Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atmod2i2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem atmod2i2 38721
Description: Version of modular law pmod2iN 38708 that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 14-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
atmod.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
atmod.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
atmod.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
atmod.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
atmod.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atmod2i2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ π‘Œ)))
Proof of Theorem atmod2i2
StepHypRef Expression
1 hllat 38221 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simp21 1206 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
4 atmod.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 atmod.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
64, 5atbase 38147 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
73, 6syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
8 simp23 1208 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
9 atmod.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
104, 9latjcom 18396 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∨ π‘Œ) = (π‘Œ ∨ 𝑃))
112, 7, 8, 10syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ∨ π‘Œ) = (π‘Œ ∨ 𝑃))
1211oveq1d 7420 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑃 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑋) = ((π‘Œ ∨ 𝑃) ∧ 𝑋))
13 simp22 1207 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
144, 9latjcl 18388 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
152, 7, 8, 14syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
16 atmod.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
174, 16latmcom 18412 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ π‘Œ)) = ((𝑃 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑋))
182, 13, 15, 17syl3anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ π‘Œ)) = ((𝑃 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑋))
19 simp1 1136 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ HL)
20 simp3 1138 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ ≀ 𝑋)
21 atmod.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
224, 21, 9, 16, 5atmod1i2 38718 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (π‘Œ ∨ (𝑃 ∧ 𝑋)) = ((π‘Œ ∨ 𝑃) ∧ 𝑋))
2319, 3, 8, 13, 20, 22syl131anc 1383 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (π‘Œ ∨ (𝑃 ∧ 𝑋)) = ((π‘Œ ∨ 𝑃) ∧ 𝑋))
2412, 18, 233eqtr4d 2782 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ π‘Œ)) = (π‘Œ ∨ (𝑃 ∧ 𝑋)))
254, 16latmcl 18389 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∧ 𝑋) ∈ 𝐡)
262, 7, 13, 25syl3anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ∧ 𝑋) ∈ 𝐡)
274, 9latjcom 18396 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∧ 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∨ (𝑃 ∧ 𝑋)) = ((𝑃 ∧ 𝑋) ∨ π‘Œ))
282, 8, 26, 27syl3anc 1371 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (π‘Œ ∨ (𝑃 ∧ 𝑋)) = ((𝑃 ∧ 𝑋) ∨ π‘Œ))
294, 16latmcom 18412 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∧ 𝑋) = (𝑋 ∧ 𝑃))
302, 7, 13, 29syl3anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ∧ 𝑋) = (𝑋 ∧ 𝑃))
3130oveq1d 7420 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑃 ∧ 𝑋) ∨ π‘Œ) = ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ))
3224, 28, 313eqtrrd 2777 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  meetcmee 18261  Latclat 18380  Atomscatm 38121  HLchlt 38208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655
This theorem is referenced by:  llnexchb2lem  38727  dalawlem2  38731  dalawlem3  38732  dalawlem11  38740  dalawlem12  38741  cdleme15b  39134
  Copyright terms: Public domain W3C validator