Theorem sadadd 16437

Description: For sequences that correspond to valid integers, the adder sequence function produces the sequence for the sum. This is effectively a proof of the correctness of the ripple carry adder, implemented with logic gates corresponding to df-had 1594 and df-cad 1607.

It is interesting to consider in what sense the sadd function can be said to be "adding" things outside the range of the bits function, that is, when adding sequences that are not eventually constant and so do not denote any integer. The correct interpretation is that the sequences are representations of 2-adic integers, which have a natural ring structure. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sadadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) = (bits‘(𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem sadadd

Dummy variables 𝑘 𝑐 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsss 16396	. . . . . 6 ⊢ (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0
2		bitsss 16396	. . . . . 6 ⊢ (bits‘𝐵) ⊆ ℕ0
3		sadcl 16432	. . . . . 6 ⊢ (((bits‘𝐴) ⊆ ℕ0 ∧ (bits‘𝐵) ⊆ ℕ0) → ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ⊆ ℕ0)
4	1, 2, 3	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ⊆ ℕ0
5	4	sseli 3942	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) → 𝑘 ∈ ℕ0))
7		bitsss 16396	. . . . 5 ⊢ (bits‘(𝐴 + 𝐵)) ⊆ ℕ0
8	7	sseli 3942	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 + 𝐵)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 + 𝐵)) → 𝑘 ∈ ℕ0))
10		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ (bits‘𝐴), 𝑚 ∈ (bits‘𝐵), ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ (bits‘𝐴), 𝑚 ∈ (bits‘𝐵), ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
11		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡(bits ↾ ℕ0) = ◡(bits ↾ ℕ0)
12		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
13		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
14		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
15		1nn0 12458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
17	14, 16	nn0addcld 12507	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
18	10, 11, 12, 13, 17	sadaddlem 16436	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = (bits‘((𝐴 + 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))))
19	12, 13	zaddcld 12642	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
20		bitsmod 16406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (bits‘((𝐴 + 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))) = ((bits‘(𝐴 + 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
21	19, 17, 20	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘((𝐴 + 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))) = ((bits‘(𝐴 + 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
22	18, 21	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((bits‘(𝐴 + 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
23	22	eleq2d 2814	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ 𝑘 ∈ ((bits‘(𝐴 + 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))
24		elin 3930	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))))
25		elin 3930	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((bits‘(𝐴 + 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 + 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))))
26	23, 24, 25	3bitr3g 313	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 + 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))))
27		nn0uz 12835	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
28	14, 27	eleqtrdi 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
29		eluzfz2 13493	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝑘 ∈ (0...𝑘))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (0...𝑘))
31	14	nn0zd 12555	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
32		fzval3 13695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (0...𝑘) = (0..^(𝑘 + 1)))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) = (0..^(𝑘 + 1)))
34	30, 33	eleqtrd 2830	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))
35	34	biantrud 531	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ↔ (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))))
36	34	biantrud 531	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 + 𝐵)) ↔ (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 + 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))))
37	26, 35, 36	3bitr4d 311	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ↔ 𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 + 𝐵))))
38	37	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ↔ 𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 + 𝐵)))))
39	6, 9, 38	pm5.21ndd 379	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ↔ 𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 + 𝐵))))
40	39	eqrdv 2727	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) = (bits‘(𝐴 + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  caddwcad 1606   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  ifcif 4488   ↦ cmpt 5188  ^◡ccnv 5637   ↾ cres 5640  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389  1_oc1o 8427  2_oc2o 8428  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   − cmin 11405  2c2 12241  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  ...cfz 13468  ..^cfzo 13615   mod cmo 13831  seqcseq 13966  ↑cexp 14026  bitscbits 16389   sadd csad 16390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-had 1594  df-cad 1607  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-sum 15653  df-dvds 16223  df-bits 16392  df-sad 16421

This theorem is referenced by:  bitsres  16443  smumullem  16462