MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsres 16418
Description: Restrict the bits of a number to an upper integer set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsres ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)) = (bitsβ€˜((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁))))

Proof of Theorem bitsres
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
2 2nn 12289 . . . . . . . 8 2 ∈ β„•
32a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„•)
4 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
53, 4nnexpcld 14212 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•)
61, 5zmodcld 13861 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ β„•0)
76nn0zd 12588 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ β„€)
87znegcld 12672 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ -(𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ β„€)
9 sadadd 16412 . . 3 ((-(𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ ((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜π΄)) = (bitsβ€˜(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴)))
108, 1, 9syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜π΄)) = (bitsβ€˜(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴)))
11 sadadd 16412 . . . . . 6 ((-(𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ β„€ ∧ (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ β„€) β†’ ((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁)))) = (bitsβ€˜(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))))
128, 7, 11syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁)))) = (bitsβ€˜(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))))
138zcnd 12671 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ -(𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ β„‚)
147zcnd 12671 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ β„‚)
1513, 14addcomd 11420 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((𝐴 mod (2↑𝑁)) + -(𝐴 mod (2↑𝑁))))
1614negidd 11565 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 mod (2↑𝑁)) + -(𝐴 mod (2↑𝑁))) = 0)
1715, 16eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁))) = 0)
1817fveq2d 6895 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (bitsβ€˜(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))) = (bitsβ€˜0))
19 0bits 16384 . . . . . 6 (bitsβ€˜0) = βˆ…
2018, 19eqtrdi 2788 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (bitsβ€˜(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))) = βˆ…)
2112, 20eqtrd 2772 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁)))) = βˆ…)
2221oveq1d 7426 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁)))) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = (βˆ… sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))))
23 bitsss 16371 . . . . 5 (bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) βŠ† β„•0
24 bitsss 16371 . . . . 5 (bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁))) βŠ† β„•0
25 inss1 4228 . . . . . 6 ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)) βŠ† (bitsβ€˜π΄)
26 bitsss 16371 . . . . . . 7 (bitsβ€˜π΄) βŠ† β„•0
2726a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (bitsβ€˜π΄) βŠ† β„•0)
2825, 27sstrid 3993 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)) βŠ† β„•0)
29 sadass 16416 . . . . 5 (((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) βŠ† β„•0 ∧ (bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁))) βŠ† β„•0 ∧ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)) βŠ† β„•0) β†’ (((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁)))) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = ((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)))))
3023, 24, 28, 29mp3an12i 1465 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁)))) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = ((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)))))
31 bitsmod 16381 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)))
3231oveq1d 7426 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = (((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))))
33 inss1 4228 . . . . . . . . . 10 ((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (bitsβ€˜π΄)
3433, 27sstrid 3993 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
35 fzouzdisj 13672 . . . . . . . . . . . 12 ((0..^𝑁) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)) = βˆ…
3635ineq2i 4209 . . . . . . . . . . 11 ((bitsβ€˜π΄) ∩ ((0..^𝑁) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = ((bitsβ€˜π΄) ∩ βˆ…)
37 inindi 4226 . . . . . . . . . . 11 ((bitsβ€˜π΄) ∩ ((0..^𝑁) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = (((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) ∩ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
38 in0 4391 . . . . . . . . . . 11 ((bitsβ€˜π΄) ∩ βˆ…) = βˆ…
3936, 37, 383eqtr3i 2768 . . . . . . . . . 10 (((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) ∩ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = βˆ…
4039a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) ∩ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = βˆ…)
4134, 28, 40saddisj 16410 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = (((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) βˆͺ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))))
42 indi 4273 . . . . . . . 8 ((bitsβ€˜π΄) ∩ ((0..^𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = (((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) βˆͺ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
4341, 42eqtr4di 2790 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = ((bitsβ€˜π΄) ∩ ((0..^𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜π‘))))
44 nn0uz 12868 . . . . . . . . . 10 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
454, 44eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
46 fzouzsplit 13671 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (β„€β‰₯β€˜0) = ((0..^𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (β„€β‰₯β€˜0) = ((0..^𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
4844, 47eqtrid 2784 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ β„•0 = ((0..^𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
4926, 48sseqtrid 4034 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (bitsβ€˜π΄) βŠ† ((0..^𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
50 df-ss 3965 . . . . . . . 8 ((bitsβ€˜π΄) βŠ† ((0..^𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ↔ ((bitsβ€˜π΄) ∩ ((0..^𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = (bitsβ€˜π΄))
5149, 50sylib 217 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜π΄) ∩ ((0..^𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = (bitsβ€˜π΄))
5243, 51eqtrd 2772 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = (bitsβ€˜π΄))
5332, 52eqtrd 2772 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = (bitsβ€˜π΄))
5453oveq2d 7427 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)))) = ((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜π΄)))
5530, 54eqtrd 2772 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁)))) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = ((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜π΄)))
56 sadid2 16414 . . . 4 (((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)) βŠ† β„•0 β†’ (βˆ… sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
5728, 56syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (βˆ… sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
5822, 55, 573eqtr3d 2780 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜π΄)) = ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
591zcnd 12671 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6013, 59addcomd 11420 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴) = (𝐴 + -(𝐴 mod (2↑𝑁))))
6159, 14negsubd 11581 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 + -(𝐴 mod (2↑𝑁))) = (𝐴 βˆ’ (𝐴 mod (2↑𝑁))))
6259, 14subcld 11575 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 βˆ’ (𝐴 mod (2↑𝑁))) ∈ β„‚)
635nncnd 12232 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„‚)
645nnne0d 12266 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) β‰  0)
6562, 63, 64divcan1d 11995 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((𝐴 βˆ’ (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) Β· (2↑𝑁)) = (𝐴 βˆ’ (𝐴 mod (2↑𝑁))))
661zred 12670 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
675nnrpd 13018 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
68 moddiffl 13851 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) β†’ ((𝐴 βˆ’ (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) = (βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))))
6966, 67, 68syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 βˆ’ (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) = (βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))))
7069oveq1d 7426 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((𝐴 βˆ’ (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) Β· (2↑𝑁)) = ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)))
7161, 65, 703eqtr2d 2778 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 + -(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)))
7260, 71eqtrd 2772 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴) = ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)))
7372fveq2d 6895 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (bitsβ€˜(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴)) = (bitsβ€˜((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁))))
7410, 58, 733eqtr3d 2780 1 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)) = (bitsβ€˜((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β„+crp 12978  ..^cfzo 13631  βŒŠcfl 13759   mod cmo 13838  β†‘cexp 14031  bitscbits 16364   sadd csad 16365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-had 1595  df-cad 1608  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-dvds 16202  df-bits 16367  df-sad 16396
This theorem is referenced by:  bitsuz  16419
  Copyright terms: Public domain W3C validator