Theorem axresscn 11243

Description: The real numbers are a subset of the complex numbers. Axiom 1 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-resscn 11267. (Contributed by NM, 1-Mar-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axresscn	⊢ ℝ ⊆ ℂ

Proof of Theorem axresscn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 11175	. . 3 ⊢ 0R ∈ R
2		snssi 4745	. . 3 ⊢ (0R ∈ R → {0R} ⊆ R)
3		xpss2 5674	. . 3 ⊢ ({0R} ⊆ R → (R × {0R}) ⊆ (R × R))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. 2 ⊢ (R × {0R}) ⊆ (R × R)
5		df-r 11220	. 2 ⊢ ℝ = (R × {0R})
6		df-c 11216	. 2 ⊢ ℂ = (R × R)
7	4, 5, 6	3sstr4i 3963	1 ⊢ ℝ ⊆ ℂ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3899  {csn 4587   × cxp 5652  Rcnr 10960  0_Rc0r 10961  ℂcc 11208  ℝcr 11209

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-inf2 9652

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8728  df-ec 8730  df-qs 8734  df-ni 10967  df-pli 10968  df-mi 10969  df-lti 10970  df-plpq 11003  df-mpq 11004  df-ltpq 11005  df-enq 11006  df-nq 11007  df-erq 11008  df-plq 11009  df-mq 11010  df-1nq 11011  df-rq 11012  df-ltnq 11013  df-np 11076  df-1p 11077  df-enr 11150  df-nr 11151  df-0r 11155  df-c 11216  df-r 11220

This theorem is used by:  ax1cn  11244  bj-rrhatsscchat  38297