MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsres 16358
Description: Restrict the bits of a number to an upper integer set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsres ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)) = (bitsβ€˜((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁))))

Proof of Theorem bitsres
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
2 2nn 12231 . . . . . . . 8 2 ∈ β„•
32a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„•)
4 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
53, 4nnexpcld 14154 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•)
61, 5zmodcld 13803 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ β„•0)
76nn0zd 12530 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ β„€)
87znegcld 12614 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ -(𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ β„€)
9 sadadd 16352 . . 3 ((-(𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ ((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜π΄)) = (bitsβ€˜(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴)))
108, 1, 9syl2anc 585 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜π΄)) = (bitsβ€˜(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴)))
11 sadadd 16352 . . . . . 6 ((-(𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ β„€ ∧ (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ β„€) β†’ ((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁)))) = (bitsβ€˜(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))))
128, 7, 11syl2anc 585 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁)))) = (bitsβ€˜(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))))
138zcnd 12613 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ -(𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ β„‚)
147zcnd 12613 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ β„‚)
1513, 14addcomd 11362 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((𝐴 mod (2↑𝑁)) + -(𝐴 mod (2↑𝑁))))
1614negidd 11507 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 mod (2↑𝑁)) + -(𝐴 mod (2↑𝑁))) = 0)
1715, 16eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁))) = 0)
1817fveq2d 6847 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (bitsβ€˜(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))) = (bitsβ€˜0))
19 0bits 16324 . . . . . 6 (bitsβ€˜0) = βˆ…
2018, 19eqtrdi 2789 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (bitsβ€˜(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))) = βˆ…)
2112, 20eqtrd 2773 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁)))) = βˆ…)
2221oveq1d 7373 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁)))) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = (βˆ… sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))))
23 bitsss 16311 . . . . 5 (bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) βŠ† β„•0
24 bitsss 16311 . . . . 5 (bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁))) βŠ† β„•0
25 inss1 4189 . . . . . 6 ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)) βŠ† (bitsβ€˜π΄)
26 bitsss 16311 . . . . . . 7 (bitsβ€˜π΄) βŠ† β„•0
2726a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (bitsβ€˜π΄) βŠ† β„•0)
2825, 27sstrid 3956 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)) βŠ† β„•0)
29 sadass 16356 . . . . 5 (((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) βŠ† β„•0 ∧ (bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁))) βŠ† β„•0 ∧ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)) βŠ† β„•0) β†’ (((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁)))) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = ((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)))))
3023, 24, 28, 29mp3an12i 1466 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁)))) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = ((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)))))
31 bitsmod 16321 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)))
3231oveq1d 7373 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = (((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))))
33 inss1 4189 . . . . . . . . . 10 ((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (bitsβ€˜π΄)
3433, 27sstrid 3956 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
35 fzouzdisj 13614 . . . . . . . . . . . 12 ((0..^𝑁) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)) = βˆ…
3635ineq2i 4170 . . . . . . . . . . 11 ((bitsβ€˜π΄) ∩ ((0..^𝑁) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = ((bitsβ€˜π΄) ∩ βˆ…)
37 inindi 4187 . . . . . . . . . . 11 ((bitsβ€˜π΄) ∩ ((0..^𝑁) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = (((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) ∩ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
38 in0 4352 . . . . . . . . . . 11 ((bitsβ€˜π΄) ∩ βˆ…) = βˆ…
3936, 37, 383eqtr3i 2769 . . . . . . . . . 10 (((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) ∩ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = βˆ…
4039a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) ∩ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = βˆ…)
4134, 28, 40saddisj 16350 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = (((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) βˆͺ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))))
42 indi 4234 . . . . . . . 8 ((bitsβ€˜π΄) ∩ ((0..^𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = (((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) βˆͺ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
4341, 42eqtr4di 2791 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = ((bitsβ€˜π΄) ∩ ((0..^𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜π‘))))
44 nn0uz 12810 . . . . . . . . . 10 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
454, 44eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
46 fzouzsplit 13613 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (β„€β‰₯β€˜0) = ((0..^𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (β„€β‰₯β€˜0) = ((0..^𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
4844, 47eqtrid 2785 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ β„•0 = ((0..^𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
4926, 48sseqtrid 3997 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (bitsβ€˜π΄) βŠ† ((0..^𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
50 df-ss 3928 . . . . . . . 8 ((bitsβ€˜π΄) βŠ† ((0..^𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ↔ ((bitsβ€˜π΄) ∩ ((0..^𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = (bitsβ€˜π΄))
5149, 50sylib 217 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜π΄) ∩ ((0..^𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = (bitsβ€˜π΄))
5243, 51eqtrd 2773 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = (bitsβ€˜π΄))
5332, 52eqtrd 2773 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = (bitsβ€˜π΄))
5453oveq2d 7374 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)))) = ((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜π΄)))
5530, 54eqtrd 2773 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁)))) sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = ((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜π΄)))
56 sadid2 16354 . . . 4 (((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)) βŠ† β„•0 β†’ (βˆ… sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
5728, 56syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (βˆ… sadd ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘))) = ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
5822, 55, 573eqtr3d 2781 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bitsβ€˜π΄)) = ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
591zcnd 12613 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6013, 59addcomd 11362 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴) = (𝐴 + -(𝐴 mod (2↑𝑁))))
6159, 14negsubd 11523 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 + -(𝐴 mod (2↑𝑁))) = (𝐴 βˆ’ (𝐴 mod (2↑𝑁))))
6259, 14subcld 11517 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 βˆ’ (𝐴 mod (2↑𝑁))) ∈ β„‚)
635nncnd 12174 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„‚)
645nnne0d 12208 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) β‰  0)
6562, 63, 64divcan1d 11937 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((𝐴 βˆ’ (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) Β· (2↑𝑁)) = (𝐴 βˆ’ (𝐴 mod (2↑𝑁))))
661zred 12612 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
675nnrpd 12960 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
68 moddiffl 13793 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) β†’ ((𝐴 βˆ’ (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) = (βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))))
6966, 67, 68syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 βˆ’ (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) = (βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))))
7069oveq1d 7373 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((𝐴 βˆ’ (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) Β· (2↑𝑁)) = ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)))
7161, 65, 703eqtr2d 2779 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 + -(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)))
7260, 71eqtrd 2773 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴) = ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)))
7372fveq2d 6847 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (bitsβ€˜(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴)) = (bitsβ€˜((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁))))
7410, 58, 733eqtr3d 2781 1 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)) = (bitsβ€˜((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆͺ cun 3909   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11055  0cc0 11056   + caddc 11059   Β· cmul 11061   βˆ’ cmin 11390  -cneg 11391   / cdiv 11817  β„•cn 12158  2c2 12213  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  β„+crp 12920  ..^cfzo 13573  βŒŠcfl 13701   mod cmo 13780  β†‘cexp 13973  bitscbits 16304   sadd csad 16305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-had 1596  df-cad 1609  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-dvds 16142  df-bits 16307  df-sad 16336
This theorem is referenced by:  bitsuz  16359
  Copyright terms: Public domain W3C validator