MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsshft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsshft 15657
Description: Shifting a bit sequence to the left (toward the more significant bits) causes the number to be multiplied by a power of two. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsshft ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑛𝑁) ∈ (bits‘𝐴)} = (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁

Proof of Theorem bitsshft
StepHypRef Expression
1 bitsss 15608 . . 3 (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ⊆ ℕ0
2 sseqin2 4112 . . 3 ((bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ⊆ ℕ0 ↔ (ℕ0 ∩ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁)))) = (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))))
31, 2mpbi 231 . 2 (ℕ0 ∩ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁)))) = (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁)))
4 simpll 763 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
5 2nn 11558 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
65a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
7 simplr 765 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
86, 7nnexpcld 13456 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
98nnzd 11935 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
10 dvdsmul2 15465 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ) → (2↑𝑁) ∥ (𝐴 · (2↑𝑁)))
114, 9, 10syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∥ (𝐴 · (2↑𝑁)))
124, 9zmulcld 11942 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴 · (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
13 bitsuz 15656 . . . . . . . 8 (((𝐴 · (2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑁) ∥ (𝐴 · (2↑𝑁)) ↔ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ⊆ (ℤ𝑁)))
1412, 7, 13syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑁) ∥ (𝐴 · (2↑𝑁)) ↔ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ⊆ (ℤ𝑁)))
1511, 14mpbid 233 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ⊆ (ℤ𝑁))
1615sseld 3888 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)))
17 uznn0sub 12126 . . . . 5 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)
1816, 17syl6 35 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) → (𝑛𝑁) ∈ ℕ0))
19 bitsss 15608 . . . . . 6 (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0
2019a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0)
2120sseld 3888 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛𝑁) ∈ (bits‘𝐴) → (𝑛𝑁) ∈ ℕ0))
22 2cnd 11563 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → 2 ∈ ℂ)
235a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → 2 ∈ ℕ)
2423nnne0d 11535 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → 2 ≠ 0)
25 simplr 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2625nn0zd 11934 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
27 simprl 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
2827nn0zd 11934 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → 𝑛 ∈ ℤ)
2922, 24, 26, 28expsubd 13371 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑(𝑛𝑁)) = ((2↑𝑛) / (2↑𝑁)))
3029oveq2d 7032 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → (𝐴 / (2↑(𝑛𝑁))) = (𝐴 / ((2↑𝑛) / (2↑𝑁))))
31 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
3231zcnd 11937 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
3332adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3423, 27nnexpcld 13456 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
3534nncnd 11502 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑𝑛) ∈ ℂ)
3623, 25nnexpcld 13456 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
3736nncnd 11502 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
3834nnne0d 11535 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑𝑛) ≠ 0)
3936nnne0d 11535 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑𝑁) ≠ 0)
4033, 35, 37, 38, 39divdiv2d 11296 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → (𝐴 / ((2↑𝑛) / (2↑𝑁))) = ((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛)))
4130, 40eqtr2d 2832 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → ((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛)) = (𝐴 / (2↑(𝑛𝑁))))
4241fveq2d 6542 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → (⌊‘((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛))) = (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑛𝑁)))))
4342breq2d 4974 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → (2 ∥ (⌊‘((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛))) ↔ 2 ∥ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑛𝑁))))))
4443notbid 319 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → (¬ 2 ∥ (⌊‘((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑛𝑁))))))
4512adantrr 713 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → (𝐴 · (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
46 bitsval2 15607 . . . . . . 7 (((𝐴 · (2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛)))))
4745, 27, 46syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛)))))
48 bitsval2 15607 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑛𝑁) ∈ (bits‘𝐴) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑛𝑁))))))
4948ad2ant2rl 745 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → ((𝑛𝑁) ∈ (bits‘𝐴) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑛𝑁))))))
5044, 47, 493bitr4d 312 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ↔ (𝑛𝑁) ∈ (bits‘𝐴)))
5150expr 457 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛𝑁) ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ↔ (𝑛𝑁) ∈ (bits‘𝐴))))
5218, 21, 51pm5.21ndd 381 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ↔ (𝑛𝑁) ∈ (bits‘𝐴)))
5352rabbi2dva 4114 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (ℕ0 ∩ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁)))) = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑛𝑁) ∈ (bits‘𝐴)})
543, 53syl5reqr 2846 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑛𝑁) ∈ (bits‘𝐴)} = (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  {crab 3109  cin 3858  wss 3859   class class class wbr 4962  cfv 6225  (class class class)co 7016  cc 10381   · cmul 10388  cmin 10717   / cdiv 11145  cn 11486  2c2 11540  0cn0 11745  cz 11829  cuz 12093  cfl 13010  cexp 13279  cdvds 15440  bitscbits 15601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-xor 1497  df-tru 1525  df-fal 1535  df-had 1576  df-cad 1589  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-disj 4931  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-dju 9176  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-xnn0 11816  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-mod 13088  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-sum 14877  df-dvds 15441  df-bits 15604  df-sad 15633
This theorem is referenced by:  smumullem  15674
  Copyright terms: Public domain W3C validator