Theorem bitsinv2 16491

Description: There is an explicit inverse to the bits function for nonnegative integers, part 2. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsinv2	⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem bitsinv2

Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinel2 4157	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
2		2nn0 12512	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 2 ∈ ℕ0)
4		elfpw 9299	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ Fin))
5	4	simplbi 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
6	5	sselda 3939	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ ℕ0)
7	3, 6	nn0expcld 14273	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
8	1, 7	fsumnn0cl 15777	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
9		bitsinv1 16490	. . . 4 ⊢ (Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ ℕ0 → Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
10	8, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
11		bitsss 16474	. . . . . 6 ⊢ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ⊆ ℕ0
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ⊆ ℕ0)
13		bitsfi 16485	. . . . . 6 ⊢ (Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ ℕ0 → (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin)
14	8, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin)
15		elfpw 9299	. . . . 5 ⊢ ((bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ⊆ ℕ0 ∧ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin))
16	12, 14, 15	sylanbrc 594	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
17		oveq2 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (2↑𝑛) = (2↑𝑚))
18	17	cbvsumv 15737	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛) = Σ𝑚 ∈ 𝑘 (2↑𝑚)
19		sumeq1 15730	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) → Σ𝑚 ∈ 𝑘 (2↑𝑚) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
20	18, 19	eqtrid 2812	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) → Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
21		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛)) = (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))
22		sumex 15729	. . . . 5 ⊢ Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚) ∈ V
23	20, 21, 22	fvmpt 6979	. . . 4 ⊢ ((bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
24	16, 23	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
25		sumeq1 15730	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
26		sumex 15729	. . . 4 ⊢ Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ V
27	25, 21, 26	fvmpt 6979	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
28	10, 24, 27	3eqtr4d 2810	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴))
29	21	ackbijnn 15872	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0
30		f1of1 6809	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0)
31	29, 30	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0)
32		id 23	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
33		f1fveq 7250	. . 3 ⊢ (((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0 ∧ ((bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → (((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴) ↔ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴))
34	31, 16, 32, 33	syl12anc 849	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴) ↔ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴))
35	28, 34	mpbid 235	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907  𝒫 cpw 4558   ↦ cmpt 5186  –1-1→wf1 6522  –1-1-onto→wf1o 6524  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Fincfn 8931  2c2 12286  ℕ₀cn0 12495  ↑cexp 14088  Σcsu 15727  bitscbits 16467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-disj 5073  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-mod 13894  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-clim 15529  df-sum 15728  df-dvds 16301  df-bits 16470

This theorem is referenced by:  bitsf1ocnv  16492  2ebits  16495