Theorem bitsinv2 16403

Description: There is an explicit inverse to the bits function for nonnegative integers, part 2. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsinv2	⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem bitsinv2

Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinel2 4143	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
2		2nn0 12445	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 2 ∈ ℕ0)
4		elfpw 9257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ Fin))
5	4	simplbi 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
6	5	sselda 3922	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ ℕ0)
7	3, 6	nn0expcld 14199	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
8	1, 7	fsumnn0cl 15689	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
9		bitsinv1 16402	. . . 4 ⊢ (Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ ℕ0 → Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
11		bitsss 16386	. . . . . 6 ⊢ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ⊆ ℕ0
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ⊆ ℕ0)
13		bitsfi 16397	. . . . . 6 ⊢ (Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ ℕ0 → (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin)
14	8, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin)
15		elfpw 9257	. . . . 5 ⊢ ((bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ⊆ ℕ0 ∧ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin))
16	12, 14, 15	sylanbrc 584	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
17		oveq2 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (2↑𝑛) = (2↑𝑚))
18	17	cbvsumv 15649	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛) = Σ𝑚 ∈ 𝑘 (2↑𝑚)
19		sumeq1 15642	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) → Σ𝑚 ∈ 𝑘 (2↑𝑚) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
20	18, 19	eqtrid 2784	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) → Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
21		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛)) = (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))
22		sumex 15641	. . . . 5 ⊢ Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚) ∈ V
23	20, 21, 22	fvmpt 6941	. . . 4 ⊢ ((bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
24	16, 23	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
25		sumeq1 15642	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
26		sumex 15641	. . . 4 ⊢ Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ V
27	25, 21, 26	fvmpt 6941	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
28	10, 24, 27	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴))
29	21	ackbijnn 15784	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0
30		f1of1 6773	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0)
31	29, 30	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0)
32		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
33		f1fveq 7210	. . 3 ⊢ (((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0 ∧ ((bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → (((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴) ↔ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴))
34	31, 16, 32, 33	syl12anc 837	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴) ↔ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴))
35	28, 34	mpbid 232	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542   ↦ cmpt 5167  –1-1→wf1 6489  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Fincfn 8886  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ↑cexp 14014  Σcsu 15639  bitscbits 16379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-dvds 16213  df-bits 16382

This theorem is referenced by:  bitsf1ocnv  16404  2ebits  16407