Theorem bitsres 15568

Description: Restrict the bits of a number to an upper integer set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsres	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))))

Proof of Theorem bitsres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		2nn 11424	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
4		simpr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	3, 4	nnexpcld 13326	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
6	1, 5	zmodcld 12986	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 11808	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
8	7	znegcld 11812	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
9		sadadd 15562	. . 3 ⊢ ((-(𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘𝐴)) = (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴)))
10	8, 1, 9	syl2anc 579	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘𝐴)) = (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴)))
11		sadadd 15562	. . . . . 6 ⊢ ((-(𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℤ) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) = (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))))
12	8, 7, 11	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) = (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))))
13	8	zcnd 11811	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
14	7	zcnd 11811	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
15	13, 14	addcomd 10557	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((𝐴 mod (2↑𝑁)) + -(𝐴 mod (2↑𝑁))))
16	14	negidd 10703	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) + -(𝐴 mod (2↑𝑁))) = 0)
17	15, 16	eqtrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁))) = 0)
18	17	fveq2d 6437	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))) = (bits‘0))
19		0bits 15534	. . . . . 6 ⊢ (bits‘0) = ∅
20	18, 19	syl6eq 2877	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))) = ∅)
21	12, 20	eqtrd 2861	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) = ∅)
22	21	oveq1d 6920	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁))) = (∅ sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁))))
23		bitsss 15521	. . . . 5 ⊢ (bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) ⊆ ℕ0
24		bitsss 15521	. . . . 5 ⊢ (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) ⊆ ℕ0
25		inss1 4057	. . . . . 6 ⊢ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) ⊆ (bits‘𝐴)
26		bitsss 15521	. . . . . . 7 ⊢ (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0)
28	25, 27	syl5ss 3838	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) ⊆ ℕ0)
29		sadass 15566	. . . . 5 ⊢ (((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) ⊆ ℕ0 ∧ (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) ⊆ ℕ0 ∧ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) ⊆ ℕ0) → (((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁))) = ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)))))
30	23, 24, 28, 29	mp3an12i 1593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁))) = ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)))))
31		bitsmod 15531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))
32	31	oveq1d 6920	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁))) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁))))
33		inss1 4057	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (bits‘𝐴)
34	33, 27	syl5ss 3838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
35		fzouzdisj 12799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0..^𝑁) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = ∅
36	35	ineq2i 4038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^𝑁) ∩ (ℤ≥‘𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ ∅)
37		inindi 4055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^𝑁) ∩ (ℤ≥‘𝑁))) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∩ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)))
38		in0 4193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((bits‘𝐴) ∩ ∅) = ∅
39	36, 37, 38	3eqtr3i 2857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∩ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁))) = ∅
40	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∩ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁))) = ∅)
41	34, 28, 40	saddisj 15560	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁))) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∪ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁))))
42		indi 4103	. . . . . . . 8 ⊢ ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^𝑁) ∪ (ℤ≥‘𝑁))) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∪ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)))
43	41, 42	syl6eqr 2879	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^𝑁) ∪ (ℤ≥‘𝑁))))
44		nn0uz 12004	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
45	4, 44	syl6eleq 2916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
46		fzouzsplit 12798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (ℤ≥‘0) = ((0..^𝑁) ∪ (ℤ≥‘𝑁)))
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (ℤ≥‘0) = ((0..^𝑁) ∪ (ℤ≥‘𝑁)))
48	44, 47	syl5eq 2873	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ℕ0 = ((0..^𝑁) ∪ (ℤ≥‘𝑁)))
49	26, 48	syl5sseq 3878	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘𝐴) ⊆ ((0..^𝑁) ∪ (ℤ≥‘𝑁)))
50		df-ss 3812	. . . . . . . 8 ⊢ ((bits‘𝐴) ⊆ ((0..^𝑁) ∪ (ℤ≥‘𝑁)) ↔ ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^𝑁) ∪ (ℤ≥‘𝑁))) = (bits‘𝐴))
51	49, 50	sylib 210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^𝑁) ∪ (ℤ≥‘𝑁))) = (bits‘𝐴))
52	43, 51	eqtrd 2861	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁))) = (bits‘𝐴))
53	32, 52	eqtrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁))) = (bits‘𝐴))
54	53	oveq2d 6921	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)))) = ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘𝐴)))
55	30, 54	eqtrd 2861	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁))) = ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘𝐴)))
56		sadid2 15564	. . . 4 ⊢ (((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) ⊆ ℕ0 → (∅ sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)))
57	28, 56	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∅ sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)))
58	22, 55, 57	3eqtr3d 2869	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘𝐴)) = ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)))
59	1	zcnd 11811	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
60	13, 59	addcomd 10557	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴) = (𝐴 + -(𝐴 mod (2↑𝑁))))
61	59, 14	negsubd 10719	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 + -(𝐴 mod (2↑𝑁))) = (𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))))
62	59, 14	subcld 10713	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))) ∈ ℂ)
63	5	nncnd 11368	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
64	5	nnne0d 11401	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ≠ 0)
65	62, 63, 64	divcan1d 11128	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) · (2↑𝑁)) = (𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))))
66	1	zred 11810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
67	5	nnrpd 12154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
68		moddiffl 12976	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) = (⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))))
69	66, 67, 68	syl2anc 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) = (⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))))
70	69	oveq1d 6920	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) · (2↑𝑁)) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)))
71	61, 65, 70	3eqtr2d 2867	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 + -(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)))
72	60, 71	eqtrd 2861	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)))
73	72	fveq2d 6437	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴)) = (bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))))
74	10, 58, 73	3eqtr3d 2869	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ∪ cun 3796   ∩ cin 3797   ⊆ wss 3798  ∅c0 4144  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  ℝcr 10251  0cc0 10252   + caddc 10255   · cmul 10257   − cmin 10585  -cneg 10586   / cdiv 11009  ℕcn 11350  2c2 11406  ℕ₀cn0 11618  ℤcz 11704  ℤ_≥cuz 11968  ℝ⁺crp 12112  ..^cfzo 12760  ⌊cfl 12886   mod cmo 12963  ↑cexp 13154  bitscbits 15514   sadd csad 15515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-xor 1638  df-tru 1660  df-fal 1670  df-had 1707  df-cad 1720  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-disj 4842  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-xnn0 11691  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-mod 12964  df-seq 13096  df-exp 13155  df-hash 13411  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-clim 14596  df-sum 14794  df-dvds 15358  df-bits 15517  df-sad 15546

This theorem is referenced by:  bitsuz  15569