Theorem bj-rrhatsscchat 37221

Description: The real projective line is included in the complex projective line. (Contributed by BJ, 27-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-rrhatsscchat	⊢ ℝ̂ ⊆ ℂ̂

Proof of Theorem bj-rrhatsscchat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axresscn 11119	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		unss1 4156	. . 3 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → (ℝ ∪ {∞}) ⊆ (ℂ ∪ {∞}))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℝ ∪ {∞}) ⊆ (ℂ ∪ {∞})
4		df-bj-rrhat 37220	. 2 ⊢ ℝ̂ = (ℝ ∪ {∞})
5		df-bj-cchat 37218	. 2 ⊢ ℂ̂ = (ℂ ∪ {∞})
6	3, 4, 5	3sstr4i 4006	1 ⊢ ℝ̂ ⊆ ℂ̂

Syntax hints:   ∪ cun 3920   ⊆ wss 3922  {csn 4597  ℂcc 11084  ℝcr 11085  ∞cinfty 37215  ℂ̂ccchat 37217  ℝ̂crrhat 37219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-inf2 9612

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-int 4919  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-oadd 8447  df-omul 8448  df-er 8682  df-ec 8684  df-qs 8688  df-ni 10843  df-pli 10844  df-mi 10845  df-lti 10846  df-plpq 10879  df-mpq 10880  df-ltpq 10881  df-enq 10882  df-nq 10883  df-erq 10884  df-plq 10885  df-mq 10886  df-1nq 10887  df-rq 10888  df-ltnq 10889  df-np 10952  df-1p 10953  df-enr 11026  df-nr 11027  df-0r 11031  df-c 11092  df-r 11096  df-bj-cchat 37218  df-bj-rrhat 37220

This theorem is referenced by: (None)