  3cubeslem3r  42807  pellexlem6  42954  pell1234qrreccl  42974  pell14qrdich  42989  rmxyneg  43040  rmxm1  43054  ltmulneg  45517  cosknegpi  45994  itgsinexplem1  46079  dirkerper  46221  sqwvfoura  46353  etransclem46  46405  fmtnorec3  47675  oexpnegALTV  47804  oexpnegnz  47805  2zrngagrp  48376  itschlc0xyqsol  48895  amgmwlem  49930