MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsinv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsinv2 16480
Description: There is an explicit inverse to the bits function for nonnegative integers, part 2. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsinv2 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem bitsinv2
Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinel2 4202 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
2 2nn0 12543 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
32a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝐴) → 2 ∈ ℕ0)
4 elfpw 9394 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (𝐴 ⊆ ℕ0𝐴 ∈ Fin))
54simplbi 497 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
65sselda 3983 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ ℕ0)
73, 6nn0expcld 14285 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝐴) → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
81, 7fsumnn0cl 15772 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
9 bitsinv1 16479 . . . 4 𝑛𝐴 (2↑𝑛) ∈ ℕ0 → Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚) = Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))
108, 9syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚) = Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))
11 bitsss 16463 . . . . . 6 (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ⊆ ℕ0
1211a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ⊆ ℕ0)
13 bitsfi 16474 . . . . . 6 𝑛𝐴 (2↑𝑛) ∈ ℕ0 → (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin)
148, 13syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin)
15 elfpw 9394 . . . . 5 ((bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ⊆ ℕ0 ∧ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin))
1612, 14, 15sylanbrc 583 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
17 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (2↑𝑛) = (2↑𝑚))
1817cbvsumv 15732 . . . . . 6 Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛) = Σ𝑚𝑘 (2↑𝑚)
19 sumeq1 15725 . . . . . 6 (𝑘 = (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) → Σ𝑚𝑘 (2↑𝑚) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
2018, 19eqtrid 2789 . . . . 5 (𝑘 = (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) → Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
21 eqid 2737 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛)) = (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))
22 sumex 15724 . . . . 5 Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚) ∈ V
2320, 21, 22fvmpt 7016 . . . 4 ((bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
2416, 23syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
25 sumeq1 15725 . . . 4 (𝑘 = 𝐴 → Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛) = Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))
26 sumex 15724 . . . 4 Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛) ∈ V
2725, 21, 26fvmpt 7016 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴) = Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))
2810, 24, 273eqtr4d 2787 . 2 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))) = ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴))
2921ackbijnn 15864 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0
30 f1of1 6847 . . . 4 ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0)
3129, 30mp1i 13 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0)
32 id 22 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
33 f1fveq 7282 . . 3 (((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0 ∧ ((bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → (((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))) = ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴) ↔ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴))
3431, 16, 32, 33syl12anc 837 . 2 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))) = ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴) ↔ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴))
3528, 34mpbid 232 1 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cin 3950  wss 3951  𝒫 cpw 4600  cmpt 5225  1-1wf1 6558  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  2c2 12321  0cn0 12526  cexp 14102  Σcsu 15722  bitscbits 16456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-dvds 16291  df-bits 16459
This theorem is referenced by:  bitsf1ocnv  16481  2ebits  16484
  Copyright terms: Public domain W3C validator