Theorem bj-rrhatsscchat 38425

Description: The real projective line is included in the complex projective line. (Contributed by BJ, 27-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-rrhatsscchat	⊢ ℝ̂ ⊆ ℂ̂

Proof of Theorem bj-rrhatsscchat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axresscn 11272	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		unss1 4186	. . 3 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → (ℝ ∪ {∞}) ⊆ (ℂ ∪ {∞}))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℝ ∪ {∞}) ⊆ (ℂ ∪ {∞})
4		df-bj-rrhat 38424	. 2 ⊢ ℝ̂ = (ℝ ∪ {∞})
5		df-bj-cchat 38422	. 2 ⊢ ℂ̂ = (ℂ ∪ {∞})
6	3, 4, 5	3sstr4i 3964	1 ⊢ ℝ̂ ⊆ ℂ̂

This proof depends on syntax axioms:   ⊆ wss 3900   ∪ cun 4152  {csn 4588  ℂcc 11237  ℝcr 11238  ∞cinfty 38419  ℂ̂ccchat 38421  ℝ̂crrhat 38423

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-omul 8519  df-er 8755  df-ec 8757  df-qs 8761  df-ni 10996  df-pli 10997  df-mi 10998  df-lti 10999  df-plpq 11032  df-mpq 11033  df-ltpq 11034  df-enq 11035  df-nq 11036  df-erq 11037  df-plq 11038  df-mq 11039  df-1nq 11040  df-rq 11041  df-ltnq 11042  df-np 11105  df-1p 11106  df-enr 11179  df-nr 11180  df-0r 11184  df-c 11245  df-r 11249  df-bj-cchat 38422  df-bj-rrhat 38424

This theorem is used by: (None)