Theorem bitsshft 16515

Description: Shifting a bit sequence to the left (toward the more significant bits) causes the number to be multiplied by a power of two. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsshft	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑛 − 𝑁) ∈ (bits‘𝐴)} = (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁

Proof of Theorem bitsshft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		2nn 12362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
4		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	3, 4	nnexpcld 14290	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
6	5	nnzd 12662	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
7		dvdsmul2 16321	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ) → (2↑𝑁) ∥ (𝐴 · (2↑𝑁)))
8	1, 6, 7	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∥ (𝐴 · (2↑𝑁)))
9	1, 6	zmulcld 12749	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴 · (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
10		bitsuz 16514	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 · (2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑁) ∥ (𝐴 · (2↑𝑁)) ↔ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ⊆ (ℤ≥‘𝑁)))
11	9, 4, 10	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑁) ∥ (𝐴 · (2↑𝑁)) ↔ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ⊆ (ℤ≥‘𝑁)))
12	8, 11	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
13	12	sseld 4001	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
14		uznn0sub 12938	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)
15	13, 14	syl6 35	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0))
16		bitsss 16466	. . . . . 6 ⊢ (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0)
18	17	sseld 4001	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 − 𝑁) ∈ (bits‘𝐴) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0))
19		2cnd 12367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → 2 ∈ ℂ)
20	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → 2 ∈ ℕ)
21	20	nnne0d 12339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → 2 ≠ 0)
22		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23	22	nn0zd 12661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
24		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
25	24	nn0zd 12661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → 𝑛 ∈ ℤ)
26	19, 21, 23, 25	expsubd 14203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑(𝑛 − 𝑁)) = ((2↑𝑛) / (2↑𝑁)))
27	26	oveq2d 7461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (𝐴 / (2↑(𝑛 − 𝑁))) = (𝐴 / ((2↑𝑛) / (2↑𝑁))))
28		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
29	28	zcnd 12744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
31	20, 24	nnexpcld 14290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
32	31	nncnd 12305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑𝑛) ∈ ℂ)
33	20, 22	nnexpcld 14290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
34	33	nncnd 12305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
35	31	nnne0d 12339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑𝑛) ≠ 0)
36	33	nnne0d 12339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑𝑁) ≠ 0)
37	30, 32, 34, 35, 36	divdiv2d 12098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (𝐴 / ((2↑𝑛) / (2↑𝑁))) = ((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛)))
38	27, 37	eqtr2d 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → ((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛)) = (𝐴 / (2↑(𝑛 − 𝑁))))
39	38	fveq2d 6923	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (⌊‘((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛))) = (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑛 − 𝑁)))))
40	39	breq2d 5181	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (2 ∥ (⌊‘((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛))) ↔ 2 ∥ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑛 − 𝑁))))))
41	40	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (¬ 2 ∥ (⌊‘((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑛 − 𝑁))))))
42	9	adantrr 716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (𝐴 · (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
43		bitsval2 16465	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · (2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛)))))
44	42, 24, 43	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛)))))
45		bitsval2 16465	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑛 − 𝑁) ∈ (bits‘𝐴) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑛 − 𝑁))))))
46	45	ad2ant2rl 748	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → ((𝑛 − 𝑁) ∈ (bits‘𝐴) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑛 − 𝑁))))))
47	41, 44, 46	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)) → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ↔ (𝑛 − 𝑁) ∈ (bits‘𝐴)))
48	47	expr 456	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ↔ (𝑛 − 𝑁) ∈ (bits‘𝐴))))
49	15, 18, 48	pm5.21ndd 379	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ↔ (𝑛 − 𝑁) ∈ (bits‘𝐴)))
50	49	rabbi2dva 4241	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (ℕ0 ∩ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁)))) = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑛 − 𝑁) ∈ (bits‘𝐴)})
51		bitsss 16466	. . 3 ⊢ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ⊆ ℕ0
52		sseqin2 4238	. . 3 ⊢ ((bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ⊆ ℕ0 ↔ (ℕ0 ∩ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁)))) = (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))))
53	51, 52	mpbi 230	. 2 ⊢ (ℕ0 ∩ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁)))) = (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁)))
54	50, 53	eqtr3di 2789	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑛 − 𝑁) ∈ (bits‘𝐴)} = (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2103  {crab 3438   ∩ cin 3969   ⊆ wss 3970   class class class wbr 5169  ‘cfv 6572  (class class class)co 7445  ℂcc 11178   · cmul 11185   − cmin 11516   / cdiv 11943  ℕcn 12289  2c2 12344  ℕ₀cn0 12549  ℤcz 12635  ℤ_≥cuz 12899  ⌊cfl 13837  ↑cexp 14108   ∥ cdvds 16296  bitscbits 16459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-inf2 9706  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-pre-sup 11258

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1509  df-tru 1540  df-fal 1550  df-had 1591  df-cad 1604  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-disj 5137  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-se 5655  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-isom 6581  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-2o 8519  df-oadd 8522  df-er 8759  df-map 8882  df-pm 8883  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-sup 9507  df-inf 9508  df-oi 9575  df-dju 9966  df-card 10004  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-n0 12550  df-xnn0 12622  df-z 12636  df-uz 12900  df-rp 13054  df-fz 13564  df-fzo 13708  df-fl 13839  df-mod 13917  df-seq 14049  df-exp 14109  df-hash 14376  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-clim 15530  df-sum 15731  df-dvds 16297  df-bits 16462  df-sad 16491

This theorem is referenced by:  smumullem  16532