MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsshft Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem bitsshft 16423
Description: Shifting a bit sequence to the left (toward the more significant bits) causes the number to be multiplied by a power of two. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsshft ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ (bitsβ€˜π΄)} = (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁
Proof of Theorem bitsshft
StepHypRef Expression
1 simpll 764 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
2 2nn 12289 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„•
32a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„•)
4 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
53, 4nnexpcld 14213 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•)
65nnzd 12589 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„€)
7 dvdsmul2 16229 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (2↑𝑁) ∈ β„€) β†’ (2↑𝑁) βˆ₯ (𝐴 Β· (2↑𝑁)))
81, 6, 7syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) βˆ₯ (𝐴 Β· (2↑𝑁)))
91, 6zmulcld 12676 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Β· (2↑𝑁)) ∈ β„€)
10 bitsuz 16422 . . . . . . . 8 (((𝐴 Β· (2↑𝑁)) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((2↑𝑁) βˆ₯ (𝐴 Β· (2↑𝑁)) ↔ (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁))) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)))
119, 4, 10syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((2↑𝑁) βˆ₯ (𝐴 Β· (2↑𝑁)) ↔ (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁))) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)))
128, 11mpbid 231 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁))) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘))
1312sseld 3976 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 ∈ (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁))) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
14 uznn0sub 12865 . . . . 5 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)
1513, 14syl6 35 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 ∈ (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁))) β†’ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0))
16 bitsss 16374 . . . . . 6 (bitsβ€˜π΄) βŠ† β„•0
1716a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (bitsβ€˜π΄) βŠ† β„•0)
1817sseld 3976 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ (bitsβ€˜π΄) β†’ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0))
19 2cnd 12294 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ 2 ∈ β„‚)
202a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ 2 ∈ β„•)
2120nnne0d 12266 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ 2 β‰  0)
22 simplr 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2322nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
24 simprl 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
2524nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
2619, 21, 23, 25expsubd 14127 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ (2↑(𝑛 βˆ’ 𝑁)) = ((2↑𝑛) / (2↑𝑁)))
2726oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ (𝐴 / (2↑(𝑛 βˆ’ 𝑁))) = (𝐴 / ((2↑𝑛) / (2↑𝑁))))
28 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
2928zcnd 12671 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3120, 24nnexpcld 14213 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•)
3231nncnd 12232 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„‚)
3320, 22nnexpcld 14213 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•)
3433nncnd 12232 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„‚)
3531nnne0d 12266 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ (2↑𝑛) β‰  0)
3633nnne0d 12266 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ (2↑𝑁) β‰  0)
3730, 32, 34, 35, 36divdiv2d 12026 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ (𝐴 / ((2↑𝑛) / (2↑𝑁))) = ((𝐴 Β· (2↑𝑁)) / (2↑𝑛)))
3827, 37eqtr2d 2767 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ ((𝐴 Β· (2↑𝑁)) / (2↑𝑛)) = (𝐴 / (2↑(𝑛 βˆ’ 𝑁))))
3938fveq2d 6889 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ (βŒŠβ€˜((𝐴 Β· (2↑𝑁)) / (2↑𝑛))) = (βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑(𝑛 βˆ’ 𝑁)))))
4039breq2d 5153 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ (2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((𝐴 Β· (2↑𝑁)) / (2↑𝑛))) ↔ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑(𝑛 βˆ’ 𝑁))))))
4140notbid 318 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((𝐴 Β· (2↑𝑁)) / (2↑𝑛))) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑(𝑛 βˆ’ 𝑁))))))
429adantrr 714 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ (𝐴 Β· (2↑𝑁)) ∈ β„€)
43 bitsval2 16373 . . . . . . 7 (((𝐴 Β· (2↑𝑁)) ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 ∈ (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁))) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((𝐴 Β· (2↑𝑁)) / (2↑𝑛)))))
4442, 24, 43syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ (𝑛 ∈ (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁))) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((𝐴 Β· (2↑𝑁)) / (2↑𝑛)))))
45 bitsval2 16373 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ (bitsβ€˜π΄) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑(𝑛 βˆ’ 𝑁))))))
4645ad2ant2rl 746 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ ((𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ (bitsβ€˜π΄) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑(𝑛 βˆ’ 𝑁))))))
4741, 44, 463bitr4d 311 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ (𝑛 ∈ (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁))) ↔ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ (bitsβ€˜π΄)))
4847expr 456 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0 β†’ (𝑛 ∈ (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁))) ↔ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ (bitsβ€˜π΄))))
4915, 18, 48pm5.21ndd 379 . . 3 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 ∈ (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁))) ↔ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ (bitsβ€˜π΄)))
5049rabbi2dva 4212 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (β„•0 ∩ (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁)))) = {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ (bitsβ€˜π΄)})
51 bitsss 16374 . . 3 (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁))) βŠ† β„•0
52 sseqin2 4210 . . 3 ((bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁))) βŠ† β„•0 ↔ (β„•0 ∩ (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁)))) = (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁))))
5351, 52mpbi 229 . 2 (β„•0 ∩ (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁)))) = (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁)))
5450, 53eqtr3di 2781 1 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ (bitsβ€˜π΄)} = (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  βŒŠcfl 13761  β†‘cexp 14032   βˆ₯ cdvds 16204  bitscbits 16367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-had 1587  df-cad 1600  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-dvds 16205  df-bits 16370  df-sad 16399
This theorem is referenced by:  smumullem  16440
  Copyright terms: Public domain W3C validator