MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsres 16414
Description: Restrict the bits of a number to an upper integer set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsres ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)) = (bitsβ€˜((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁))))

Proof of Theorem bitsres
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
2 2nn 12285 . . . . . . . 8 2 ∈ β„•
32a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„•)
4 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
53, 4nnexpcld 14208 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•)
61, 5zmodcld 13857 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ β„•0)
76nn0zd 12584 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ β„€)
87znegcld 12668 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ -(𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ β„€)
9 sadadd 16408 . . 3 ((-(𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ ((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜π΄)) = (bitsβ€˜(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴)))
108, 1, 9syl2anc 585 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜π΄)) = (bitsβ€˜(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴)))
11 sadadd 16408 . . . . . 6 ((-(𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ β„€ ∧ (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ β„€) β†’ ((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁)))) = (bitsβ€˜(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))))
128, 7, 11syl2anc 585 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁)))) = (bitsβ€˜(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))))
138zcnd 12667 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ -(𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ β„‚)
147zcnd 12667 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ β„‚)
1513, 14addcomd 11416 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((𝐴 mod (2↑𝑁)) + -(𝐴 mod (2↑𝑁))))
1614negidd 11561 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 mod (2↑𝑁)) + -(𝐴 mod (2↑𝑁))) = 0)
1715, 16eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁))) = 0)
1817fveq2d 6896 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (bitsβ€˜(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))) = (bitsβ€˜0))
19 0bits 16380 . . . . . 6 (bitsβ€˜0) = βˆ…
2018, 19eqtrdi 2789 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (bitsβ€˜(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))) = βˆ…)
2112, 20eqtrd 2773 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁)))) = βˆ…)
2221oveq1d 7424 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁)))) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = (βˆ… sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))))
23 bitsss 16367 . . . . 5 (bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) βŠ† β„•0
24 bitsss 16367 . . . . 5 (bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁))) βŠ† β„•0
25 inss1 4229 . . . . . 6 ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)) βŠ† (bitsβ€˜π΄)
26 bitsss 16367 . . . . . . 7 (bitsβ€˜π΄) βŠ† β„•0
2726a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (bitsβ€˜π΄) βŠ† β„•0)
2825, 27sstrid 3994 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)) βŠ† β„•0)
29 sadass 16412 . . . . 5 (((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) βŠ† β„•0 ∧ (bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁))) βŠ† β„•0 ∧ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)) βŠ† β„•0) β†’ (((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁)))) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = ((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)))))
3023, 24, 28, 29mp3an12i 1466 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁)))) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = ((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)))))
31 bitsmod 16377 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)))
3231oveq1d 7424 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = (((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))))
33 inss1 4229 . . . . . . . . . 10 ((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (bitsβ€˜π΄)
3433, 27sstrid 3994 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
35 fzouzdisj 13668 . . . . . . . . . . . 12 ((0..^𝑁) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)) = βˆ…
3635ineq2i 4210 . . . . . . . . . . 11 ((bitsβ€˜π΄) ∩ ((0..^𝑁) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = ((bitsβ€˜π΄) ∩ βˆ…)
37 inindi 4227 . . . . . . . . . . 11 ((bitsβ€˜π΄) ∩ ((0..^𝑁) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = (((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) ∩ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
38 in0 4392 . . . . . . . . . . 11 ((bitsβ€˜π΄) ∩ βˆ…) = βˆ…
3936, 37, 383eqtr3i 2769 . . . . . . . . . 10 (((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) ∩ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = βˆ…
4039a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) ∩ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = βˆ…)
4134, 28, 40saddisj 16406 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = (((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) βˆͺ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))))
42 indi 4274 . . . . . . . 8 ((bitsβ€˜π΄) ∩ ((0..^𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = (((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) βˆͺ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
4341, 42eqtr4di 2791 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = ((bitsβ€˜π΄) ∩ ((0..^𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜π‘))))
44 nn0uz 12864 . . . . . . . . . 10 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
454, 44eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
46 fzouzsplit 13667 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (β„€β‰₯β€˜0) = ((0..^𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (β„€β‰₯β€˜0) = ((0..^𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
4844, 47eqtrid 2785 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ β„•0 = ((0..^𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
4926, 48sseqtrid 4035 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (bitsβ€˜π΄) βŠ† ((0..^𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
50 df-ss 3966 . . . . . . . 8 ((bitsβ€˜π΄) βŠ† ((0..^𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ↔ ((bitsβ€˜π΄) ∩ ((0..^𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = (bitsβ€˜π΄))
5149, 50sylib 217 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜π΄) ∩ ((0..^𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = (bitsβ€˜π΄))
5243, 51eqtrd 2773 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = (bitsβ€˜π΄))
5332, 52eqtrd 2773 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = (bitsβ€˜π΄))
5453oveq2d 7425 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)))) = ((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜π΄)))
5530, 54eqtrd 2773 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁)))) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = ((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜π΄)))
56 sadid2 16410 . . . 4 (((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)) βŠ† β„•0 β†’ (βˆ… sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
5728, 56syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (βˆ… sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
5822, 55, 573eqtr3d 2781 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜π΄)) = ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
591zcnd 12667 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6013, 59addcomd 11416 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴) = (𝐴 + -(𝐴 mod (2↑𝑁))))
6159, 14negsubd 11577 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 + -(𝐴 mod (2↑𝑁))) = (𝐴 βˆ’ (𝐴 mod (2↑𝑁))))
6259, 14subcld 11571 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 βˆ’ (𝐴 mod (2↑𝑁))) ∈ β„‚)
635nncnd 12228 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„‚)
645nnne0d 12262 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) β‰  0)
6562, 63, 64divcan1d 11991 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((𝐴 βˆ’ (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) Β· (2↑𝑁)) = (𝐴 βˆ’ (𝐴 mod (2↑𝑁))))
661zred 12666 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
675nnrpd 13014 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
68 moddiffl 13847 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) β†’ ((𝐴 βˆ’ (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) = (βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))))
6966, 67, 68syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 βˆ’ (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) = (βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))))
7069oveq1d 7424 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((𝐴 βˆ’ (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) Β· (2↑𝑁)) = ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)))
7161, 65, 703eqtr2d 2779 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 + -(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)))
7260, 71eqtrd 2773 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴) = ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)))
7372fveq2d 6896 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (bitsβ€˜(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴)) = (bitsβ€˜((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁))))
7410, 58, 733eqtr3d 2781 1 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)) = (bitsβ€˜((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110   + caddc 11113   Β· cmul 11115   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  ..^cfzo 13627  βŒŠcfl 13755   mod cmo 13834  β†‘cexp 14027  bitscbits 16360   sadd csad 16361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-had 1596  df-cad 1609  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-dvds 16198  df-bits 16363  df-sad 16392
This theorem is referenced by:  bitsuz  16415
  Copyright terms: Public domain W3C validator