MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsres 15817
Description: Restrict the bits of a number to an upper integer set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsres ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)) = (bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))))

Proof of Theorem bitsres
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 2nn 11704 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
32a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
4 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
53, 4nnexpcld 13601 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
61, 5zmodcld 13255 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
76nn0zd 12079 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
87znegcld 12083 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
9 sadadd 15811 . . 3 ((-(𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘𝐴)) = (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴)))
108, 1, 9syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘𝐴)) = (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴)))
11 sadadd 15811 . . . . . 6 ((-(𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℤ) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) = (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))))
128, 7, 11syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) = (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))))
138zcnd 12082 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
147zcnd 12082 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
1513, 14addcomd 10836 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((𝐴 mod (2↑𝑁)) + -(𝐴 mod (2↑𝑁))))
1614negidd 10981 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) + -(𝐴 mod (2↑𝑁))) = 0)
1715, 16eqtrd 2861 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁))) = 0)
1817fveq2d 6673 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))) = (bits‘0))
19 0bits 15783 . . . . . 6 (bits‘0) = ∅
2018, 19syl6eq 2877 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))) = ∅)
2112, 20eqtrd 2861 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) = ∅)
2221oveq1d 7165 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = (∅ sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))))
23 bitsss 15770 . . . . 5 (bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) ⊆ ℕ0
24 bitsss 15770 . . . . 5 (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) ⊆ ℕ0
25 inss1 4209 . . . . . 6 ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)) ⊆ (bits‘𝐴)
26 bitsss 15770 . . . . . . 7 (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0
2726a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0)
2825, 27sstrid 3982 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)) ⊆ ℕ0)
29 sadass 15815 . . . . 5 (((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) ⊆ ℕ0 ∧ (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) ⊆ ℕ0 ∧ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)) ⊆ ℕ0) → (((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)))))
3023, 24, 28, 29mp3an12i 1458 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)))))
31 bitsmod 15780 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))
3231oveq1d 7165 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))))
33 inss1 4209 . . . . . . . . . 10 ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (bits‘𝐴)
3433, 27sstrid 3982 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
35 fzouzdisj 13068 . . . . . . . . . . . 12 ((0..^𝑁) ∩ (ℤ𝑁)) = ∅
3635ineq2i 4190 . . . . . . . . . . 11 ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^𝑁) ∩ (ℤ𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ ∅)
37 inindi 4207 . . . . . . . . . . 11 ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^𝑁) ∩ (ℤ𝑁))) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∩ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)))
38 in0 4349 . . . . . . . . . . 11 ((bits‘𝐴) ∩ ∅) = ∅
3936, 37, 383eqtr3i 2857 . . . . . . . . . 10 (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∩ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = ∅
4039a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∩ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = ∅)
4134, 28, 40saddisj 15809 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∪ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))))
42 indi 4254 . . . . . . . 8 ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^𝑁) ∪ (ℤ𝑁))) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∪ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)))
4341, 42syl6eqr 2879 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^𝑁) ∪ (ℤ𝑁))))
44 nn0uz 12274 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
454, 44syl6eleq 2928 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
46 fzouzsplit 13067 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (ℤ‘0) = ((0..^𝑁) ∪ (ℤ𝑁)))
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (ℤ‘0) = ((0..^𝑁) ∪ (ℤ𝑁)))
4844, 47syl5eq 2873 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ℕ0 = ((0..^𝑁) ∪ (ℤ𝑁)))
4926, 48sseqtrid 4023 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘𝐴) ⊆ ((0..^𝑁) ∪ (ℤ𝑁)))
50 df-ss 3956 . . . . . . . 8 ((bits‘𝐴) ⊆ ((0..^𝑁) ∪ (ℤ𝑁)) ↔ ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^𝑁) ∪ (ℤ𝑁))) = (bits‘𝐴))
5149, 50sylib 219 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^𝑁) ∪ (ℤ𝑁))) = (bits‘𝐴))
5243, 51eqtrd 2861 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = (bits‘𝐴))
5332, 52eqtrd 2861 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = (bits‘𝐴))
5453oveq2d 7166 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)))) = ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘𝐴)))
5530, 54eqtrd 2861 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘𝐴)))
56 sadid2 15813 . . . 4 (((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)) ⊆ ℕ0 → (∅ sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)))
5728, 56syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∅ sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)))
5822, 55, 573eqtr3d 2869 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘𝐴)) = ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)))
591zcnd 12082 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
6013, 59addcomd 10836 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴) = (𝐴 + -(𝐴 mod (2↑𝑁))))
6159, 14negsubd 10997 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 + -(𝐴 mod (2↑𝑁))) = (𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))))
6259, 14subcld 10991 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))) ∈ ℂ)
635nncnd 11648 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
645nnne0d 11681 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ≠ 0)
6562, 63, 64divcan1d 11411 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) · (2↑𝑁)) = (𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))))
661zred 12081 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
675nnrpd 12424 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
68 moddiffl 13245 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) = (⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))))
6966, 67, 68syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) = (⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))))
7069oveq1d 7165 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) · (2↑𝑁)) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)))
7161, 65, 703eqtr2d 2867 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 + -(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)))
7260, 71eqtrd 2861 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)))
7372fveq2d 6673 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴)) = (bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))))
7410, 58, 733eqtr3d 2869 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)) = (bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  cun 3938  cin 3939  wss 3940  c0 4295  cfv 6354  (class class class)co 7150  cr 10530  0cc0 10531   + caddc 10534   · cmul 10536  cmin 10864  -cneg 10865   / cdiv 11291  cn 11632  2c2 11686  0cn0 11891  cz 11975  cuz 12237  +crp 12384  ..^cfzo 13028  cfl 13155   mod cmo 13232  cexp 13424  bitscbits 15763   sadd csad 15764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-xor 1498  df-tru 1533  df-fal 1543  df-had 1587  df-cad 1601  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-disj 5029  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12385  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13425  df-hash 13686  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-dvds 15603  df-bits 15766  df-sad 15795
This theorem is referenced by:  bitsuz  15818
  Copyright terms: Public domain W3C validator