Theorem bitsshft 16539

Description: Shifting a bit sequence to the left (toward the more significant bits) causes the number to be multiplied by a power of two. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsshft	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑛 − 𝑁) ∈ (bits‘𝐴)} = (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁

Proof of Theorem bitsshft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		2nn 12320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
4		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	3, 4	nnexpcld 14288	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
6	5	nnzd 12623	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
7		dvdsmul2 16342	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ) → (2↑𝑁) ∥ (𝐴 · (2↑𝑁)))
8	1, 6, 7	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∥ (𝐴 · (2↑𝑁)))
9	1, 6	zmulcld 12712	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴 · (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
10		bitsuz 16538	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 · (2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑁) ∥ (𝐴 · (2↑𝑁)) ↔ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ⊆ (ℤ≥‘𝑁)))
11	9, 4, 10	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑁) ∥ (𝐴 · (2↑𝑁)) ↔ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ⊆ (ℤ≥‘𝑁)))
12	8, 11	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
13	12	sseld 3935	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
14		uznn0sub 12903	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)
15	13, 14	syl6 36	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0))
16		bitsss 16490	. . . . . 6 ⊢ (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0)
18	17	sseld 3935	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 − 𝑁) ∈ (bits‘𝐴) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0))
19		2cnd 12325	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → 2 ∈ ℂ)
20	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → 2 ∈ ℕ)
21	20	nnne0d 12292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → 2 ≠ 0)
22		simplr 780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23	22	nn0zd 12622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
24		simprl 782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
25	24	nn0zd 12622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → 𝑛 ∈ ℤ)
26	19, 21, 23, 25	expsubd 14200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑(𝑛 − 𝑁)) = ((2↑𝑛) / (2↑𝑁)))
27	26	oveq2d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (𝐴 / (2↑(𝑛 − 𝑁))) = (𝐴 / ((2↑𝑛) / (2↑𝑁))))
28		simpl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
29	28	zcnd 12707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
30	29	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
31	20, 24	nnexpcld 14288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
32	31	nncnd 12255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑𝑛) ∈ ℂ)
33	20, 22	nnexpcld 14288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
34	33	nncnd 12255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
35	31	nnne0d 12292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑𝑛) ≠ 0)
36	33	nnne0d 12292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑𝑁) ≠ 0)
37	30, 32, 34, 35, 36	divdiv2d 12029	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (𝐴 / ((2↑𝑛) / (2↑𝑁))) = ((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛)))
38	27, 37	eqtr2d 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → ((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛)) = (𝐴 / (2↑(𝑛 − 𝑁))))
39	38	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (⌊‘((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛))) = (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑛 − 𝑁)))))
40	39	breq2d 5120	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (2 ∥ (⌊‘((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛))) ↔ 2 ∥ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑛 − 𝑁))))))
41	40	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (¬ 2 ∥ (⌊‘((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑛 − 𝑁))))))
42	9	adantrr 729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (𝐴 · (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
43		bitsval2 16489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · (2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛)))))
44	42, 24, 43	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛)))))
45		bitsval2 16489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑛 − 𝑁) ∈ (bits‘𝐴) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑛 − 𝑁))))))
46	45	ad2ant2rl 761	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → ((𝑛 − 𝑁) ∈ (bits‘𝐴) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑛 − 𝑁))))))
47	41, 44, 46	3bitr4d 314	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ↔ (𝑛 − 𝑁) ∈ (bits‘𝐴)))
48	47	expr 461	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ↔ (𝑛 − 𝑁) ∈ (bits‘𝐴))))
49	15, 18, 48	pm5.21ndd 382	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ↔ (𝑛 − 𝑁) ∈ (bits‘𝐴)))
50	49	rabbi2dva 4177	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (ℕ0 ∩ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁)))) = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑛 − 𝑁) ∈ (bits‘𝐴)})
51		bitsss 16490	. . 3 ⊢ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ⊆ ℕ0
52		sseqin2 4175	. . 3 ⊢ ((bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ⊆ ℕ0 ↔ (ℕ0 ∩ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁)))) = (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))))
53	51, 52	mpbi 233	. 2 ⊢ (ℕ0 ∩ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁)))) = (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁)))
54	50, 53	eqtr3di 2812	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑛 − 𝑁) ∈ (bits‘𝐴)} = (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  {crab 3415   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℂcc 11104   · cmul 11111   − cmin 11447   / cdiv 11877  ℕcn 12239  2c2 12301  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12597  ℤ_≥cuz 12868  ⌊cfl 13830  ↑cexp 14104   ∥ cdvds 16316  bitscbits 16483

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-xor 1541  df-tru 1572  df-fal 1582  df-had 1623  df-cad 1636  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-disj 5076  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-oadd 8455  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9894  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14045  df-exp 14105  df-hash 14374  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-clim 15546  df-sum 15745  df-dvds 16317  df-bits 16486  df-sad 16515

This theorem is used by:  smumullem  16556