Theorem bitsinv2 16477

Description: There is an explicit inverse to the bits function for nonnegative integers, part 2. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsinv2	⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem bitsinv2

Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinel2 4212	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
2		2nn0 12541	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 2 ∈ ℕ0)
4		elfpw 9392	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ Fin))
5	4	simplbi 497	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
6	5	sselda 3995	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ ℕ0)
7	3, 6	nn0expcld 14282	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
8	1, 7	fsumnn0cl 15769	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
9		bitsinv1 16476	. . . 4 ⊢ (Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ ℕ0 → Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
11		bitsss 16460	. . . . . 6 ⊢ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ⊆ ℕ0
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ⊆ ℕ0)
13		bitsfi 16471	. . . . . 6 ⊢ (Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ ℕ0 → (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin)
14	8, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin)
15		elfpw 9392	. . . . 5 ⊢ ((bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ⊆ ℕ0 ∧ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin))
16	12, 14, 15	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
17		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (2↑𝑛) = (2↑𝑚))
18	17	cbvsumv 15729	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛) = Σ𝑚 ∈ 𝑘 (2↑𝑚)
19		sumeq1 15722	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) → Σ𝑚 ∈ 𝑘 (2↑𝑚) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
20	18, 19	eqtrid 2787	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) → Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
21		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛)) = (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))
22		sumex 15721	. . . . 5 ⊢ Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚) ∈ V
23	20, 21, 22	fvmpt 7016	. . . 4 ⊢ ((bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
24	16, 23	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
25		sumeq1 15722	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
26		sumex 15721	. . . 4 ⊢ Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ V
27	25, 21, 26	fvmpt 7016	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
28	10, 24, 27	3eqtr4d 2785	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴))
29	21	ackbijnn 15861	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0
30		f1of1 6848	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0)
31	29, 30	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0)
32		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
33		f1fveq 7282	. . 3 ⊢ (((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0 ∧ ((bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → (((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴) ↔ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴))
34	31, 16, 32, 33	syl12anc 837	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴) ↔ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴))
35	28, 34	mpbid 232	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  𝒫 cpw 4605   ↦ cmpt 5231  –1-1→wf1 6560  –1-1-onto→wf1o 6562  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  2c2 12319  ℕ₀cn0 12524  ↑cexp 14099  Σcsu 15719  bitscbits 16453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-dvds 16288  df-bits 16456

This theorem is referenced by:  bitsf1ocnv  16478  2ebits  16481