Theorem atcv1 32128

Description: Two atoms covering the zero subspace are equal. (Contributed by NM, 26-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
atcv1	⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐴 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐴 = 0ℋ ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem atcv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0ℋ → (𝐴 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ↔ 0ℋ ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
2		atcv0eq 32127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (0ℋ ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
3	1, 2	sylan9bbr 510	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐴 = 0ℋ) → (𝐴 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
4	3	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐴 = 0ℋ) → (𝐴 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
5	4	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 = 0ℋ → (𝐴 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)))
6	5	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → (𝐴 = 0ℋ → 𝐵 = 𝐶)))
7	6	3adant1 1127	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → (𝐴 = 0ℋ → 𝐵 = 𝐶)))
8	7	imp 406	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐴 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐴 = 0ℋ → 𝐵 = 𝐶))
9		oveq1 7409	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (𝐶 ∨ℋ 𝐶))
10		atelch 32092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → 𝐶 ∈ Cℋ )
11		chjidm 31268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐶 ∈ Cℋ → (𝐶 ∨ℋ 𝐶) = 𝐶)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐶 ∨ℋ 𝐶) = 𝐶)
13	9, 12	sylan9eq 2784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 = 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = 𝐶)
14	13	eqcomd 2730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 = 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → 𝐶 = (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
15	14	eleq1d 2810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 = 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐶 ∈ HAtoms ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ HAtoms))
16	15	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐶 ∈ HAtoms ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ HAtoms)))
17	16	ibd 269	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ HAtoms))
18	17	impcom 407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ HAtoms)
19		atcveq0 32096	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ HAtoms) → (𝐴 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ↔ 𝐴 = 0ℋ))
20	18, 19	sylan2 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶)) → (𝐴 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ↔ 𝐴 = 0ℋ))
21	20	biimpd 228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶)) → (𝐴 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → 𝐴 = 0ℋ))
22	21	exp32 420	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → 𝐴 = 0ℋ))))
23	22	com34 91	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐴 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → (𝐵 = 𝐶 → 𝐴 = 0ℋ))))
24	23	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → (𝐵 = 𝐶 → 𝐴 = 0ℋ)))
25	24	3adant2 1128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → (𝐵 = 𝐶 → 𝐴 = 0ℋ)))
26	25	imp 406	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐴 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐵 = 𝐶 → 𝐴 = 0ℋ))
27	8, 26	impbid 211	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐴 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐴 = 0ℋ ↔ 𝐵 = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5139  (class class class)co 7402   C_ℋ cch 30677   ∨_ℋ chj 30681  0_ℋc0h 30683   ⋖_ℋ ccv 30712  HAtomscat 30713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cc 10427  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187  ax-hilex 30747  ax-hfvadd 30748  ax-hvcom 30749  ax-hvass 30750  ax-hv0cl 30751  ax-hvaddid 30752  ax-hfvmul 30753  ax-hvmulid 30754  ax-hvmulass 30755  ax-hvdistr1 30756  ax-hvdistr2 30757  ax-hvmul0 30758  ax-hfi 30827  ax-his1 30830  ax-his2 30831  ax-his3 30832  ax-his4 30833  ax-hcompl 30950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-acn 9934  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ioo 13329  df-ico 13331  df-icc 13332  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-mulg 18992  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-cnfld 21235  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-cld 22867  df-ntr 22868  df-cls 22869  df-nei 22946  df-cn 23075  df-cnp 23076  df-lm 23077  df-haus 23163  df-tx 23410  df-hmeo 23603  df-fil 23694  df-fm 23786  df-flim 23787  df-flf 23788  df-xms 24170  df-ms 24171  df-tms 24172  df-cfil 25127  df-cau 25128  df-cmet 25129  df-grpo 30241  df-gid 30242  df-ginv 30243  df-gdiv 30244  df-ablo 30293  df-vc 30307  df-nv 30340  df-va 30343  df-ba 30344  df-sm 30345  df-0v 30346  df-vs 30347  df-nmcv 30348  df-ims 30349  df-dip 30449  df-ssp 30470  df-ph 30561  df-cbn 30611  df-hnorm 30716  df-hba 30717  df-hvsub 30719  df-hlim 30720  df-hcau 30721  df-sh 30955  df-ch 30969  df-oc 31000  df-ch0 31001  df-shs 31056  df-span 31057  df-chj 31058  df-chsup 31059  df-pjh 31143  df-cv 32027  df-at 32086

This theorem is referenced by:  atcvat2i  32135