MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsinv2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem bitsinv2 16384
Description: There is an explicit inverse to the bits function for nonnegative integers, part 2. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsinv2 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Proof of Theorem bitsinv2
Dummy variables π‘˜ π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinel2 4197 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
2 2nn0 12489 . . . . . . 7 2 ∈ β„•0
32a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 2 ∈ β„•0)
4 elfpw 9354 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ (𝐴 βŠ† β„•0 ∧ 𝐴 ∈ Fin))
54simplbi 499 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
65sselda 3983 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
73, 6nn0expcld 14209 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•0)
81, 7fsumnn0cl 15682 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ β„•0)
9 bitsinv1 16383 . . . 4 (Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ β„•0 β†’ Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
108, 9syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
11 bitsss 16367 . . . . . 6 (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) βŠ† β„•0
1211a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) βŠ† β„•0)
13 bitsfi 16378 . . . . . 6 (Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ β„•0 β†’ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin)
148, 13syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin)
15 elfpw 9354 . . . . 5 ((bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ ((bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) βŠ† β„•0 ∧ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin))
1612, 14, 15sylanbrc 584 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
17 oveq2 7417 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘š β†’ (2↑𝑛) = (2β†‘π‘š))
1817cbvsumv 15642 . . . . . 6 Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛) = Ξ£π‘š ∈ π‘˜ (2β†‘π‘š)
19 sumeq1 15635 . . . . . 6 (π‘˜ = (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) β†’ Ξ£π‘š ∈ π‘˜ (2β†‘π‘š) = Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š))
2018, 19eqtrid 2785 . . . . 5 (π‘˜ = (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) β†’ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛) = Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š))
21 eqid 2733 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛)) = (π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))
22 sumex 15634 . . . . 5 Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š) ∈ V
2320, 21, 22fvmpt 6999 . . . 4 ((bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜(bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š))
2416, 23syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜(bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š))
25 sumeq1 15635 . . . 4 (π‘˜ = 𝐴 β†’ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
26 sumex 15634 . . . 4 Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ V
2725, 21, 26fvmpt 6999 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜π΄) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
2810, 24, 273eqtr4d 2783 . 2 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜(bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜π΄))
2921ackbijnn 15774 . . . 4 (π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0
30 f1of1 6833 . . . 4 ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ (π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1β†’β„•0)
3129, 30mp1i 13 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1β†’β„•0)
32 id 22 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ 𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
33 f1fveq 7261 . . 3 (((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1β†’β„•0 ∧ ((bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))) β†’ (((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜(bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜π΄) ↔ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴))
3431, 16, 32, 33syl12anc 836 . 2 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜(bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜π΄) ↔ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴))
3528, 34mpbid 231 1 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603   ↦ cmpt 5232  β€“1-1β†’wf1 6541  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β†‘cexp 14027  Ξ£csu 15632  bitscbits 16360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-dvds 16198  df-bits 16363
This theorem is referenced by:  bitsf1ocnv  16385  2ebits  16388
  Copyright terms: Public domain W3C validator