Theorem axresscn 10903

Description: The real numbers are a subset of the complex numbers. Axiom 1 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-resscn 10927. (Contributed by NM, 1-Mar-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axresscn	⊢ ℝ ⊆ ℂ

Proof of Theorem axresscn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 10835	. . 3 ⊢ 0R ∈ R
2		snssi 4747	. . 3 ⊢ (0R ∈ R → {0R} ⊆ R)
3		xpss2 5609	. . 3 ⊢ ({0R} ⊆ R → (R × {0R}) ⊆ (R × R))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. 2 ⊢ (R × {0R}) ⊆ (R × R)
5		df-r 10880	. 2 ⊢ ℝ = (R × {0R})
6		df-c 10876	. 2 ⊢ ℂ = (R × R)
7	4, 5, 6	3sstr4i 3969	1 ⊢ ℝ ⊆ ℂ

Syntax hints:   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3892  {csn 4567   × cxp 5587  Rcnr 10620  0_Rc0r 10621  ℂcc 10868  ℝcr 10869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-inf2 9375

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-oadd 8290  df-omul 8291  df-er 8479  df-ec 8481  df-qs 8485  df-ni 10627  df-pli 10628  df-mi 10629  df-lti 10630  df-plpq 10663  df-mpq 10664  df-ltpq 10665  df-enq 10666  df-nq 10667  df-erq 10668  df-plq 10669  df-mq 10670  df-1nq 10671  df-rq 10672  df-ltnq 10673  df-np 10736  df-1p 10737  df-enr 10810  df-nr 10811  df-0r 10815  df-c 10876  df-r 10880

This theorem is referenced by:  ax1cn  10904  bj-rrhatsscchat  35401