Theorem bj-rrhatsscchat 38297

Description: The real projective line is included in the complex projective line. (Contributed by BJ, 27-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-rrhatsscchat	⊢ ℝ̂ ⊆ ℂ̂

Proof of Theorem bj-rrhatsscchat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axresscn 11243	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		unss1 4185	. . 3 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → (ℝ ∪ {∞}) ⊆ (ℂ ∪ {∞}))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℝ ∪ {∞}) ⊆ (ℂ ∪ {∞})
4		df-bj-rrhat 38296	. 2 ⊢ ℝ̂ = (ℝ ∪ {∞})
5		df-bj-cchat 38294	. 2 ⊢ ℂ̂ = (ℂ ∪ {∞})
6	3, 4, 5	3sstr4i 3963	1 ⊢ ℝ̂ ⊆ ℂ̂

This proof depends on syntax axioms:   ⊆ wss 3899   ∪ cun 4151  {csn 4587  ℂcc 11208  ℝcr 11209  ∞cinfty 38291  ℂ̂ccchat 38293  ℝ̂crrhat 38295

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-inf2 9652

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8728  df-ec 8730  df-qs 8734  df-ni 10967  df-pli 10968  df-mi 10969  df-lti 10970  df-plpq 11003  df-mpq 11004  df-ltpq 11005  df-enq 11006  df-nq 11007  df-erq 11008  df-plq 11009  df-mq 11010  df-1nq 11011  df-rq 11012  df-ltnq 11013  df-np 11076  df-1p 11077  df-enr 11150  df-nr 11151  df-0r 11155  df-c 11216  df-r 11220  df-bj-cchat 38294  df-bj-rrhat 38296

This theorem is used by: (None)