Theorem mulneg2d 11718

Description: Product with negative is negative of product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulneg2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulneg2 11701	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7432  ℂcc 11154   · cmul 11161  -cneg 11494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-ltxr 11301  df-sub 11495  df-neg 11496

This theorem is referenced by:  prodge0rd  13143  expmulz  14150  discr  14280  sincossq  16213  oexpneg  16383  mulgass  19130  mulgmodid  19132  zringlpirlem3  21476  pjthlem1  25472  dvfsum2  26076  vieta1  26355  advlogexp  26698  logccv  26706  cxpmul2z  26734  abscxpbnd  26797  isosctrlem3  26864  affineequiv3  26869  dcubic1lem  26887  mcubic  26891  amgmlem  27034  ftalem5  27121  pntrlog2bndlem2  27623  brbtwn2  28921  colinearalglem4  28925  pjhthlem1  31411  fwddifnp1  36167  areacirclem1  37716  3cubeslem3r  42703  pellexlem6  42850  pell1234qrreccl  42870  pell14qrdich  42885  rmxyneg  42937  rmxm1  42951  ltmulneg  45408  cosknegpi  45889  itgsinexplem1  45974  dirkerper  46116  sqwvfoura  46248  etransclem46  46300  fmtnorec3  47540  oexpnegALTV  47669  oexpnegnz  47670  2zrngagrp  48170  itschlc0xyqsol  48693  amgmwlem  49376