Theorem mulneg2d 11634

Description: Product with negative is negative of product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulneg2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulneg2 11617	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7390  ℂcc 11064   · cmul 11071  -cneg 11408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-ltxr 11214  df-sub 11409  df-neg 11410

This theorem is referenced by:  prodge0rd  13095  expmulz  14114  discr  14246  sincossq  16198  oexpneg  16369  mulgass  19143  mulgmodid  19145  zringlpirlem3  21503  pjthlem1  25486  dvfsum2  26083  vieta1  26363  advlogexp  26707  logccv  26715  cxpmul2z  26743  abscxpbnd  26805  isosctrlem3  26872  affineequiv3  26877  dcubic1lem  26895  mcubic  26899  amgmlem  27041  ftalem5  27128  pntrlog2bndlem2  27629  brbtwn2  29062  colinearalglem4  29066  pjhthlem1  31550  constrresqrtcl  34034  fwddifnp1  36475  areacirclem1  38167  3cubeslem3r  43228  pellexlem6  43371  pell1234qrreccl  43391  pell14qrdich  43406  rmxyneg  43457  rmxm1  43471  ltmulneg  45927  cosknegpi  46403  itgsinexplem1  46488  dirkerper  46630  sqwvfoura  46762  etransclem46  46814  fmtnorec3  48117  oexpnegALTV  48259  oexpnegnz  48260  2zrngagrp  48831  itschlc0xyqsol  49349  amgmwlem  50383