Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atmod4i2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atmod4i2 36995
Description: Version of modular law that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 4-Jun-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
atmod.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atmod.l = (le‘𝐾)
atmod.j = (join‘𝐾)
atmod.m = (meet‘𝐾)
atmod.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atmod4i2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → ((𝑃 𝑌) 𝑋) = ((𝑃 𝑋) 𝑌))

Proof of Theorem atmod4i2
StepHypRef Expression
1 hllat 36491 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1127 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simp21 1200 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝑃𝐴)
4 atmod.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 atmod.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
64, 5atbase 36417 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
73, 6syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝑃𝐵)
8 simp23 1202 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝑌𝐵)
9 atmod.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
104, 9latmcl 17654 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵𝑌𝐵) → (𝑃 𝑌) ∈ 𝐵)
112, 7, 8, 10syl3anc 1365 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑃 𝑌) ∈ 𝐵)
12 simp22 1201 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝑋𝐵)
13 atmod.j . . . 4 = (join‘𝐾)
144, 13latjcom 17661 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑌) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((𝑃 𝑌) 𝑋) = (𝑋 (𝑃 𝑌)))
152, 11, 12, 14syl3anc 1365 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → ((𝑃 𝑌) 𝑋) = (𝑋 (𝑃 𝑌)))
16 atmod.l . . 3 = (le‘𝐾)
174, 16, 13, 9, 5atmod1i2 36987 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋 (𝑃 𝑌)) = ((𝑋 𝑃) 𝑌))
184, 13latjcom 17661 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐵) → (𝑋 𝑃) = (𝑃 𝑋))
192, 12, 7, 18syl3anc 1365 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋 𝑃) = (𝑃 𝑋))
2019oveq1d 7163 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → ((𝑋 𝑃) 𝑌) = ((𝑃 𝑋) 𝑌))
2115, 17, 203eqtrd 2858 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → ((𝑃 𝑌) 𝑋) = ((𝑃 𝑋) 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  lecple 16564  joincjn 17546  meetcmee 17547  Latclat 17647  Atomscatm 36391  HLchlt 36478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36304  df-ol 36306  df-oml 36307  df-covers 36394  df-ats 36395  df-atl 36426  df-cvlat 36450  df-hlat 36479  df-psubsp 36631  df-pmap 36632  df-padd 36924
This theorem is referenced by:  lhp2at0  37160  lhpelim  37165  cdleme2  37356  cdleme35d  37580  cdlemeg46frv  37653  cdlemg2fv2  37728  cdlemg2m  37732  cdlemg10bALTN  37764  cdlemh2  37944  cdlemk9  37967  cdlemk9bN  37968
  Copyright terms: Public domain W3C validator