Theorem smumullem 16452

Description: Lemma for smumul 16453. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
smumullem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
smumullem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
smumullem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
smumullem	⊢ (𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑁)) · 𝐵)))

Proof of Theorem smumullem

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smumullem.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		oveq2 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = (0..^0))
3		fzo0 13629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^0) = ∅
4	2, 3	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = ∅)
5	4	ineq2d 4161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝐴) ∩ ∅))
6		in0 4336	. . . . . . . 8 ⊢ ((bits‘𝐴) ∩ ∅) = ∅
7	5, 6	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) = ∅)
8	7	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (∅ smul (bits‘𝐵)))
9		bitsss 16386	. . . . . . 7 ⊢ (bits‘𝐵) ⊆ ℕ0
10		smu02 16447	. . . . . . 7 ⊢ ((bits‘𝐵) ⊆ ℕ0 → (∅ smul (bits‘𝐵)) = ∅)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∅ smul (bits‘𝐵)) = ∅
12	8, 11	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = ∅)
13		oveq2 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = (2↑0))
14		2cn 12247	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
15		exp0 14018	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑0) = 1
17	13, 16	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = 1)
18	17	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴 mod (2↑𝑥)) = (𝐴 mod 1))
19	18	fvoveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod 1) · 𝐵)))
20	12, 19	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵)) ↔ ∅ = (bits‘((𝐴 mod 1) · 𝐵))))
21	20	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵))) ↔ (𝜑 → ∅ = (bits‘((𝐴 mod 1) · 𝐵)))))
22		oveq2 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (0..^𝑥) = (0..^𝑘))
23	22	ineq2d 4161	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)))
24	23	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)))
25		oveq2 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (2↑𝑥) = (2↑𝑘))
26	25	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐴 mod (2↑𝑥)) = (𝐴 mod (2↑𝑘)))
27	26	fvoveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)))
28	24, 27	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵)) ↔ (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵))))
29	28	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵))) ↔ (𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)))))
30		oveq2 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (0..^𝑥) = (0..^(𝑘 + 1)))
31	30	ineq2d 4161	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
32	31	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)))
33		oveq2 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (2↑𝑥) = (2↑(𝑘 + 1)))
34	33	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐴 mod (2↑𝑥)) = (𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))))
35	34	fvoveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)))
36	32, 35	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵)) ↔ (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵))))
37	36	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵))) ↔ (𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)))))
38		oveq2 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (0..^𝑥) = (0..^𝑁))
39	38	ineq2d 4161	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))
40	39	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) smul (bits‘𝐵)))
41		oveq2 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (2↑𝑥) = (2↑𝑁))
42	41	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐴 mod (2↑𝑥)) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
43	42	fvoveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑁)) · 𝐵)))
44	40, 43	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵)) ↔ (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑁)) · 𝐵))))
45	44	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵))) ↔ (𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑁)) · 𝐵)))))
46		smumullem.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
47		zmod10 13837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 mod 1) = 0)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 1) = 0)
49	48	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 1) · 𝐵) = (0 · 𝐵))
50		smumullem.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
51	50	zcnd 12625	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
52	51	mul02d 11335	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐵) = 0)
53	49, 52	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 1) · 𝐵) = 0)
54	53	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (bits‘((𝐴 mod 1) · 𝐵)) = (bits‘0))
55		0bits 16399	. . . 4 ⊢ (bits‘0) = ∅
56	54, 55	eqtr2di 2789	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ = (bits‘((𝐴 mod 1) · 𝐵)))
57		oveq1 7367	. . . . . 6 ⊢ ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))}) = ((bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))}))
58		bitsss 16386	. . . . . . . . 9 ⊢ (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0
59	58	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0)
60	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘𝐵) ⊆ ℕ0)
61		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
62	59, 60, 61	smup1 16449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) = ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))}))
63		bitsinv1lem 16401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝐴 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))
64	46, 63	sylan 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝐴 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))
65	64	oveq1d 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) = (((𝐴 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)) · 𝐵))
66	46	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
67		2nn 12245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℕ
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
69	68, 61	nnexpcld 14198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
70	66, 69	zmodcld 13842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑𝑘)) ∈ ℕ0)
71	70	nn0cnd 12491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
72	69	nnnn0d 12489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ0)
73		0nn0 12443	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℕ0
74		ifcl 4513	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2↑𝑘) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) ∈ ℕ0)
75	72, 73, 74	sylancl 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) ∈ ℕ0)
76	75	nn0cnd 12491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) ∈ ℂ)
77	51	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
78	71, 76, 77	adddird 11161	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)) · 𝐵) = (((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) + (if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) · 𝐵)))
79	76, 77	mulcomd 11157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) · 𝐵) = (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))
80	79	oveq2d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) + (if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) · 𝐵)) = (((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) + (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0))))
81	65, 78, 80	3eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) = (((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) + (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0))))
82	81	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)) = (bits‘(((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) + (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))))
83	70	nn0zd 12540	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑𝑘)) ∈ ℤ)
84	50	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
85	83, 84	zmulcld 12630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) ∈ ℤ)
86	75	nn0zd 12540	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) ∈ ℤ)
87	84, 86	zmulcld 12630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)) ∈ ℤ)
88		sadadd 16427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)) ∈ ℤ) → ((bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) sadd (bits‘(𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))) = (bits‘(((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) + (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))))
89	85, 87, 88	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) sadd (bits‘(𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))) = (bits‘(((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) + (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))))
90		oveq2 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2↑𝑘) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) → (𝐵 · (2↑𝑘)) = (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))
91	90	fveqeq2d 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2↑𝑘) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) → ((bits‘(𝐵 · (2↑𝑘))) = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))} ↔ (bits‘(𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0))) = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))}))
92		oveq2 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) → (𝐵 · 0) = (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))
93	92	fveqeq2d 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 = if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) → ((bits‘(𝐵 · 0)) = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))} ↔ (bits‘(𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0))) = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))}))
94		bitsshft 16435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵)} = (bits‘(𝐵 · (2↑𝑘))))
95	50, 94	sylan 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵)} = (bits‘(𝐵 · (2↑𝑘))))
96		ibar 528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) → ((𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵) ↔ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))))
97	96	rabbidv 3397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵)} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))})
98	95, 97	sylan9req 2793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → (bits‘(𝐵 · (2↑𝑘))) = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))})
99	77	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
100	99	mul01d 11336	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → (𝐵 · 0) = 0)
101	100	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → (bits‘(𝐵 · 0)) = (bits‘0))
102		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴))
103	102	intnanrd 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → ¬ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵)))
104	103	ralrimivw 3134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ¬ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵)))
105		rabeq0 4329	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))} = ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ¬ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵)))
106	104, 105	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))} = ∅)
107	55, 101, 106	3eqtr4a 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → (bits‘(𝐵 · 0)) = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))})
108	91, 93, 98, 107	ifbothda 4506	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘(𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0))) = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))})
109	108	oveq2d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) sadd (bits‘(𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))) = ((bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))}))
110	82, 89, 109	3eqtr2d 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)) = ((bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))}))
111	62, 110	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)) ↔ ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))}) = ((bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))})))
112	57, 111	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵))))
113	112	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)))))
114	113	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵))) → (𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)))))
115	21, 29, 37, 45, 56, 114	nn0ind 12615	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑁)) · 𝐵))))
116	1, 115	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑁)) · 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3390   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ifcif 4467  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   − cmin 11368  ℕcn 12165  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ..^cfzo 13599   mod cmo 13819  ↑cexp 14014  bitscbits 16379   sadd csad 16380   smul csmu 16381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1514  df-tru 1545  df-fal 1555  df-had 1596  df-cad 1609  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-dvds 16213  df-bits 16382  df-sad 16411  df-smu 16436

This theorem is referenced by:  smumul  16453