Theorem bj-rrhatsscchat 37151

Description: The real projective line is included in the complex projective line. (Contributed by BJ, 27-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-rrhatsscchat	⊢ ℝ̂ ⊆ ℂ̂

Proof of Theorem bj-rrhatsscchat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axresscn 11213	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		unss1 4202	. . 3 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → (ℝ ∪ {∞}) ⊆ (ℂ ∪ {∞}))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℝ ∪ {∞}) ⊆ (ℂ ∪ {∞})
4		df-bj-rrhat 37150	. 2 ⊢ ℝ̂ = (ℝ ∪ {∞})
5		df-bj-cchat 37148	. 2 ⊢ ℂ̂ = (ℂ ∪ {∞})
6	3, 4, 5	3sstr4i 4046	1 ⊢ ℝ̂ ⊆ ℂ̂

Syntax hints:   ∪ cun 3968   ⊆ wss 3970  {csn 4648  ℂcc 11178  ℝcr 11179  ∞cinfty 37145  ℂ̂ccchat 37147  ℝ̂crrhat 37149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-inf2 9706

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-oadd 8522  df-omul 8523  df-er 8759  df-ec 8761  df-qs 8765  df-ni 10937  df-pli 10938  df-mi 10939  df-lti 10940  df-plpq 10973  df-mpq 10974  df-ltpq 10975  df-enq 10976  df-nq 10977  df-erq 10978  df-plq 10979  df-mq 10980  df-1nq 10981  df-rq 10982  df-ltnq 10983  df-np 11046  df-1p 11047  df-enr 11120  df-nr 11121  df-0r 11125  df-c 11186  df-r 11190  df-bj-cchat 37148  df-bj-rrhat 37150

This theorem is referenced by: (None)