Theorem bitsinv2 16078

Description: There is an explicit inverse to the bits function for nonnegative integers, part 2. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsinv2	⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem bitsinv2

Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinel2 4126	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
2		2nn0 12180	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 2 ∈ ℕ0)
4		elfpw 9051	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ Fin))
5	4	simplbi 497	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
6	5	sselda 3917	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ ℕ0)
7	3, 6	nn0expcld 13889	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
8	1, 7	fsumnn0cl 15376	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
9		bitsinv1 16077	. . . 4 ⊢ (Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ ℕ0 → Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
11		bitsss 16061	. . . . . 6 ⊢ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ⊆ ℕ0
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ⊆ ℕ0)
13		bitsfi 16072	. . . . . 6 ⊢ (Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ ℕ0 → (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin)
14	8, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin)
15		elfpw 9051	. . . . 5 ⊢ ((bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ⊆ ℕ0 ∧ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin))
16	12, 14, 15	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
17		oveq2 7263	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (2↑𝑛) = (2↑𝑚))
18	17	cbvsumv 15336	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛) = Σ𝑚 ∈ 𝑘 (2↑𝑚)
19		sumeq1 15328	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) → Σ𝑚 ∈ 𝑘 (2↑𝑚) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
20	18, 19	eqtrid 2790	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) → Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
21		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛)) = (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))
22		sumex 15327	. . . . 5 ⊢ Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚) ∈ V
23	20, 21, 22	fvmpt 6857	. . . 4 ⊢ ((bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
24	16, 23	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
25		sumeq1 15328	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
26		sumex 15327	. . . 4 ⊢ Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛) ∈ V
27	25, 21, 26	fvmpt 6857	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))
28	10, 24, 27	3eqtr4d 2788	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴))
29	21	ackbijnn 15468	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0
30		f1of1 6699	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0)
31	29, 30	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0)
32		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
33		f1fveq 7116	. . 3 ⊢ (((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0 ∧ ((bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → (((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴) ↔ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴))
34	31, 16, 32, 33	syl12anc 833	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛))) = ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴) ↔ (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴))
35	28, 34	mpbid 231	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4530   ↦ cmpt 5153  –1-1→wf1 6415  –1-1-onto→wf1o 6417  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ↑cexp 13710  Σcsu 15325  bitscbits 16054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-dvds 15892  df-bits 16057

This theorem is referenced by:  bitsf1ocnv  16079  2ebits  16082