MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsinv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsinv2 16381
Description: There is an explicit inverse to the bits function for nonnegative integers, part 2. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsinv2 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem bitsinv2
Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinel2 4196 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
2 2nn0 12486 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
32a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝐴) → 2 ∈ ℕ0)
4 elfpw 9351 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (𝐴 ⊆ ℕ0𝐴 ∈ Fin))
54simplbi 499 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
65sselda 3982 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ ℕ0)
73, 6nn0expcld 14206 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝐴) → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
81, 7fsumnn0cl 15679 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
9 bitsinv1 16380 . . . 4 𝑛𝐴 (2↑𝑛) ∈ ℕ0 → Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚) = Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))
108, 9syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚) = Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))
11 bitsss 16364 . . . . . 6 (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ⊆ ℕ0
1211a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ⊆ ℕ0)
13 bitsfi 16375 . . . . . 6 𝑛𝐴 (2↑𝑛) ∈ ℕ0 → (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin)
148, 13syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin)
15 elfpw 9351 . . . . 5 ((bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ⊆ ℕ0 ∧ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin))
1612, 14, 15sylanbrc 584 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
17 oveq2 7414 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (2↑𝑛) = (2↑𝑚))
1817cbvsumv 15639 . . . . . 6 Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛) = Σ𝑚𝑘 (2↑𝑚)
19 sumeq1 15632 . . . . . 6 (𝑘 = (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) → Σ𝑚𝑘 (2↑𝑚) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
2018, 19eqtrid 2785 . . . . 5 (𝑘 = (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) → Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
21 eqid 2733 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛)) = (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))
22 sumex 15631 . . . . 5 Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚) ∈ V
2320, 21, 22fvmpt 6996 . . . 4 ((bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
2416, 23syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
25 sumeq1 15632 . . . 4 (𝑘 = 𝐴 → Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛) = Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))
26 sumex 15631 . . . 4 Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛) ∈ V
2725, 21, 26fvmpt 6996 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴) = Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))
2810, 24, 273eqtr4d 2783 . 2 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))) = ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴))
2921ackbijnn 15771 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0
30 f1of1 6830 . . . 4 ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0)
3129, 30mp1i 13 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0)
32 id 22 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
33 f1fveq 7258 . . 3 (((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0 ∧ ((bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → (((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))) = ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴) ↔ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴))
3431, 16, 32, 33syl12anc 836 . 2 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))) = ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴) ↔ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴))
3528, 34mpbid 231 1 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  cin 3947  wss 3948  𝒫 cpw 4602  cmpt 5231  1-1wf1 6538  1-1-ontowf1o 6540  cfv 6541  (class class class)co 7406  Fincfn 8936  2c2 12264  0cn0 12469  cexp 14024  Σcsu 15629  bitscbits 16357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-oadd 8467  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630  df-dvds 16195  df-bits 16360
This theorem is referenced by:  bitsf1ocnv  16382  2ebits  16385
  Copyright terms: Public domain W3C validator