Theorem atmod4i2 40374

Description: Version of modular law that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 4-Jun-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Mar-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
atmod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atmod.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atmod.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
atmod.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
atmod.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atmod4i2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝑃 ∧ 𝑌) ∨ 𝑋) = ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑌))

Proof of Theorem atmod4i2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39870	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	3ad2ant1 1140	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simp21 1214	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑃 ∈ 𝐴)
4		atmod.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		atmod.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	4, 5	atbase 39796	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
7	3, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑃 ∈ 𝐵)
8		simp23 1216	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		atmod.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
10	4, 9	latmcl 18401	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
11	2, 7, 8, 10	syl3anc 1380	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑃 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
12		simp22 1215	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		atmod.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
14	4, 13	latjcom 18408	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑃 ∧ 𝑌) ∨ 𝑋) = (𝑋 ∨ (𝑃 ∧ 𝑌)))
15	2, 11, 12, 14	syl3anc 1380	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝑃 ∧ 𝑌) ∨ 𝑋) = (𝑋 ∨ (𝑃 ∧ 𝑌)))
16		atmod.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
17	4, 16, 13, 9, 5	atmod1i2 40366	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 ∨ (𝑃 ∧ 𝑌)) = ((𝑋 ∨ 𝑃) ∧ 𝑌))
18	4, 13	latjcom 18408	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑃 ∨ 𝑋))
19	2, 12, 7, 18	syl3anc 1380	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑃 ∨ 𝑋))
20	19	oveq1d 7375	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝑋 ∨ 𝑃) ∧ 𝑌) = ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑌))
21	15, 17, 20	3eqtrd 2780	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝑃 ∧ 𝑌) ∨ 𝑋) = ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Basecbs 17174  lecple 17222  joincjn 18272  meetcmee 18273  Latclat 18392  Atomscatm 39770  HLchlt 39857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-lat 18393  df-clat 18460  df-oposet 39683  df-ol 39685  df-oml 39686  df-covers 39773  df-ats 39774  df-atl 39805  df-cvlat 39829  df-hlat 39858  df-psubsp 40010  df-pmap 40011  df-padd 40303

This theorem is referenced by:  lhp2at0  40539  lhpelim  40544  cdleme2  40735  cdleme35d  40959  cdlemeg46frv  41032  cdlemg2fv2  41107  cdlemg2m  41111  cdlemg10bALTN  41143  cdlemh2  41323  cdlemk9  41346  cdlemk9bN  41347