MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsres 15568
Description: Restrict the bits of a number to an upper integer set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsres ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)) = (bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))))

Proof of Theorem bitsres
StepHypRef Expression
1 simpl 476 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 2nn 11424 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
32a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
4 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
53, 4nnexpcld 13326 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
61, 5zmodcld 12986 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
76nn0zd 11808 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
87znegcld 11812 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
9 sadadd 15562 . . 3 ((-(𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘𝐴)) = (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴)))
108, 1, 9syl2anc 579 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘𝐴)) = (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴)))
11 sadadd 15562 . . . . . 6 ((-(𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℤ) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) = (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))))
128, 7, 11syl2anc 579 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) = (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))))
138zcnd 11811 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
147zcnd 11811 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
1513, 14addcomd 10557 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((𝐴 mod (2↑𝑁)) + -(𝐴 mod (2↑𝑁))))
1614negidd 10703 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) + -(𝐴 mod (2↑𝑁))) = 0)
1715, 16eqtrd 2861 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁))) = 0)
1817fveq2d 6437 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))) = (bits‘0))
19 0bits 15534 . . . . . 6 (bits‘0) = ∅
2018, 19syl6eq 2877 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))) = ∅)
2112, 20eqtrd 2861 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) = ∅)
2221oveq1d 6920 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = (∅ sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))))
23 bitsss 15521 . . . . 5 (bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) ⊆ ℕ0
24 bitsss 15521 . . . . 5 (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) ⊆ ℕ0
25 inss1 4057 . . . . . 6 ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)) ⊆ (bits‘𝐴)
26 bitsss 15521 . . . . . . 7 (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0
2726a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0)
2825, 27syl5ss 3838 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)) ⊆ ℕ0)
29 sadass 15566 . . . . 5 (((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) ⊆ ℕ0 ∧ (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) ⊆ ℕ0 ∧ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)) ⊆ ℕ0) → (((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)))))
3023, 24, 28, 29mp3an12i 1593 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)))))
31 bitsmod 15531 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))
3231oveq1d 6920 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))))
33 inss1 4057 . . . . . . . . . 10 ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (bits‘𝐴)
3433, 27syl5ss 3838 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
35 fzouzdisj 12799 . . . . . . . . . . . 12 ((0..^𝑁) ∩ (ℤ𝑁)) = ∅
3635ineq2i 4038 . . . . . . . . . . 11 ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^𝑁) ∩ (ℤ𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ ∅)
37 inindi 4055 . . . . . . . . . . 11 ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^𝑁) ∩ (ℤ𝑁))) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∩ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)))
38 in0 4193 . . . . . . . . . . 11 ((bits‘𝐴) ∩ ∅) = ∅
3936, 37, 383eqtr3i 2857 . . . . . . . . . 10 (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∩ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = ∅
4039a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∩ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = ∅)
4134, 28, 40saddisj 15560 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∪ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))))
42 indi 4103 . . . . . . . 8 ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^𝑁) ∪ (ℤ𝑁))) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∪ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)))
4341, 42syl6eqr 2879 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^𝑁) ∪ (ℤ𝑁))))
44 nn0uz 12004 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
454, 44syl6eleq 2916 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
46 fzouzsplit 12798 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (ℤ‘0) = ((0..^𝑁) ∪ (ℤ𝑁)))
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (ℤ‘0) = ((0..^𝑁) ∪ (ℤ𝑁)))
4844, 47syl5eq 2873 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ℕ0 = ((0..^𝑁) ∪ (ℤ𝑁)))
4926, 48syl5sseq 3878 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘𝐴) ⊆ ((0..^𝑁) ∪ (ℤ𝑁)))
50 df-ss 3812 . . . . . . . 8 ((bits‘𝐴) ⊆ ((0..^𝑁) ∪ (ℤ𝑁)) ↔ ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^𝑁) ∪ (ℤ𝑁))) = (bits‘𝐴))
5149, 50sylib 210 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^𝑁) ∪ (ℤ𝑁))) = (bits‘𝐴))
5243, 51eqtrd 2861 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = (bits‘𝐴))
5332, 52eqtrd 2861 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = (bits‘𝐴))
5453oveq2d 6921 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)))) = ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘𝐴)))
5530, 54eqtrd 2861 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘𝐴)))
56 sadid2 15564 . . . 4 (((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)) ⊆ ℕ0 → (∅ sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)))
5728, 56syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∅ sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)))
5822, 55, 573eqtr3d 2869 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘𝐴)) = ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)))
591zcnd 11811 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
6013, 59addcomd 10557 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴) = (𝐴 + -(𝐴 mod (2↑𝑁))))
6159, 14negsubd 10719 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 + -(𝐴 mod (2↑𝑁))) = (𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))))
6259, 14subcld 10713 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))) ∈ ℂ)
635nncnd 11368 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
645nnne0d 11401 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ≠ 0)
6562, 63, 64divcan1d 11128 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) · (2↑𝑁)) = (𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))))
661zred 11810 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
675nnrpd 12154 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
68 moddiffl 12976 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) = (⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))))
6966, 67, 68syl2anc 579 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) = (⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))))
7069oveq1d 6920 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) · (2↑𝑁)) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)))
7161, 65, 703eqtr2d 2867 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 + -(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)))
7260, 71eqtrd 2861 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)))
7372fveq2d 6437 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴)) = (bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))))
7410, 58, 733eqtr3d 2869 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)) = (bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  cun 3796  cin 3797  wss 3798  c0 4144  cfv 6123  (class class class)co 6905  cr 10251  0cc0 10252   + caddc 10255   · cmul 10257  cmin 10585  -cneg 10586   / cdiv 11009  cn 11350  2c2 11406  0cn0 11618  cz 11704  cuz 11968  +crp 12112  ..^cfzo 12760  cfl 12886   mod cmo 12963  cexp 13154  bitscbits 15514   sadd csad 15515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-xor 1638  df-tru 1660  df-fal 1670  df-had 1707  df-cad 1720  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-disj 4842  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-xnn0 11691  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-mod 12964  df-seq 13096  df-exp 13155  df-hash 13411  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-clim 14596  df-sum 14794  df-dvds 15358  df-bits 15517  df-sad 15546
This theorem is referenced by:  bitsuz  15569
  Copyright terms: Public domain W3C validator