MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smumullem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smumullem 15829
Description: Lemma for smumul 15830. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smumullem.a (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
smumullem.b (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
smumullem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
smumullem (𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑁)) · 𝐵)))

Proof of Theorem smumullem
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smumullem.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 oveq2 7153 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = (0..^0))
3 fzo0 13049 . . . . . . . . . 10 (0..^0) = ∅
42, 3syl6eq 2869 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = ∅)
54ineq2d 4186 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝐴) ∩ ∅))
6 in0 4342 . . . . . . . 8 ((bits‘𝐴) ∩ ∅) = ∅
75, 6syl6eq 2869 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) = ∅)
87oveq1d 7160 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (∅ smul (bits‘𝐵)))
9 bitsss 15763 . . . . . . 7 (bits‘𝐵) ⊆ ℕ0
10 smu02 15824 . . . . . . 7 ((bits‘𝐵) ⊆ ℕ0 → (∅ smul (bits‘𝐵)) = ∅)
119, 10ax-mp 5 . . . . . 6 (∅ smul (bits‘𝐵)) = ∅
128, 11syl6eq 2869 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = ∅)
13 oveq2 7153 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = (2↑0))
14 2cn 11700 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
15 exp0 13421 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8 (2↑0) = 1
1713, 16syl6eq 2869 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = 1)
1817oveq2d 7161 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝐴 mod (2↑𝑥)) = (𝐴 mod 1))
1918fvoveq1d 7167 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod 1) · 𝐵)))
2012, 19eqeq12d 2834 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵)) ↔ ∅ = (bits‘((𝐴 mod 1) · 𝐵))))
2120imbi2d 342 . . 3 (𝑥 = 0 → ((𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵))) ↔ (𝜑 → ∅ = (bits‘((𝐴 mod 1) · 𝐵)))))
22 oveq2 7153 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (0..^𝑥) = (0..^𝑘))
2322ineq2d 4186 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)))
2423oveq1d 7160 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)))
25 oveq2 7153 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (2↑𝑥) = (2↑𝑘))
2625oveq2d 7161 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝐴 mod (2↑𝑥)) = (𝐴 mod (2↑𝑘)))
2726fvoveq1d 7167 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)))
2824, 27eqeq12d 2834 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵)) ↔ (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵))))
2928imbi2d 342 . . 3 (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵))) ↔ (𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)))))
30 oveq2 7153 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (0..^𝑥) = (0..^(𝑘 + 1)))
3130ineq2d 4186 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
3231oveq1d 7160 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)))
33 oveq2 7153 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (2↑𝑥) = (2↑(𝑘 + 1)))
3433oveq2d 7161 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐴 mod (2↑𝑥)) = (𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))))
3534fvoveq1d 7167 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)))
3632, 35eqeq12d 2834 . . . 4 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵)) ↔ (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵))))
3736imbi2d 342 . . 3 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵))) ↔ (𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)))))
38 oveq2 7153 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (0..^𝑥) = (0..^𝑁))
3938ineq2d 4186 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))
4039oveq1d 7160 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) smul (bits‘𝐵)))
41 oveq2 7153 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (2↑𝑥) = (2↑𝑁))
4241oveq2d 7161 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (𝐴 mod (2↑𝑥)) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
4342fvoveq1d 7167 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑁)) · 𝐵)))
4440, 43eqeq12d 2834 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵)) ↔ (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑁)) · 𝐵))))
4544imbi2d 342 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑥)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑥)) · 𝐵))) ↔ (𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑁)) · 𝐵)))))
46 smumullem.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
47 zmod10 13243 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 mod 1) = 0)
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 mod 1) = 0)
4948oveq1d 7160 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 mod 1) · 𝐵) = (0 · 𝐵))
50 smumullem.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
5150zcnd 12076 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
5251mul02d 10826 . . . . . 6 (𝜑 → (0 · 𝐵) = 0)
5349, 52eqtrd 2853 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 mod 1) · 𝐵) = 0)
5453fveq2d 6667 . . . 4 (𝜑 → (bits‘((𝐴 mod 1) · 𝐵)) = (bits‘0))
55 0bits 15776 . . . 4 (bits‘0) = ∅
5654, 55syl6req 2870 . . 3 (𝜑 → ∅ = (bits‘((𝐴 mod 1) · 𝐵)))
57 oveq1 7152 . . . . . 6 ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛𝑘) ∈ (bits‘𝐵))}) = ((bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛𝑘) ∈ (bits‘𝐵))}))
58 bitsss 15763 . . . . . . . . 9 (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0
5958a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0)
609a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘𝐵) ⊆ ℕ0)
61 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6259, 60, 61smup1 15826 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) = ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛𝑘) ∈ (bits‘𝐵))}))
63 bitsinv1lem 15778 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝐴 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))
6446, 63sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝐴 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))
6564oveq1d 7160 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) = (((𝐴 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)) · 𝐵))
6646adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
67 2nn 11698 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℕ
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
6968, 61nnexpcld 13594 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
7066, 69zmodcld 13248 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑𝑘)) ∈ ℕ0)
7170nn0cnd 11945 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
7269nnnn0d 11943 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ0)
73 0nn0 11900 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℕ0
74 ifcl 4507 . . . . . . . . . . . . 13 (((2↑𝑘) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) ∈ ℕ0)
7572, 73, 74sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) ∈ ℕ0)
7675nn0cnd 11945 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) ∈ ℂ)
7751adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
7871, 76, 77adddird 10654 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)) · 𝐵) = (((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) + (if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) · 𝐵)))
7976, 77mulcomd 10650 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) · 𝐵) = (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))
8079oveq2d 7161 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) + (if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) · 𝐵)) = (((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) + (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0))))
8165, 78, 803eqtrd 2857 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) = (((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) + (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0))))
8281fveq2d 6667 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)) = (bits‘(((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) + (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))))
8370nn0zd 12073 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑𝑘)) ∈ ℤ)
8450adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
8583, 84zmulcld 12081 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) ∈ ℤ)
8675nn0zd 12073 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) ∈ ℤ)
8784, 86zmulcld 12081 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)) ∈ ℤ)
88 sadadd 15804 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)) ∈ ℤ) → ((bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) sadd (bits‘(𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))) = (bits‘(((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) + (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))))
8985, 87, 88syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) sadd (bits‘(𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))) = (bits‘(((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵) + (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))))
90 oveq2 7153 . . . . . . . . . . 11 ((2↑𝑘) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) → (𝐵 · (2↑𝑘)) = (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))
9190fveqeq2d 6671 . . . . . . . . . 10 ((2↑𝑘) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) → ((bits‘(𝐵 · (2↑𝑘))) = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛𝑘) ∈ (bits‘𝐵))} ↔ (bits‘(𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0))) = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛𝑘) ∈ (bits‘𝐵))}))
92 oveq2 7153 . . . . . . . . . . 11 (0 = if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) → (𝐵 · 0) = (𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))
9392fveqeq2d 6671 . . . . . . . . . 10 (0 = if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0) → ((bits‘(𝐵 · 0)) = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛𝑘) ∈ (bits‘𝐵))} ↔ (bits‘(𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0))) = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛𝑘) ∈ (bits‘𝐵))}))
94 bitsshft 15812 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑛𝑘) ∈ (bits‘𝐵)} = (bits‘(𝐵 · (2↑𝑘))))
9550, 94sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑛𝑘) ∈ (bits‘𝐵)} = (bits‘(𝐵 · (2↑𝑘))))
96 ibar 529 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) → ((𝑛𝑘) ∈ (bits‘𝐵) ↔ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛𝑘) ∈ (bits‘𝐵))))
9796rabbidv 3478 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑛𝑘) ∈ (bits‘𝐵)} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛𝑘) ∈ (bits‘𝐵))})
9895, 97sylan9req 2874 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → (bits‘(𝐵 · (2↑𝑘))) = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛𝑘) ∈ (bits‘𝐵))})
9977adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
10099mul01d 10827 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → (𝐵 · 0) = 0)
101100fveq2d 6667 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → (bits‘(𝐵 · 0)) = (bits‘0))
102 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴))
103102intnanrd 490 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → ¬ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛𝑘) ∈ (bits‘𝐵)))
104103ralrimivw 3180 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ¬ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛𝑘) ∈ (bits‘𝐵)))
105 rabeq0 4335 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛𝑘) ∈ (bits‘𝐵))} = ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ¬ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛𝑘) ∈ (bits‘𝐵)))
106104, 105sylibr 235 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛𝑘) ∈ (bits‘𝐵))} = ∅)
10755, 101, 1063eqtr4a 2879 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝐴)) → (bits‘(𝐵 · 0)) = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛𝑘) ∈ (bits‘𝐵))})
10891, 93, 98, 107ifbothda 4500 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘(𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0))) = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛𝑘) ∈ (bits‘𝐵))})
109108oveq2d 7161 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) sadd (bits‘(𝐵 · if(𝑘 ∈ (bits‘𝐴), (2↑𝑘), 0)))) = ((bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛𝑘) ∈ (bits‘𝐵))}))
11082, 89, 1093eqtr2d 2859 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)) = ((bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛𝑘) ∈ (bits‘𝐵))}))
11162, 110eqeq12d 2834 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)) ↔ ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛𝑘) ∈ (bits‘𝐵))}) = ((bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ (bits‘𝐴) ∧ (𝑛𝑘) ∈ (bits‘𝐵))})))
11257, 111syl5ibr 247 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵))))
113112expcom 414 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵)) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)))))
114113a2d 29 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑘)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑘)) · 𝐵))) → (𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)))))
11521, 29, 37, 45, 56, 114nn0ind 12065 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑁)) · 𝐵))))
1161, 115mpcom 38 1 (𝜑 → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑𝑁)) · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  {crab 3139  cin 3932  wss 3933  c0 4288  ifcif 4463  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cmin 10858  cn 11626  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  ..^cfzo 13021   mod cmo 13225  cexp 13417  bitscbits 15756   sadd csad 15757   smul csmu 15758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-xor 1496  df-tru 1531  df-fal 1541  df-had 1585  df-cad 1599  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-dvds 15596  df-bits 15759  df-sad 15788  df-smu 15813
This theorem is referenced by:  smumul  15830
  Copyright terms: Public domain W3C validator