Theorem smumullem 16421

Description: Lemma for smumul 16422. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
smumullem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
smumullem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
smumullem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
smumullem	⊢ (𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑁)) · 𝐵)))

Proof of Theorem smumullem

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smumullem.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		oveq2 7361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = (0..^0))
3		fzo0 13604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^0) = ∅
4	2, 3	eqtrdi 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = ∅)
5	4	ineq2d 4173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝐴) ∩ ∅))
6		in0 4348	. . . . . . . 8 ⊢ ((bits‘𝐴) ∩ ∅) = ∅
7	5, 6	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) = ∅)
8	7	oveq1d 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (∅ smul (bits‘𝐵)))
9		bitsss 16355	. . . . . . 7 ⊢ (bits‘𝐵) ⊆ ℕ0
10		smu02 16416	. . . . . . 7 ⊢ ((bits‘𝐵) ⊆ ℕ0 → (∅ smul (bits‘𝐵)) = ∅)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∅ smul (bits‘𝐵)) = ∅
12	8, 11	eqtrdi 2780	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = ∅)
13		oveq2 7361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = (2↑0))
14		2cn 12221	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
15		exp0 13990	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑0) = 1
17	13, 16	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = 1)
18	17	oveq2d 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴 mod (2↑𝑥)) = (𝐴 mod 1))
19	18	fvoveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod 1) · 𝐵)))
20	12, 19	eqeq12d 2745	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵)) ↔ ∅ = (bits‘((𝐴 mod 1) · 𝐵))))
21	20	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵))) ↔ (𝜑 → ∅ = (bits‘((𝐴 mod 1) · 𝐵)))))
22		oveq2 7361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (0..^𝑥) = (0..^𝑘))
23	22	ineq2d 4173	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)))
24	23	oveq1d 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)))
25		oveq2 7361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (2↑𝑥) = (2↑𝑘))
26	25	oveq2d 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐴 mod (2↑𝑥)) = (𝐴 mod (2↑𝑘)))
27	26	fvoveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)))
28	24, 27	eqeq12d 2745	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵)) ↔ (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵))))
29	28	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵))) ↔ (𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)))))
30		oveq2 7361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (0..^𝑥) = (0..^(𝑘 + 1)))
31	30	ineq2d 4173	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
32	31	oveq1d 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)))
33		oveq2 7361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (2↑𝑥) = (2↑(𝑘 + 1)))
34	33	oveq2d 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐴 mod (2↑𝑥)) = (𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))))
35	34	fvoveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)))
36	32, 35	eqeq12d 2745	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵)) ↔ (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵))))
37	36	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵))) ↔ (𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)))))
38		oveq2 7361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (0..^𝑥) = (0..^𝑁))
39	38	ineq2d 4173	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))
40	39	oveq1d 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) smul (bits‘𝐵)))
41		oveq2 7361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (2↑𝑥) = (2↑𝑁))
42	41	oveq2d 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐴 mod (2↑𝑥)) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
43	42	fvoveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑁)) · 𝐵)))
44	40, 43	eqeq12d 2745	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵)) ↔ (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑁)) · 𝐵))))
45	44	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵))) ↔ (𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑁)) · 𝐵)))))
46		smumullem.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
47		zmod10 13809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 mod 1) = 0)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 1) = 0)
49	48	oveq1d 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 1) · 𝐵) = (0 · 𝐵))
50		smumullem.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
51	50	zcnd 12599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
52	51	mul02d 11332	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐵) = 0)
53	49, 52	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 1) · 𝐵) = 0)
54	53	fveq2d 6830	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (bits‘((𝐴 mod 1) · 𝐵)) = (bits‘0))
55		0bits 16368	. . . 4 ⊢ (bits‘0) = ∅
56	54, 55	eqtr2di 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ = (bits‘((𝐴 mod 1) · 𝐵)))
57		oveq1 7360	. . . . . 6 ⊢ ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))}) = ((bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))}))
58		bitsss 16355	. . . . . . . . 9 ⊢ (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0
59	58	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0)
60	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘𝐵) ⊆ ℕ0)
61		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
62	59, 60, 61	smup1 16418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) = ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))}))
63		bitsinv1lem 16370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝐴 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))
64	46, 63	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝐴 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))
65	64	oveq1d 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) = (((𝐴 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)) · 𝐵))
66	46	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
67		2nn 12219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℕ
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
69	68, 61	nnexpcld 14170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
70	66, 69	zmodcld 13814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑𝑘)) ∈ ℕ0)
71	70	nn0cnd 12465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
72	69	nnnn0d 12463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ0)
73		0nn0 12417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℕ0
74		ifcl 4524	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2↑𝑘) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) ∈ ℕ0)
75	72, 73, 74	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) ∈ ℕ0)
76	75	nn0cnd 12465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) ∈ ℂ)
77	51	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
78	71, 76, 77	adddird 11159	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)) · 𝐵) = (((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) + (if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) · 𝐵)))
79	76, 77	mulcomd 11155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) · 𝐵) = (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))
80	79	oveq2d 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) + (if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) · 𝐵)) = (((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) + (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0))))
81	65, 78, 80	3eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) = (((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) + (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0))))
82	81	fveq2d 6830	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)) = (bits‘(((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) + (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))))
83	70	nn0zd 12515	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑𝑘)) ∈ ℤ)
84	50	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
85	83, 84	zmulcld 12604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) ∈ ℤ)
86	75	nn0zd 12515	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) ∈ ℤ)
87	84, 86	zmulcld 12604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)) ∈ ℤ)
88		sadadd 16396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)) ∈ ℤ) → ((bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) sadd (bits‘(𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))) = (bits‘(((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) + (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))))
89	85, 87, 88	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) sadd (bits‘(𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))) = (bits‘(((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) + (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))))
90		oveq2 7361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2↑𝑘) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) → (𝐵 · (2↑𝑘)) = (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))
91	90	fveqeq2d 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2↑𝑘) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) → ((bits‘(𝐵 · (2↑𝑘))) = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))} ↔ (bits‘(𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0))) = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))}))
92		oveq2 7361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) → (𝐵 · 0) = (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))
93	92	fveqeq2d 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 = if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) → ((bits‘(𝐵 · 0)) = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))} ↔ (bits‘(𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0))) = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))}))
94		bitsshft 16404	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵)} = (bits‘(𝐵 · (2↑𝑘))))
95	50, 94	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵)} = (bits‘(𝐵 · (2↑𝑘))))
96		ibar 528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) → ((𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵) ↔ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))))
97	96	rabbidv 3404	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵)} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))})
98	95, 97	sylan9req 2785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → (bits‘(𝐵 · (2↑𝑘))) = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))})
99	77	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
100	99	mul01d 11333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → (𝐵 · 0) = 0)
101	100	fveq2d 6830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → (bits‘(𝐵 · 0)) = (bits‘0))
102		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴))
103	102	intnanrd 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → ¬ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵)))
104	103	ralrimivw 3125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ¬ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵)))
105		rabeq0 4341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))} = ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ¬ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵)))
106	104, 105	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))} = ∅)
107	55, 101, 106	3eqtr4a 2790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → (bits‘(𝐵 · 0)) = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))})
108	91, 93, 98, 107	ifbothda 4517	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘(𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0))) = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))})
109	108	oveq2d 7369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) sadd (bits‘(𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))) = ((bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))}))
110	82, 89, 109	3eqtr2d 2770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)) = ((bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))}))
111	62, 110	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)) ↔ ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))}) = ((bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ (bits‘𝐵))})))
112	57, 111	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵))))
113	112	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)))))
114	113	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵))) → (𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)))))
115	21, 29, 37, 45, 56, 114	nn0ind 12589	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑁)) · 𝐵))))
116	1, 115	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑁)) · 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3396   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ifcif 4478  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   − cmin 11365  ℕcn 12146  2c2 12201  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  ..^cfzo 13575   mod cmo 13791  ↑cexp 13986  bitscbits 16348   sadd csad 16349   smul csmu 16350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-had 1594  df-cad 1607  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-disj 5063  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612  df-dvds 16182  df-bits 16351  df-sad 16380  df-smu 16405

This theorem is referenced by:  smumul  16422