Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atmod2i2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem atmod2i2 39246
Description: Version of modular law pmod2iN 39233 that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 14-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
atmod.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
atmod.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
atmod.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
atmod.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
atmod.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atmod2i2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ π‘Œ)))
Proof of Theorem atmod2i2
StepHypRef Expression
1 hllat 38746 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simp21 1203 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
4 atmod.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 atmod.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
64, 5atbase 38672 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
73, 6syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
8 simp23 1205 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
9 atmod.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
104, 9latjcom 18412 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∨ π‘Œ) = (π‘Œ ∨ 𝑃))
112, 7, 8, 10syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ∨ π‘Œ) = (π‘Œ ∨ 𝑃))
1211oveq1d 7420 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑃 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑋) = ((π‘Œ ∨ 𝑃) ∧ 𝑋))
13 simp22 1204 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
144, 9latjcl 18404 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
152, 7, 8, 14syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
16 atmod.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
174, 16latmcom 18428 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ π‘Œ)) = ((𝑃 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑋))
182, 13, 15, 17syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ π‘Œ)) = ((𝑃 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑋))
19 simp1 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ HL)
20 simp3 1135 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ ≀ 𝑋)
21 atmod.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
224, 21, 9, 16, 5atmod1i2 39243 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (π‘Œ ∨ (𝑃 ∧ 𝑋)) = ((π‘Œ ∨ 𝑃) ∧ 𝑋))
2319, 3, 8, 13, 20, 22syl131anc 1380 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (π‘Œ ∨ (𝑃 ∧ 𝑋)) = ((π‘Œ ∨ 𝑃) ∧ 𝑋))
2412, 18, 233eqtr4d 2776 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ π‘Œ)) = (π‘Œ ∨ (𝑃 ∧ 𝑋)))
254, 16latmcl 18405 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∧ 𝑋) ∈ 𝐡)
262, 7, 13, 25syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ∧ 𝑋) ∈ 𝐡)
274, 9latjcom 18412 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∧ 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∨ (𝑃 ∧ 𝑋)) = ((𝑃 ∧ 𝑋) ∨ π‘Œ))
282, 8, 26, 27syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (π‘Œ ∨ (𝑃 ∧ 𝑋)) = ((𝑃 ∧ 𝑋) ∨ π‘Œ))
294, 16latmcom 18428 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∧ 𝑋) = (𝑋 ∧ 𝑃))
302, 7, 13, 29syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ∧ 𝑋) = (𝑋 ∧ 𝑃))
3130oveq1d 7420 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑃 ∧ 𝑋) ∨ π‘Œ) = ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ))
3224, 28, 313eqtrrd 2771 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276  meetcmee 18277  Latclat 18396  Atomscatm 38646  HLchlt 38733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180
This theorem is referenced by:  llnexchb2lem  39252  dalawlem2  39256  dalawlem3  39257  dalawlem11  39265  dalawlem12  39266  cdleme15b  39659
  Copyright terms: Public domain W3C validator