Theorem bitsinv2 16372

Description: There is an explicit inverse to the bits function for nonnegative integers, part 2. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsinv2	⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem bitsinv2

Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinel2 4155	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
2		2nn0 12419	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 2 ∈ ℕ0)
4		elfpw 9263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ Fin))
5	4	simplbi 497	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
6	5	sselda 3937	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ ℕ0)
7	3, 6	nn0expcld 14171	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
8	1, 7	fsumnn0cl 15661	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
9		bitsinv1 16371	. . . 4 ⊢ (Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ ℕ0 → Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
11		bitsss 16355	. . . . . 6 ⊢ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ⊆ ℕ0
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ⊆ ℕ0)
13		bitsfi 16366	. . . . . 6 ⊢ (Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ ℕ0 → (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin)
14	8, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin)
15		elfpw 9263	. . . . 5 ⊢ ((bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ⊆ ℕ0 ∧ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin))
16	12, 14, 15	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
17		oveq2 7361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (2↑𝑛) = (2↑𝑚))
18	17	cbvsumv 15621	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛) = Σ𝑚 ∈ 𝑘 (2↑𝑚)
19		sumeq1 15614	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) → Σ𝑚 ∈ 𝑘 (2↑𝑚) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
20	18, 19	eqtrid 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) → Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
21		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛)) = (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))
22		sumex 15613	. . . . 5 ⊢ Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚) ∈ V
23	20, 21, 22	fvmpt 6934	. . . 4 ⊢ ((bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
24	16, 23	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
25		sumeq1 15614	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
26		sumex 15613	. . . 4 ⊢ Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ V
27	25, 21, 26	fvmpt 6934	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
28	10, 24, 27	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴))
29	21	ackbijnn 15753	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0
30		f1of1 6767	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0)
31	29, 30	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0)
32		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
33		f1fveq 7203	. . 3 ⊢ (((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0 ∧ ((bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → (((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴) ↔ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴))
34	31, 16, 32, 33	syl12anc 836	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴) ↔ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴))
35	28, 34	mpbid 232	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4553   ↦ cmpt 5176  –1-1→wf1 6483  –1-1-onto→wf1o 6485  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Fincfn 8879  2c2 12201  ℕ₀cn0 12402  ↑cexp 13986  Σcsu 15611  bitscbits 16348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-disj 5063  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612  df-dvds 16182  df-bits 16351

This theorem is referenced by:  bitsf1ocnv  16373  2ebits  16376