Theorem bitsres 16537

Description: Restrict the bits of a number to an upper integer set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsres	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))))

Proof of Theorem bitsres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		2nn 12320	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
4		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	3, 4	nnexpcld 14288	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
6	1, 5	zmodcld 13932	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 12622	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
8	7	znegcld 12708	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
9		sadadd 16531	. . 3 ⊢ ((-(𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘𝐴)) = (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴)))
10	8, 1, 9	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘𝐴)) = (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴)))
11		sadadd 16531	. . . . . 6 ⊢ ((-(𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℤ) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) = (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))))
12	8, 7, 11	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) = (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))))
13	8	zcnd 12707	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
14	7	zcnd 12707	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
15	13, 14	addcomd 11418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((𝐴 mod (2↑𝑁)) + -(𝐴 mod (2↑𝑁))))
16	14	negidd 11565	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) + -(𝐴 mod (2↑𝑁))) = 0)
17	15, 16	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁))) = 0)
18	17	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))) = (bits‘0))
19		0bits 16503	. . . . . 6 ⊢ (bits‘0) = ∅
20	18, 19	eqtrdi 2813	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))) = ∅)
21	12, 20	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) = ∅)
22	21	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁))) = (∅ sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁))))
23		bitsss 16490	. . . . 5 ⊢ (bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) ⊆ ℕ0
24		bitsss 16490	. . . . 5 ⊢ (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) ⊆ ℕ0
25		inss1 4188	. . . . . 6 ⊢ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) ⊆ (bits‘𝐴)
26		bitsss 16490	. . . . . . 7 ⊢ (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0)
28	25, 27	sstrid 3947	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) ⊆ ℕ0)
29		sadass 16535	. . . . 5 ⊢ (((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) ⊆ ℕ0 ∧ (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) ⊆ ℕ0 ∧ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) ⊆ ℕ0) → (((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁))) = ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)))))
30	23, 24, 28, 29	mp3an12i 1493	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁))) = ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)))))
31		bitsmod 16500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))
32	31	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁))) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁))))
33		inss1 4188	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (bits‘𝐴)
34	33, 27	sstrid 3947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
35		fzouzdisj 13731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0..^𝑁) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = ∅
36	35	ineq2i 4169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^𝑁) ∩ (ℤ≥‘𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ ∅)
37		inindi 4186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^𝑁) ∩ (ℤ≥‘𝑁))) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∩ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)))
38		in0 4351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((bits‘𝐴) ∩ ∅) = ∅
39	36, 37, 38	3eqtr3i 2793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∩ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁))) = ∅
40	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∩ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁))) = ∅)
41	34, 28, 40	saddisj 16529	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁))) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∪ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁))))
42		indi 4236	. . . . . . . 8 ⊢ ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^𝑁) ∪ (ℤ≥‘𝑁))) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∪ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)))
43	41, 42	eqtr4di 2815	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^𝑁) ∪ (ℤ≥‘𝑁))))
44		nn0uz 12906	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
45	4, 44	eleqtrdi 2872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
46		fzouzsplit 13730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (ℤ≥‘0) = ((0..^𝑁) ∪ (ℤ≥‘𝑁)))
47	45, 46	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (ℤ≥‘0) = ((0..^𝑁) ∪ (ℤ≥‘𝑁)))
48	44, 47	eqtrid 2809	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ℕ0 = ((0..^𝑁) ∪ (ℤ≥‘𝑁)))
49	26, 48	sseqtrid 3978	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘𝐴) ⊆ ((0..^𝑁) ∪ (ℤ≥‘𝑁)))
50		dfss2 3922	. . . . . . . 8 ⊢ ((bits‘𝐴) ⊆ ((0..^𝑁) ∪ (ℤ≥‘𝑁)) ↔ ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^𝑁) ∪ (ℤ≥‘𝑁))) = (bits‘𝐴))
51	49, 50	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^𝑁) ∪ (ℤ≥‘𝑁))) = (bits‘𝐴))
52	43, 51	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁))) = (bits‘𝐴))
53	32, 52	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁))) = (bits‘𝐴))
54	53	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)))) = ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘𝐴)))
55	30, 54	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁))) = ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘𝐴)))
56		sadid2 16533	. . . 4 ⊢ (((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) ⊆ ℕ0 → (∅ sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)))
57	28, 56	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∅ sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)))
58	22, 55, 57	3eqtr3d 2805	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘𝐴)) = ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)))
59	1	zcnd 12707	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
60	13, 59	addcomd 11418	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴) = (𝐴 + -(𝐴 mod (2↑𝑁))))
61	59, 14	negsubd 11581	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 + -(𝐴 mod (2↑𝑁))) = (𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))))
62	59, 14	subcld 11575	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))) ∈ ℂ)
63	5	nncnd 12255	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
64	5	nnne0d 12292	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ≠ 0)
65	62, 63, 64	divcan1d 11998	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) · (2↑𝑁)) = (𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))))
66	1	zred 12706	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
67	5	nnrpd 13064	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
68		moddiffl 13922	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) = (⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))))
69	66, 67, 68	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) = (⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))))
70	69	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) · (2↑𝑁)) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)))
71	61, 65, 70	3eqtr2d 2803	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 + -(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)))
72	60, 71	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)))
73	72	fveq2d 6885	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴)) = (bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))))
74	10, 58, 73	3eqtr3d 2805	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ∪ cun 3902   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  0cc0 11106   + caddc 11109   · cmul 11111   − cmin 11447  -cneg 11448   / cdiv 11877  ℕcn 12239  2c2 12301  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12597  ℤ_≥cuz 12868  ℝ⁺crp 13022  ..^cfzo 13689  ⌊cfl 13830   mod cmo 13909  ↑cexp 14104  bitscbits 16483   sadd csad 16484

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-xor 1541  df-tru 1572  df-fal 1582  df-had 1623  df-cad 1636  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-disj 5076  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-oadd 8455  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9894  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14045  df-exp 14105  df-hash 14374  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-clim 15546  df-sum 15745  df-dvds 16317  df-bits 16486  df-sad 16515

This theorem is used by:  bitsuz  16538