Theorem sadadd 16347

Description: For sequences that correspond to valid integers, the adder sequence function produces the sequence for the sum. This is effectively a proof of the correctness of the ripple carry adder, implemented with logic gates corresponding to df-had 1595 and df-cad 1608.

It is interesting to consider in what sense the sadd function can be said to be "adding" things outside the range of the bits function, that is, when adding sequences that are not eventually constant and so do not denote any integer. The correct interpretation is that the sequences are representations of 2-adic integers, which have a natural ring structure. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sadadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) = (bits‘(𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem sadadd

Dummy variables 𝑘 𝑐 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsss 16306	. . . . . 6 ⊢ (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0
2		bitsss 16306	. . . . . 6 ⊢ (bits‘𝐵) ⊆ ℕ0
3		sadcl 16342	. . . . . 6 ⊢ (((bits‘𝐴) ⊆ ℕ0 ∧ (bits‘𝐵) ⊆ ℕ0) → ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ⊆ ℕ0)
4	1, 2, 3	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ⊆ ℕ0
5	4	sseli 3940	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) → 𝑘 ∈ ℕ0))
7		bitsss 16306	. . . . 5 ⊢ (bits‘(𝐴 + 𝐵)) ⊆ ℕ0
8	7	sseli 3940	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 + 𝐵)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 + 𝐵)) → 𝑘 ∈ ℕ0))
10		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ (bits‘𝐴), 𝑚 ∈ (bits‘𝐵), ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ (bits‘𝐴), 𝑚 ∈ (bits‘𝐵), ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
11		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡(bits ↾ ℕ0) = ◡(bits ↾ ℕ0)
12		simpll 765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
13		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
14		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
15		1nn0 12429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
17	14, 16	nn0addcld 12477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
18	10, 11, 12, 13, 17	sadaddlem 16346	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = (bits‘((𝐴 + 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))))
19	12, 13	zaddcld 12611	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
20		bitsmod 16316	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (bits‘((𝐴 + 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))) = ((bits‘(𝐴 + 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
21	19, 17, 20	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘((𝐴 + 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))) = ((bits‘(𝐴 + 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
22	18, 21	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((bits‘(𝐴 + 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
23	22	eleq2d 2823	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ 𝑘 ∈ ((bits‘(𝐴 + 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))
24		elin 3926	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))))
25		elin 3926	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((bits‘(𝐴 + 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 + 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))))
26	23, 24, 25	3bitr3g 312	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 + 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))))
27		nn0uz 12805	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
28	14, 27	eleqtrdi 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
29		eluzfz2 13449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝑘 ∈ (0...𝑘))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (0...𝑘))
31	14	nn0zd 12525	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
32		fzval3 13641	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (0...𝑘) = (0..^(𝑘 + 1)))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) = (0..^(𝑘 + 1)))
34	30, 33	eleqtrd 2840	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))
35	34	biantrud 532	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ↔ (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))))
36	34	biantrud 532	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 + 𝐵)) ↔ (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 + 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))))
37	26, 35, 36	3bitr4d 310	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ↔ 𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 + 𝐵))))
38	37	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ↔ 𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 + 𝐵)))))
39	6, 9, 38	pm5.21ndd 380	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ↔ 𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 + 𝐵))))
40	39	eqrdv 2734	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) = (bits‘(𝐴 + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  caddwcad 1607   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3909   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282  ifcif 4486   ↦ cmpt 5188  ^◡ccnv 5632   ↾ cres 5635  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359  1_oc1o 8405  2_oc2o 8406  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   − cmin 11385  2c2 12208  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567   mod cmo 13774  seqcseq 13906  ↑cexp 13967  bitscbits 16299   sadd csad 16300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-had 1595  df-cad 1608  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-dvds 16137  df-bits 16302  df-sad 16331

This theorem is referenced by:  bitsres  16353  smumullem  16372