MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsinv2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem bitsinv2 16389
Description: There is an explicit inverse to the bits function for nonnegative integers, part 2. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsinv2 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Proof of Theorem bitsinv2
Dummy variables π‘˜ π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinel2 4196 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
2 2nn0 12494 . . . . . . 7 2 ∈ β„•0
32a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 2 ∈ β„•0)
4 elfpw 9357 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ (𝐴 βŠ† β„•0 ∧ 𝐴 ∈ Fin))
54simplbi 497 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
65sselda 3982 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
73, 6nn0expcld 14214 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•0)
81, 7fsumnn0cl 15687 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ β„•0)
9 bitsinv1 16388 . . . 4 (Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ β„•0 β†’ Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
108, 9syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
11 bitsss 16372 . . . . . 6 (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) βŠ† β„•0
1211a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) βŠ† β„•0)
13 bitsfi 16383 . . . . . 6 (Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ β„•0 β†’ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin)
148, 13syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin)
15 elfpw 9357 . . . . 5 ((bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ ((bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) βŠ† β„•0 ∧ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin))
1612, 14, 15sylanbrc 582 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
17 oveq2 7420 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘š β†’ (2↑𝑛) = (2β†‘π‘š))
1817cbvsumv 15647 . . . . . 6 Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛) = Ξ£π‘š ∈ π‘˜ (2β†‘π‘š)
19 sumeq1 15640 . . . . . 6 (π‘˜ = (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) β†’ Ξ£π‘š ∈ π‘˜ (2β†‘π‘š) = Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š))
2018, 19eqtrid 2783 . . . . 5 (π‘˜ = (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) β†’ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛) = Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š))
21 eqid 2731 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛)) = (π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))
22 sumex 15639 . . . . 5 Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š) ∈ V
2320, 21, 22fvmpt 6998 . . . 4 ((bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜(bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š))
2416, 23syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜(bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = Ξ£π‘š ∈ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2β†‘π‘š))
25 sumeq1 15640 . . . 4 (π‘˜ = 𝐴 β†’ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
26 sumex 15639 . . . 4 Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ V
2725, 21, 26fvmpt 6998 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜π΄) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
2810, 24, 273eqtr4d 2781 . 2 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜(bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜π΄))
2921ackbijnn 15779 . . . 4 (π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0
30 f1of1 6832 . . . 4 ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ (π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1β†’β„•0)
3129, 30mp1i 13 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1β†’β„•0)
32 id 22 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ 𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
33 f1fveq 7264 . . 3 (((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1β†’β„•0 ∧ ((bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))) β†’ (((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜(bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜π΄) ↔ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴))
3431, 16, 32, 33syl12anc 834 . 2 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜(bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = ((π‘˜ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ π‘˜ (2↑𝑛))β€˜π΄) ↔ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴))
3528, 34mpbid 231 1 (𝐴 ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (bitsβ€˜Ξ£π‘› ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602   ↦ cmpt 5231  β€“1-1β†’wf1 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8942  2c2 12272  β„•0cn0 12477  β†‘cexp 14032  Ξ£csu 15637  bitscbits 16365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-dvds 16203  df-bits 16368
This theorem is referenced by:  bitsf1ocnv  16390  2ebits  16393
  Copyright terms: Public domain W3C validator