Theorem smumullem 16526

Description: Lemma for smumul 16527. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
smumullem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
smumullem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
smumullem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
smumullem	⊢ (𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑁)) · 𝐵)))

Proof of Theorem smumullem

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smumullem.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		oveq2 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = (0..^0))
3		fzo0 13720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^0) = ∅
4	2, 3	eqtrdi 2791	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = ∅)
5	4	ineq2d 4228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝐴) ∩ ∅))
6		in0 4401	. . . . . . . 8 ⊢ ((bits‘𝐴) ∩ ∅) = ∅
7	5, 6	eqtrdi 2791	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) = ∅)
8	7	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (∅ smul (bits‘𝐵)))
9		bitsss 16460	. . . . . . 7 ⊢ (bits‘𝐵) ⊆ ℕ0
10		smu02 16521	. . . . . . 7 ⊢ ((bits‘𝐵) ⊆ ℕ0 → (∅ smul (bits‘𝐵)) = ∅)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∅ smul (bits‘𝐵)) = ∅
12	8, 11	eqtrdi 2791	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = ∅)
13		oveq2 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = (2↑0))
14		2cn 12339	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
15		exp0 14103	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑0) = 1
17	13, 16	eqtrdi 2791	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = 1)
18	17	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴 mod (2↑𝑥)) = (𝐴 mod 1))
19	18	fvoveq1d 7453	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod 1) · 𝐵)))
20	12, 19	eqeq12d 2751	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵)) ↔ ∅ = (bits‘((𝐴 mod 1) · 𝐵))))
21	20	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵))) ↔ (𝜑 → ∅ = (bits‘((𝐴 mod 1) · 𝐵)))))
22		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (0..^𝑥) = (0..^𝑘))
23	22	ineq2d 4228	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)))
24	23	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)))
25		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (2↑𝑥) = (2↑𝑘))
26	25	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐴 mod (2↑𝑥)) = (𝐴 mod (2↑𝑘)))
27	26	fvoveq1d 7453	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)))
28	24, 27	eqeq12d 2751	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵)) ↔ (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵))))
29	28	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵))) ↔ (𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)))))
30		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (0..^𝑥) = (0..^(𝑘 + 1)))
31	30	ineq2d 4228	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
32	31	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)))
33		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (2↑𝑥) = (2↑(𝑘 + 1)))
34	33	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐴 mod (2↑𝑥)) = (𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))))
35	34	fvoveq1d 7453	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)))
36	32, 35	eqeq12d 2751	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵)) ↔ (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵))))
37	36	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵))) ↔ (𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)))))
38		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (0..^𝑥) = (0..^𝑁))
39	38	ineq2d 4228	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))
40	39	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) smul (bits‘𝐵)))
41		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (2↑𝑥) = (2↑𝑁))
42	41	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐴 mod (2↑𝑥)) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
43	42	fvoveq1d 7453	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑁)) · 𝐵)))
44	40, 43	eqeq12d 2751	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵)) ↔ (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑁)) · 𝐵))))
45	44	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵))) ↔ (𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑁)) · 𝐵)))))
46		smumullem.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
47		zmod10 13924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 mod 1) = 0)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 1) = 0)
49	48	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 1) · 𝐵) = (0 · 𝐵))
50		smumullem.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
51	50	zcnd 12721	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
52	51	mul02d 11457	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐵) = 0)
53	49, 52	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 1) · 𝐵) = 0)
54	53	fveq2d 6911	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (bits‘((𝐴 mod 1) · 𝐵)) = (bits‘0))
55		0bits 16473	. . . 4 ⊢ (bits‘0) = ∅
56	54, 55	eqtr2di 2792	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ = (bits‘((𝐴 mod 1) · 𝐵)))
57		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))}) = ((bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))}))
58		bitsss 16460	. . . . . . . . 9 ⊢ (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0
59	58	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0)
60	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘𝐵) ⊆ ℕ0)
61		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
62	59, 60, 61	smup1 16523	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) = ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))}))
63		bitsinv1lem 16475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝐴 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))
64	46, 63	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝐴 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))
65	64	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) = (((𝐴 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)) · 𝐵))
66	46	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
67		2nn 12337	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℕ
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
69	68, 61	nnexpcld 14281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
70	66, 69	zmodcld 13929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑𝑘)) ∈ ℕ0)
71	70	nn0cnd 12587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
72	69	nnnn0d 12585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ0)
73		0nn0 12539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℕ0
74		ifcl 4576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2↑𝑘) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) ∈ ℕ0)
75	72, 73, 74	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) ∈ ℕ0)
76	75	nn0cnd 12587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) ∈ ℂ)
77	51	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
78	71, 76, 77	adddird 11284	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)) · 𝐵) = (((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) + (if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) · 𝐵)))
79	76, 77	mulcomd 11280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) · 𝐵) = (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))
80	79	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) + (if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) · 𝐵)) = (((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) + (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0))))
81	65, 78, 80	3eqtrd 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) = (((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) + (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0))))
82	81	fveq2d 6911	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)) = (bits‘(((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) + (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))))
83	70	nn0zd 12637	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑𝑘)) ∈ ℤ)
84	50	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
85	83, 84	zmulcld 12726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) ∈ ℤ)
86	75	nn0zd 12637	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) ∈ ℤ)
87	84, 86	zmulcld 12726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)) ∈ ℤ)
88		sadadd 16501	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)) ∈ ℤ) → ((bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) sadd (bits‘(𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))) = (bits‘(((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) + (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))))
89	85, 87, 88	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) sadd (bits‘(𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))) = (bits‘(((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) + (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))))
90		oveq2 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2↑𝑘) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) → (𝐵 · (2↑𝑘)) = (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))
91	90	fveqeq2d 6915	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2↑𝑘) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) → ((bits‘(𝐵 · (2↑𝑘))) = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))} ↔ (bits‘(𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0))) = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))}))
92		oveq2 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) → (𝐵 · 0) = (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))
93	92	fveqeq2d 6915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 = if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) → ((bits‘(𝐵 · 0)) = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))} ↔ (bits‘(𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0))) = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))}))
94		bitsshft 16509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵)} = (bits‘(𝐵 · (2↑𝑘))))
95	50, 94	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵)} = (bits‘(𝐵 · (2↑𝑘))))
96		ibar 528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) → ((𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵) ↔ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))))
97	96	rabbidv 3441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵)} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))})
98	95, 97	sylan9req 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → (bits‘(𝐵 · (2↑𝑘))) = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))})
99	77	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
100	99	mul01d 11458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → (𝐵 · 0) = 0)
101	100	fveq2d 6911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → (bits‘(𝐵 · 0)) = (bits‘0))
102		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴))
103	102	intnanrd 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → ¬ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵)))
104	103	ralrimivw 3148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ¬ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵)))
105		rabeq0 4394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))} = ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ¬ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵)))
106	104, 105	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))} = ∅)
107	55, 101, 106	3eqtr4a 2801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → (bits‘(𝐵 · 0)) = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))})
108	91, 93, 98, 107	ifbothda 4569	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘(𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0))) = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))})
109	108	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) sadd (bits‘(𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))) = ((bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))}))
110	82, 89, 109	3eqtr2d 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)) = ((bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))}))
111	62, 110	eqeq12d 2751	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)) ↔ ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))}) = ((bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))})))
112	57, 111	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵))))
113	112	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)))))
114	113	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵))) → (𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)))))
115	21, 29, 37, 45, 56, 114	nn0ind 12711	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑁)) · 𝐵))))
116	1, 115	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑁)) · 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  {crab 3433   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  ifcif 4531  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   − cmin 11490  ℕcn 12264  2c2 12319  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ..^cfzo 13691   mod cmo 13906  ↑cexp 14099  bitscbits 16453   sadd csad 16454   smul csmu 16455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1509  df-tru 1540  df-fal 1550  df-had 1591  df-cad 1604  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-dvds 16288  df-bits 16456  df-sad 16485  df-smu 16510

This theorem is referenced by:  smumul  16527