Theorem mulneg2d 11672

Description: Product with negative is negative of product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulneg2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulneg2 11655	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7411  ℂcc 11110   · cmul 11117  -cneg 11449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-sub 11450  df-neg 11451

This theorem is referenced by:  prodge0rd  13085  expmulz  14078  discr  14207  sincossq  16123  oexpneg  16292  mulgass  19027  mulgmodid  19029  zringlpirlem3  21235  pjthlem1  25185  dvfsum2  25786  vieta1  26061  advlogexp  26399  logccv  26407  cxpmul2z  26435  abscxpbnd  26497  isosctrlem3  26561  affineequiv3  26566  dcubic1lem  26584  mcubic  26588  amgmlem  26730  ftalem5  26817  pntrlog2bndlem2  27317  brbtwn2  28430  colinearalglem4  28434  pjhthlem1  30911  fwddifnp1  35441  areacirclem1  36879  3cubeslem3r  41727  pellexlem6  41874  pell1234qrreccl  41894  pell14qrdich  41909  rmxyneg  41961  rmxm1  41975  ltmulneg  44400  cosknegpi  44883  itgsinexplem1  44968  dirkerper  45110  sqwvfoura  45242  etransclem46  45294  fmtnorec3  46514  oexpnegALTV  46643  oexpnegnz  46644  2zrngagrp  46929  itschlc0xyqsol  47540  amgmwlem  47936