Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axresscn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axresscn 10573
 Description: The real numbers are a subset of the complex numbers. Axiom 1 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-resscn 10597. (Contributed by NM, 1-Mar-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axresscn ℝ ⊆ ℂ

Proof of Theorem axresscn
StepHypRef Expression
1 0r 10505 . . 3 0RR
2 snssi 4744 . . 3 (0RR → {0R} ⊆ R)
3 xpss2 5578 . . 3 ({0R} ⊆ R → (R × {0R}) ⊆ (R × R))
41, 2, 3mp2b 10 . 2 (R × {0R}) ⊆ (R × R)
5 df-r 10550 . 2 ℝ = (R × {0R})
6 df-c 10546 . 2 ℂ = (R × R)
74, 5, 63sstr4i 4013 1 ℝ ⊆ ℂ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3939  {csn 4570   × cxp 5556  Rcnr 10290  0Rc0r 10291  ℂcc 10538  ℝcr 10539 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-omul 8110  df-er 8292  df-ec 8294  df-qs 8298  df-ni 10297  df-pli 10298  df-mi 10299  df-lti 10300  df-plpq 10333  df-mpq 10334  df-ltpq 10335  df-enq 10336  df-nq 10337  df-erq 10338  df-plq 10339  df-mq 10340  df-1nq 10341  df-rq 10342  df-ltnq 10343  df-np 10406  df-1p 10407  df-enr 10480  df-nr 10481  df-0r 10485  df-c 10546  df-r 10550 This theorem is referenced by:  ax1cn  10574  bj-rrhatsscchat  34522
 Copyright terms: Public domain W3C validator