MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsinv2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem bitsinv2 16388
Description: There is an explicit inverse to the bits function for nonnegative integers, part 2. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsinv2 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Proof of Theorem bitsinv2
Dummy variables π‘˜ π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinel2 4195 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
2 2nn0 12493 . . . . . . 7 2 ∈ β„•0
32a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 2 ∈ β„•0)
4 elfpw 9356 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ (𝐴 βŠ† β„•0 ∧ 𝐴 ∈ Fin))
54simplbi 496 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
65sselda 3981 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
73, 6nn0expcld 14213 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•0)
81, 7fsumnn0cl 15686 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ β„•0)
9 bitsinv1 16387 . . . 4 (Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ β„•0 β†’ Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
108, 9syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
11 bitsss 16371 . . . . . 6 (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) βŠ† β„•0
1211a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) βŠ† β„•0)
13 bitsfi 16382 . . . . . 6 (Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ β„•0 β†’ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin)
148, 13syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin)
15 elfpw 9356 . . . . 5 ((bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ ((bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) βŠ† β„•0 ∧ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin))
1612, 14, 15sylanbrc 581 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
17 oveq2 7419 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘š β†’ (2↑𝑛) = (2β†‘π‘š))
1817cbvsumv 15646 . . . . . 6 Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛) = Ξ£π‘š ∈ π‘˜ (2β†‘π‘š)
19 sumeq1 15639 . . . . . 6 (π‘˜ = (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) β†’ Ξ£π‘š ∈ π‘˜ (2β†‘π‘š) = Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š))
2018, 19eqtrid 2782 . . . . 5 (π‘˜ = (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) β†’ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛) = Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š))
21 eqid 2730 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛)) = (π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))
22 sumex 15638 . . . . 5 Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š) ∈ V
2320, 21, 22fvmpt 6997 . . . 4 ((bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜(bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š))
2416, 23syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜(bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š))
25 sumeq1 15639 . . . 4 (π‘˜ = 𝐴 β†’ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
26 sumex 15638 . . . 4 Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ V
2725, 21, 26fvmpt 6997 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜π΄) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
2810, 24, 273eqtr4d 2780 . 2 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜(bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜π΄))
2921ackbijnn 15778 . . . 4 (π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0
30 f1of1 6831 . . . 4 ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ (π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1β†’β„•0)
3129, 30mp1i 13 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1β†’β„•0)
32 id 22 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ 𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
33 f1fveq 7263 . . 3 (((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1β†’β„•0 ∧ ((bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))) β†’ (((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜(bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜π΄) ↔ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴))
3431, 16, 32, 33syl12anc 833 . 2 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜(bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜π΄) ↔ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴))
3528, 34mpbid 231 1 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601   ↦ cmpt 5230  β€“1-1β†’wf1 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β†‘cexp 14031  Ξ£csu 15636  bitscbits 16364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-dvds 16202  df-bits 16367
This theorem is referenced by:  bitsf1ocnv  16389  2ebits  16392
  Copyright terms: Public domain W3C validator