HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  atcv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atcv1 29953
Description: Two atoms covering the zero subspace are equal. (Contributed by NM, 26-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
atcv1 (((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐴 (𝐵 𝐶)) → (𝐴 = 0𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem atcv1
StepHypRef Expression
1 breq1 4928 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → (𝐴 (𝐵 𝐶) ↔ 0 (𝐵 𝐶)))
2 atcv0eq 29952 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (0 (𝐵 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
31, 2sylan9bbr 503 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 (𝐵 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
43biimpd 221 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 (𝐵 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
54ex 405 . . . . 5 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 = 0 → (𝐴 (𝐵 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)))
65com23 86 . . . 4 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 (𝐵 𝐶) → (𝐴 = 0𝐵 = 𝐶)))
763adant1 1111 . . 3 ((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 (𝐵 𝐶) → (𝐴 = 0𝐵 = 𝐶)))
87imp 398 . 2 (((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐴 (𝐵 𝐶)) → (𝐴 = 0𝐵 = 𝐶))
9 oveq1 6981 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 = 𝐶 → (𝐵 𝐶) = (𝐶 𝐶))
10 atelch 29917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐶 ∈ HAtoms → 𝐶C )
11 chjidm 29093 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐶C → (𝐶 𝐶) = 𝐶)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐶 𝐶) = 𝐶)
139, 12sylan9eq 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 = 𝐶𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐵 𝐶) = 𝐶)
1413eqcomd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 = 𝐶𝐶 ∈ HAtoms) → 𝐶 = (𝐵 𝐶))
1514eleq1d 2843 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 = 𝐶𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐶 ∈ HAtoms ↔ (𝐵 𝐶) ∈ HAtoms))
1615ex 405 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = 𝐶 → (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐶 ∈ HAtoms ↔ (𝐵 𝐶) ∈ HAtoms)))
1716ibd 261 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = 𝐶 → (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 𝐶) ∈ HAtoms))
1817impcom 399 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐵 𝐶) ∈ HAtoms)
19 atcveq0 29921 . . . . . . . . 9 ((𝐴C ∧ (𝐵 𝐶) ∈ HAtoms) → (𝐴 (𝐵 𝐶) ↔ 𝐴 = 0))
2018, 19sylan2 584 . . . . . . . 8 ((𝐴C ∧ (𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶)) → (𝐴 (𝐵 𝐶) ↔ 𝐴 = 0))
2120biimpd 221 . . . . . . 7 ((𝐴C ∧ (𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶)) → (𝐴 (𝐵 𝐶) → 𝐴 = 0))
2221exp32 413 . . . . . 6 (𝐴C → (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 (𝐵 𝐶) → 𝐴 = 0))))
2322com34 91 . . . . 5 (𝐴C → (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐴 (𝐵 𝐶) → (𝐵 = 𝐶𝐴 = 0))))
2423imp 398 . . . 4 ((𝐴C𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 (𝐵 𝐶) → (𝐵 = 𝐶𝐴 = 0)))
25243adant2 1112 . . 3 ((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 (𝐵 𝐶) → (𝐵 = 𝐶𝐴 = 0)))
2625imp 398 . 2 (((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐴 (𝐵 𝐶)) → (𝐵 = 𝐶𝐴 = 0))
278, 26impbid 204 1 (((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐴 (𝐵 𝐶)) → (𝐴 = 0𝐵 = 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1069   = wceq 1508  wcel 2051   class class class wbr 4925  (class class class)co 6974   C cch 28500   chj 28504  0c0h 28506   ccv 28535  HAtomscat 28536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-inf2 8896  ax-cc 9653  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411  ax-addf 10412  ax-mulf 10413  ax-hilex 28570  ax-hfvadd 28571  ax-hvcom 28572  ax-hvass 28573  ax-hv0cl 28574  ax-hvaddid 28575  ax-hfvmul 28576  ax-hvmulid 28577  ax-hvmulass 28578  ax-hvdistr1 28579  ax-hvdistr2 28580  ax-hvmul0 28581  ax-hfi 28650  ax-his1 28653  ax-his2 28654  ax-his3 28655  ax-his4 28656  ax-hcompl 28773
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-iin 4791  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-se 5363  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-isom 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-of 7225  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-supp 7632  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-2o 7904  df-oadd 7907  df-omul 7908  df-er 8087  df-map 8206  df-pm 8207  df-ixp 8258  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-fsupp 8627  df-fi 8668  df-sup 8699  df-inf 8700  df-oi 8767  df-card 9160  df-acn 9163  df-cda 9386  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-9 11508  df-n0 11706  df-z 11792  df-dec 11910  df-uz 12057  df-q 12161  df-rp 12203  df-xneg 12322  df-xadd 12323  df-xmul 12324  df-ioo 12556  df-ico 12558  df-icc 12559  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-fl 12975  df-seq 13183  df-exp 13243  df-hash 13504  df-cj 14317  df-re 14318  df-im 14319  df-sqrt 14453  df-abs 14454  df-clim 14704  df-rlim 14705  df-sum 14902  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-starv 16434  df-sca 16435  df-vsca 16436  df-ip 16437  df-tset 16438  df-ple 16439  df-ds 16441  df-unif 16442  df-hom 16443  df-cco 16444  df-rest 16550  df-topn 16551  df-0g 16569  df-gsum 16570  df-topgen 16571  df-pt 16572  df-prds 16575  df-xrs 16629  df-qtop 16634  df-imas 16635  df-xps 16637  df-mre 16727  df-mrc 16728  df-acs 16730  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-submnd 17816  df-mulg 18024  df-cntz 18230  df-cmn 18680  df-psmet 20254  df-xmet 20255  df-met 20256  df-bl 20257  df-mopn 20258  df-fbas 20259  df-fg 20260  df-cnfld 20263  df-top 21221  df-topon 21238  df-topsp 21260  df-bases 21273  df-cld 21346  df-ntr 21347  df-cls 21348  df-nei 21425  df-cn 21554  df-cnp 21555  df-lm 21556  df-haus 21642  df-tx 21889  df-hmeo 22082  df-fil 22173  df-fm 22265  df-flim 22266  df-flf 22267  df-xms 22648  df-ms 22649  df-tms 22650  df-cfil 23576  df-cau 23577  df-cmet 23578  df-grpo 28062  df-gid 28063  df-ginv 28064  df-gdiv 28065  df-ablo 28114  df-vc 28128  df-nv 28161  df-va 28164  df-ba 28165  df-sm 28166  df-0v 28167  df-vs 28168  df-nmcv 28169  df-ims 28170  df-dip 28270  df-ssp 28291  df-ph 28382  df-cbn 28433  df-hnorm 28539  df-hba 28540  df-hvsub 28542  df-hlim 28543  df-hcau 28544  df-sh 28778  df-ch 28792  df-oc 28823  df-ch0 28824  df-shs 28881  df-span 28882  df-chj 28883  df-chsup 28884  df-pjh 28968  df-cv 29852  df-at 29911
This theorem is referenced by:  atcvat2i  29960
  Copyright terms: Public domain W3C validator