Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atmod2i2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem atmod2i2 39367
Description: Version of modular law pmod2iN 39354 that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 14-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
atmod.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
atmod.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
atmod.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
atmod.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
atmod.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atmod2i2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ π‘Œ)))
Proof of Theorem atmod2i2
StepHypRef Expression
1 hllat 38867 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simp21 1203 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
4 atmod.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 atmod.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
64, 5atbase 38793 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
73, 6syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
8 simp23 1205 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
9 atmod.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
104, 9latjcom 18446 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∨ π‘Œ) = (π‘Œ ∨ 𝑃))
112, 7, 8, 10syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ∨ π‘Œ) = (π‘Œ ∨ 𝑃))
1211oveq1d 7441 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑃 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑋) = ((π‘Œ ∨ 𝑃) ∧ 𝑋))
13 simp22 1204 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
144, 9latjcl 18438 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
152, 7, 8, 14syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
16 atmod.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
174, 16latmcom 18462 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ π‘Œ)) = ((𝑃 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑋))
182, 13, 15, 17syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ π‘Œ)) = ((𝑃 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑋))
19 simp1 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ HL)
20 simp3 1135 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ ≀ 𝑋)
21 atmod.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
224, 21, 9, 16, 5atmod1i2 39364 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (π‘Œ ∨ (𝑃 ∧ 𝑋)) = ((π‘Œ ∨ 𝑃) ∧ 𝑋))
2319, 3, 8, 13, 20, 22syl131anc 1380 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (π‘Œ ∨ (𝑃 ∧ 𝑋)) = ((π‘Œ ∨ 𝑃) ∧ 𝑋))
2412, 18, 233eqtr4d 2778 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ π‘Œ)) = (π‘Œ ∨ (𝑃 ∧ 𝑋)))
254, 16latmcl 18439 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∧ 𝑋) ∈ 𝐡)
262, 7, 13, 25syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ∧ 𝑋) ∈ 𝐡)
274, 9latjcom 18446 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∧ 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∨ (𝑃 ∧ 𝑋)) = ((𝑃 ∧ 𝑋) ∨ π‘Œ))
282, 8, 26, 27syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (π‘Œ ∨ (𝑃 ∧ 𝑋)) = ((𝑃 ∧ 𝑋) ∨ π‘Œ))
294, 16latmcom 18462 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∧ 𝑋) = (𝑋 ∧ 𝑃))
302, 7, 13, 29syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ∧ 𝑋) = (𝑋 ∧ 𝑃))
3130oveq1d 7441 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑃 ∧ 𝑋) ∨ π‘Œ) = ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ))
3224, 28, 313eqtrrd 2773 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  lecple 17247  joincjn 18310  meetcmee 18311  Latclat 18430  Atomscatm 38767  HLchlt 38854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-psubsp 39008  df-pmap 39009  df-padd 39301
This theorem is referenced by:  llnexchb2lem  39373  dalawlem2  39377  dalawlem3  39378  dalawlem11  39386  dalawlem12  39387  cdleme15b  39780
  Copyright terms: Public domain W3C validator