MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsinv2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem bitsinv2 16409
Description: There is an explicit inverse to the bits function for nonnegative integers, part 2. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsinv2 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Proof of Theorem bitsinv2
Dummy variables π‘˜ π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinel2 4192 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
2 2nn0 12511 . . . . . . 7 2 ∈ β„•0
32a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 2 ∈ β„•0)
4 elfpw 9370 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ (𝐴 βŠ† β„•0 ∧ 𝐴 ∈ Fin))
54simplbi 497 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
65sselda 3978 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
73, 6nn0expcld 14232 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•0)
81, 7fsumnn0cl 15706 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ β„•0)
9 bitsinv1 16408 . . . 4 (Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ β„•0 β†’ Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
108, 9syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
11 bitsss 16392 . . . . . 6 (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) βŠ† β„•0
1211a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) βŠ† β„•0)
13 bitsfi 16403 . . . . . 6 (Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ β„•0 β†’ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin)
148, 13syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin)
15 elfpw 9370 . . . . 5 ((bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ ((bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) βŠ† β„•0 ∧ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin))
1612, 14, 15sylanbrc 582 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
17 oveq2 7422 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘š β†’ (2↑𝑛) = (2β†‘π‘š))
1817cbvsumv 15666 . . . . . 6 Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛) = Ξ£π‘š ∈ π‘˜ (2β†‘π‘š)
19 sumeq1 15659 . . . . . 6 (π‘˜ = (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) β†’ Ξ£π‘š ∈ π‘˜ (2β†‘π‘š) = Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š))
2018, 19eqtrid 2779 . . . . 5 (π‘˜ = (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) β†’ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛) = Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š))
21 eqid 2727 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛)) = (π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))
22 sumex 15658 . . . . 5 Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š) ∈ V
2320, 21, 22fvmpt 6999 . . . 4 ((bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜(bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š))
2416, 23syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜(bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š))
25 sumeq1 15659 . . . 4 (π‘˜ = 𝐴 β†’ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
26 sumex 15658 . . . 4 Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ V
2725, 21, 26fvmpt 6999 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜π΄) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
2810, 24, 273eqtr4d 2777 . 2 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜(bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜π΄))
2921ackbijnn 15798 . . . 4 (π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0
30 f1of1 6832 . . . 4 ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ (π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1β†’β„•0)
3129, 30mp1i 13 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1β†’β„•0)
32 id 22 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ 𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
33 f1fveq 7266 . . 3 (((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1β†’β„•0 ∧ ((bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))) β†’ (((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜(bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜π΄) ↔ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴))
3431, 16, 32, 33syl12anc 836 . 2 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜(bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜π΄) ↔ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴))
3528, 34mpbid 231 1 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  π’« cpw 4598   ↦ cmpt 5225  β€“1-1β†’wf1 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8955  2c2 12289  β„•0cn0 12494  β†‘cexp 14050  Ξ£csu 15656  bitscbits 16385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-sum 15657  df-dvds 16223  df-bits 16388
This theorem is referenced by:  bitsf1ocnv  16410  2ebits  16413
  Copyright terms: Public domain W3C validator