Theorem bitsshft 16435

Description: Shifting a bit sequence to the left (toward the more significant bits) causes the number to be multiplied by a power of two. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsshft	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑛 − 𝑁) ∈ (bits‘𝐴)} = (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁

Proof of Theorem bitsshft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		2nn 12245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
4		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	3, 4	nnexpcld 14198	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
6	5	nnzd 12541	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
7		dvdsmul2 16238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ) → (2↑𝑁) ∥ (𝐴 · (2↑𝑁)))
8	1, 6, 7	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∥ (𝐴 · (2↑𝑁)))
9	1, 6	zmulcld 12630	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴 · (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
10		bitsuz 16434	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 · (2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑁) ∥ (𝐴 · (2↑𝑁)) ↔ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ⊆ (ℤ≥‘𝑁)))
11	9, 4, 10	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑁) ∥ (𝐴 · (2↑𝑁)) ↔ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ⊆ (ℤ≥‘𝑁)))
12	8, 11	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
13	12	sseld 3921	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
14		uznn0sub 12814	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)
15	13, 14	syl6 35	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0))
16		bitsss 16386	. . . . . 6 ⊢ (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0)
18	17	sseld 3921	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 − 𝑁) ∈ (bits‘𝐴) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0))
19		2cnd 12250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → 2 ∈ ℂ)
20	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → 2 ∈ ℕ)
21	20	nnne0d 12218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → 2 ≠ 0)
22		simplr 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23	22	nn0zd 12540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
24		simprl 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
25	24	nn0zd 12540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → 𝑛 ∈ ℤ)
26	19, 21, 23, 25	expsubd 14110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑(𝑛 − 𝑁)) = ((2↑𝑛) / (2↑𝑁)))
27	26	oveq2d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (𝐴 / (2↑(𝑛 − 𝑁))) = (𝐴 / ((2↑𝑛) / (2↑𝑁))))
28		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
29	28	zcnd 12625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
31	20, 24	nnexpcld 14198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
32	31	nncnd 12181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑𝑛) ∈ ℂ)
33	20, 22	nnexpcld 14198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
34	33	nncnd 12181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
35	31	nnne0d 12218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑𝑛) ≠ 0)
36	33	nnne0d 12218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑𝑁) ≠ 0)
37	30, 32, 34, 35, 36	divdiv2d 11954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (𝐴 / ((2↑𝑛) / (2↑𝑁))) = ((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛)))
38	27, 37	eqtr2d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → ((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛)) = (𝐴 / (2↑(𝑛 − 𝑁))))
39	38	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (⌊‘((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛))) = (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑛 − 𝑁)))))
40	39	breq2d 5098	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (2 ∥ (⌊‘((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛))) ↔ 2 ∥ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑛 − 𝑁))))))
41	40	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (¬ 2 ∥ (⌊‘((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑛 − 𝑁))))))
42	9	adantrr 718	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (𝐴 · (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
43		bitsval2 16385	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · (2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛)))))
44	42, 24, 43	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛)))))
45		bitsval2 16385	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑛 − 𝑁) ∈ (bits‘𝐴) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑛 − 𝑁))))))
46	45	ad2ant2rl 750	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → ((𝑛 − 𝑁) ∈ (bits‘𝐴) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑛 − 𝑁))))))
47	41, 44, 46	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ↔ (𝑛 − 𝑁) ∈ (bits‘𝐴)))
48	47	expr 456	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ↔ (𝑛 − 𝑁) ∈ (bits‘𝐴))))
49	15, 18, 48	pm5.21ndd 379	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ↔ (𝑛 − 𝑁) ∈ (bits‘𝐴)))
50	49	rabbi2dva 4167	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (ℕ0 ∩ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁)))) = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑛 − 𝑁) ∈ (bits‘𝐴)})
51		bitsss 16386	. . 3 ⊢ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ⊆ ℕ0
52		sseqin2 4164	. . 3 ⊢ ((bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ⊆ ℕ0 ↔ (ℕ0 ∩ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁)))) = (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))))
53	51, 52	mpbi 230	. 2 ⊢ (ℕ0 ∩ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁)))) = (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁)))
54	50, 53	eqtr3di 2787	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑛 − 𝑁) ∈ (bits‘𝐴)} = (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027   · cmul 11034   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ⌊cfl 13740  ↑cexp 14014   ∥ cdvds 16212  bitscbits 16379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1514  df-tru 1545  df-fal 1555  df-had 1596  df-cad 1609  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-dvds 16213  df-bits 16382  df-sad 16411

This theorem is referenced by:  smumullem  16452