MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsinv2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem bitsinv2 16380
Description: There is an explicit inverse to the bits function for nonnegative integers, part 2. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsinv2 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Proof of Theorem bitsinv2
Dummy variables π‘˜ π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinel2 4195 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
2 2nn0 12485 . . . . . . 7 2 ∈ β„•0
32a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 2 ∈ β„•0)
4 elfpw 9350 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ (𝐴 βŠ† β„•0 ∧ 𝐴 ∈ Fin))
54simplbi 498 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
65sselda 3981 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
73, 6nn0expcld 14205 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•0)
81, 7fsumnn0cl 15678 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ β„•0)
9 bitsinv1 16379 . . . 4 (Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ β„•0 β†’ Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
108, 9syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
11 bitsss 16363 . . . . . 6 (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) βŠ† β„•0
1211a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) βŠ† β„•0)
13 bitsfi 16374 . . . . . 6 (Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ β„•0 β†’ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin)
148, 13syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin)
15 elfpw 9350 . . . . 5 ((bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ ((bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) βŠ† β„•0 ∧ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin))
1612, 14, 15sylanbrc 583 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
17 oveq2 7413 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘š β†’ (2↑𝑛) = (2β†‘π‘š))
1817cbvsumv 15638 . . . . . 6 Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛) = Ξ£π‘š ∈ π‘˜ (2β†‘π‘š)
19 sumeq1 15631 . . . . . 6 (π‘˜ = (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) β†’ Ξ£π‘š ∈ π‘˜ (2β†‘π‘š) = Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š))
2018, 19eqtrid 2784 . . . . 5 (π‘˜ = (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) β†’ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛) = Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š))
21 eqid 2732 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛)) = (π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))
22 sumex 15630 . . . . 5 Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š) ∈ V
2320, 21, 22fvmpt 6995 . . . 4 ((bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜(bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š))
2416, 23syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜(bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š))
25 sumeq1 15631 . . . 4 (π‘˜ = 𝐴 β†’ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
26 sumex 15630 . . . 4 Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ V
2725, 21, 26fvmpt 6995 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜π΄) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
2810, 24, 273eqtr4d 2782 . 2 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜(bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜π΄))
2921ackbijnn 15770 . . . 4 (π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0
30 f1of1 6829 . . . 4 ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ (π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1β†’β„•0)
3129, 30mp1i 13 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1β†’β„•0)
32 id 22 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ 𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
33 f1fveq 7257 . . 3 (((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1β†’β„•0 ∧ ((bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))) β†’ (((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜(bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜π΄) ↔ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴))
3431, 16, 32, 33syl12anc 835 . 2 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜(bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜π΄) ↔ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴))
3528, 34mpbid 231 1 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601   ↦ cmpt 5230  β€“1-1β†’wf1 6537  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6539  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  2c2 12263  β„•0cn0 12468  β†‘cexp 14023  Ξ£csu 15628  bitscbits 16356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-dvds 16194  df-bits 16359
This theorem is referenced by:  bitsf1ocnv  16381  2ebits  16384
  Copyright terms: Public domain W3C validator