MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsshft Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem bitsshft 16418
Description: Shifting a bit sequence to the left (toward the more significant bits) causes the number to be multiplied by a power of two. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsshft ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ (bitsβ€˜π΄)} = (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁
Proof of Theorem bitsshft
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
2 2nn 12287 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„•
32a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„•)
4 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
53, 4nnexpcld 14210 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•)
65nnzd 12587 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„€)
7 dvdsmul2 16224 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (2↑𝑁) ∈ β„€) β†’ (2↑𝑁) βˆ₯ (𝐴 Β· (2↑𝑁)))
81, 6, 7syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) βˆ₯ (𝐴 Β· (2↑𝑁)))
91, 6zmulcld 12674 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Β· (2↑𝑁)) ∈ β„€)
10 bitsuz 16417 . . . . . . . 8 (((𝐴 Β· (2↑𝑁)) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((2↑𝑁) βˆ₯ (𝐴 Β· (2↑𝑁)) ↔ (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁))) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)))
119, 4, 10syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((2↑𝑁) βˆ₯ (𝐴 Β· (2↑𝑁)) ↔ (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁))) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)))
128, 11mpbid 231 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁))) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘))
1312sseld 3981 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 ∈ (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁))) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
14 uznn0sub 12863 . . . . 5 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)
1513, 14syl6 35 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 ∈ (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁))) β†’ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0))
16 bitsss 16369 . . . . . 6 (bitsβ€˜π΄) βŠ† β„•0
1716a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (bitsβ€˜π΄) βŠ† β„•0)
1817sseld 3981 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ (bitsβ€˜π΄) β†’ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0))
19 2cnd 12292 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ 2 ∈ β„‚)
202a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ 2 ∈ β„•)
2120nnne0d 12264 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ 2 β‰  0)
22 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2322nn0zd 12586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
24 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
2524nn0zd 12586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
2619, 21, 23, 25expsubd 14124 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ (2↑(𝑛 βˆ’ 𝑁)) = ((2↑𝑛) / (2↑𝑁)))
2726oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ (𝐴 / (2↑(𝑛 βˆ’ 𝑁))) = (𝐴 / ((2↑𝑛) / (2↑𝑁))))
28 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
2928zcnd 12669 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3029adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3120, 24nnexpcld 14210 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•)
3231nncnd 12230 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„‚)
3320, 22nnexpcld 14210 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•)
3433nncnd 12230 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„‚)
3531nnne0d 12264 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ (2↑𝑛) β‰  0)
3633nnne0d 12264 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ (2↑𝑁) β‰  0)
3730, 32, 34, 35, 36divdiv2d 12024 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ (𝐴 / ((2↑𝑛) / (2↑𝑁))) = ((𝐴 Β· (2↑𝑁)) / (2↑𝑛)))
3827, 37eqtr2d 2773 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ ((𝐴 Β· (2↑𝑁)) / (2↑𝑛)) = (𝐴 / (2↑(𝑛 βˆ’ 𝑁))))
3938fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ (βŒŠβ€˜((𝐴 Β· (2↑𝑁)) / (2↑𝑛))) = (βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑(𝑛 βˆ’ 𝑁)))))
4039breq2d 5160 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ (2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((𝐴 Β· (2↑𝑁)) / (2↑𝑛))) ↔ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑(𝑛 βˆ’ 𝑁))))))
4140notbid 317 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((𝐴 Β· (2↑𝑁)) / (2↑𝑛))) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑(𝑛 βˆ’ 𝑁))))))
429adantrr 715 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ (𝐴 Β· (2↑𝑁)) ∈ β„€)
43 bitsval2 16368 . . . . . . 7 (((𝐴 Β· (2↑𝑁)) ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 ∈ (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁))) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((𝐴 Β· (2↑𝑁)) / (2↑𝑛)))))
4442, 24, 43syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ (𝑛 ∈ (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁))) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((𝐴 Β· (2↑𝑁)) / (2↑𝑛)))))
45 bitsval2 16368 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ (bitsβ€˜π΄) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑(𝑛 βˆ’ 𝑁))))))
4645ad2ant2rl 747 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ ((𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ (bitsβ€˜π΄) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑(𝑛 βˆ’ 𝑁))))))
4741, 44, 463bitr4d 310 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)) β†’ (𝑛 ∈ (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁))) ↔ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ (bitsβ€˜π΄)))
4847expr 457 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0 β†’ (𝑛 ∈ (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁))) ↔ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ (bitsβ€˜π΄))))
4915, 18, 48pm5.21ndd 380 . . 3 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 ∈ (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁))) ↔ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ (bitsβ€˜π΄)))
5049rabbi2dva 4217 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (β„•0 ∩ (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁)))) = {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ (bitsβ€˜π΄)})
51 bitsss 16369 . . 3 (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁))) βŠ† β„•0
52 sseqin2 4215 . . 3 ((bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁))) βŠ† β„•0 ↔ (β„•0 ∩ (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁)))) = (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁))))
5351, 52mpbi 229 . 2 (β„•0 ∩ (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁)))) = (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁)))
5450, 53eqtr3di 2787 1 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑛 βˆ’ 𝑁) ∈ (bitsβ€˜π΄)} = (bitsβ€˜(𝐴 Β· (2↑𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  β„•cn 12214  2c2 12269  β„•0cn0 12474  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824  βŒŠcfl 13757  β†‘cexp 14029   βˆ₯ cdvds 16199  bitscbits 16362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-had 1595  df-cad 1608  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-dvds 16200  df-bits 16365  df-sad 16394
This theorem is referenced by:  smumullem  16435
  Copyright terms: Public domain W3C validator