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Theorem smfpimcc 45823
Description: Given a countable set of sigma-measurable functions, and a Borel set 𝐴 there exists a choice function β„Ž that, for each measurable function, chooses a measurable set that, when intersected with the function's domain, gives the preimage of 𝐴. This is a generalization of the observation at the beginning of the proof of Proposition 121F of [Fremlin1] p. 39 . The statement would also be provable for uncountable sets, but in most cases it will suffice to consider the countable case, and only the axiom of countable choice will be needed. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimcc.1 Ⅎ𝑛𝐹
smfpimcc.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
smfpimcc.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimcc.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
smfpimcc.j 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
smfpimcc.b 𝐡 = (SalGenβ€˜π½)
smfpimcc.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
smfpimcc (πœ‘ β†’ βˆƒβ„Ž(β„Ž:π‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ 𝐴) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›))))
Distinct variable groups:   𝐴,β„Ž,𝑛   β„Ž,𝐹   𝑆,β„Ž   β„Ž,𝑍,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž,𝑛)   𝐡(β„Ž,𝑛)   𝑆(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐽(β„Ž,𝑛)   𝑀(β„Ž,𝑛)

Proof of Theorem smfpimcc
Dummy variables 𝑓 π‘š 𝑠 𝑀 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfpimcc.z . . . . . . 7 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
21uzct 44052 . . . . . 6 𝑍 β‰Ό Ο‰
32a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 β‰Ό Ο‰)
4 mptct 10535 . . . . 5 (𝑍 β‰Ό Ο‰ β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))}) β‰Ό Ο‰)
5 rnct 10522 . . . . 5 ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))}) β‰Ό Ο‰ β†’ ran (π‘š ∈ 𝑍 ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))}) β‰Ό Ο‰)
63, 4, 53syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (π‘š ∈ 𝑍 ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))}) β‰Ό Ο‰)
7 vex 3478 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
8 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ 𝑍 ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))}) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})
98elrnmpt 5955 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ V β†’ (𝑦 ∈ ran (π‘š ∈ 𝑍 ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))}) ↔ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 𝑦 = {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))}))
107, 9ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ran (π‘š ∈ 𝑍 ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))}) ↔ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 𝑦 = {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})
1110biimpi 215 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ran (π‘š ∈ 𝑍 ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))}) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 𝑦 = {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})
1211adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ran (π‘š ∈ 𝑍 ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 𝑦 = {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})
13 simp3 1138 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 = {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))}) β†’ 𝑦 = {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})
14 smfpimcc.s . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
1514adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
16 smfpimcc.f . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
1716ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
18 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 dom (πΉβ€˜π‘š) = dom (πΉβ€˜π‘š)
19 smfpimcc.j . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
20 smfpimcc.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐡 = (SalGenβ€˜π½)
21 smfpimcc.a . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
2221adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
23 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴)
2415, 17, 18, 19, 20, 22, 23smfpimbor1 45815 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) ∈ (𝑆 β†Ύt dom (πΉβ€˜π‘š)))
25 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πΉβ€˜π‘š) ∈ V
2625dmex 7904 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (πΉβ€˜π‘š) ∈ V
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ dom (πΉβ€˜π‘š) ∈ V)
28 elrest 17377 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ dom (πΉβ€˜π‘š) ∈ V) β†’ ((β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) ∈ (𝑆 β†Ύt dom (πΉβ€˜π‘š)) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))))
2914, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) ∈ (𝑆 β†Ύt dom (πΉβ€˜π‘š)) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))))
3029adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ ((β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) ∈ (𝑆 β†Ύt dom (πΉβ€˜π‘š)) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))))
3124, 30mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š)))
32 rabn0 4385 . . . . . . . . . . 11 ({𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š)))
3331, 32sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))} β‰  βˆ…)
34333adant3 1132 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 = {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))}) β†’ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))} β‰  βˆ…)
3513, 34eqnetrd 3008 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 = {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))}) β†’ 𝑦 β‰  βˆ…)
36353exp 1119 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ 𝑍 β†’ (𝑦 = {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))} β†’ 𝑦 β‰  βˆ…)))
3736rexlimdv 3153 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 𝑦 = {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))} β†’ 𝑦 β‰  βˆ…))
3837adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ran (π‘š ∈ 𝑍 ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 𝑦 = {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))} β†’ 𝑦 β‰  βˆ…))
3912, 38mpd 15 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ran (π‘š ∈ 𝑍 ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})) β†’ 𝑦 β‰  βˆ…)
406, 39axccd2 44228 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“βˆ€π‘¦ ∈ ran (π‘š ∈ 𝑍 ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)
41 nfv 1917 . . . . . . 7 β„²π‘šπœ‘
42 nfmpt1 5256 . . . . . . . . 9 β„²π‘š(π‘š ∈ 𝑍 ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})
4342nfrn 5951 . . . . . . . 8 β„²π‘šran (π‘š ∈ 𝑍 ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})
44 nfv 1917 . . . . . . . 8 β„²π‘š(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦
4543, 44nfralw 3308 . . . . . . 7 β„²π‘šβˆ€π‘¦ ∈ ran (π‘š ∈ 𝑍 ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦
4641, 45nfan 1902 . . . . . 6 β„²π‘š(πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ran (π‘š ∈ 𝑍 ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)
471fvexi 6905 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
4814adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ran (π‘š ∈ 𝑍 ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
49 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑀 β†’ (π‘“β€˜π‘¦) = (π‘“β€˜π‘€))
50 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑀 β†’ 𝑦 = 𝑀)
5149, 50eleq12d 2827 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑀 β†’ ((π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦 ↔ (π‘“β€˜π‘€) ∈ 𝑀))
5251rspccva 3611 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘¦ ∈ ran (π‘š ∈ 𝑍 ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ ran (π‘š ∈ 𝑍 ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})) β†’ (π‘“β€˜π‘€) ∈ 𝑀)
5352adantll 712 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ran (π‘š ∈ 𝑍 ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦) ∧ 𝑀 ∈ ran (π‘š ∈ 𝑍 ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})) β†’ (π‘“β€˜π‘€) ∈ 𝑀)
54 eqid 2732 . . . . . 6 (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (π‘“β€˜{𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (π‘“β€˜{𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))}))
5546, 47, 48, 53, 54smfpimcclem 45822 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ran (π‘š ∈ 𝑍 ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦) β†’ βˆƒβ„Ž(β„Ž:π‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = ((β„Žβ€˜π‘š) ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))))
5655ex 413 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran (π‘š ∈ 𝑍 ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒβ„Ž(β„Ž:π‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = ((β„Žβ€˜π‘š) ∩ dom (πΉβ€˜π‘š)))))
5756exlimdv 1936 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“βˆ€π‘¦ ∈ ran (π‘š ∈ 𝑍 ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒβ„Ž(β„Ž:π‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = ((β„Žβ€˜π‘š) ∩ dom (πΉβ€˜π‘š)))))
5840, 57mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒβ„Ž(β„Ž:π‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = ((β„Žβ€˜π‘š) ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))))
59 smfpimcc.1 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛𝐹
60 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 β„²π‘›π‘š
6159, 60nffv 6901 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛(πΉβ€˜π‘š)
6261nfcnv 5878 . . . . . . 7 Ⅎ𝑛◑(πΉβ€˜π‘š)
63 nfcv 2903 . . . . . . 7 Ⅎ𝑛𝐴
6462, 63nfima 6067 . . . . . 6 Ⅎ𝑛(β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴)
65 nfcv 2903 . . . . . . 7 Ⅎ𝑛(β„Žβ€˜π‘š)
6661nfdm 5950 . . . . . . 7 Ⅎ𝑛dom (πΉβ€˜π‘š)
6765, 66nfin 4216 . . . . . 6 Ⅎ𝑛((β„Žβ€˜π‘š) ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))
6864, 67nfeq 2916 . . . . 5 Ⅎ𝑛(β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = ((β„Žβ€˜π‘š) ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))
69 nfv 1917 . . . . 5 β„²π‘š(β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ 𝐴) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›))
70 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘›))
7170cnveqd 5875 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑛 β†’ β—‘(πΉβ€˜π‘š) = β—‘(πΉβ€˜π‘›))
7271imaeq1d 6058 . . . . . 6 (π‘š = 𝑛 β†’ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ 𝐴))
73 fveq2 6891 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑛 β†’ (β„Žβ€˜π‘š) = (β„Žβ€˜π‘›))
7470dmeqd 5905 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑛 β†’ dom (πΉβ€˜π‘š) = dom (πΉβ€˜π‘›))
7573, 74ineq12d 4213 . . . . . 6 (π‘š = 𝑛 β†’ ((β„Žβ€˜π‘š) ∩ dom (πΉβ€˜π‘š)) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›)))
7672, 75eqeq12d 2748 . . . . 5 (π‘š = 𝑛 β†’ ((β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = ((β„Žβ€˜π‘š) ∩ dom (πΉβ€˜π‘š)) ↔ (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ 𝐴) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›))))
7768, 69, 76cbvralw 3303 . . . 4 (βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = ((β„Žβ€˜π‘š) ∩ dom (πΉβ€˜π‘š)) ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ 𝐴) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›)))
7877anbi2i 623 . . 3 ((β„Ž:π‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = ((β„Žβ€˜π‘š) ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))) ↔ (β„Ž:π‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ 𝐴) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›))))
7978exbii 1850 . 2 (βˆƒβ„Ž(β„Ž:π‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ 𝐴) = ((β„Žβ€˜π‘š) ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))) ↔ βˆƒβ„Ž(β„Ž:π‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ 𝐴) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›))))
8058, 79sylib 217 1 (πœ‘ β†’ βˆƒβ„Ž(β„Ž:π‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ 𝐴) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  β„²wnfc 2883   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   ∩ cin 3947  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Ο‰com 7857   β‰Ό cdom 8939  β„€β‰₯cuz 12826  (,)cioo 13328   β†Ύt crest 17370  topGenctg 17387  SAlgcsalg 45323  SalGencsalgen 45327  SMblFncsmblfn 45710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-fl 13761  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-top 22616  df-bases 22669  df-salg 45324  df-salgen 45328  df-smblfn 45711
This theorem is referenced by:  smfsuplem2  45827
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