MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnfsuc 9614
Description: The value of the recursive function ๐ป at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s ๐‘† = dom (๐ด CNF ๐ต)
cantnfs.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
cantnfs.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
cantnfcl.g ๐บ = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))
cantnfcl.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘†)
cantnfval.h ๐ป = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)
Assertion
Ref Expression
cantnfsuc ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ปโ€˜suc ๐พ) = (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐พ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐พ))) +o (๐ปโ€˜๐พ)))
Distinct variable groups:   ๐‘ง,๐‘˜,๐ต   ๐ด,๐‘˜,๐‘ง   ๐‘˜,๐น,๐‘ง   ๐‘†,๐‘˜,๐‘ง   ๐‘˜,๐บ,๐‘ง   ๐‘˜,๐พ,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐ป(๐‘ง,๐‘˜)

Proof of Theorem cantnfsuc
Dummy variables ๐‘ข ๐‘ฃ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfval.h . . . 4 ๐ป = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)
21seqomsuc 8407 . . 3 (๐พ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ปโ€˜suc ๐พ) = (๐พ(๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง))(๐ปโ€˜๐พ)))
32adantl 483 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ปโ€˜suc ๐พ) = (๐พ(๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง))(๐ปโ€˜๐พ)))
4 elex 3465 . . . 4 (๐พ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ๐พ โˆˆ V)
54adantl 483 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ๐พ โˆˆ V)
6 fvex 6859 . . 3 (๐ปโ€˜๐พ) โˆˆ V
7 simpl 484 . . . . . . . 8 ((๐‘ข = ๐พ โˆง ๐‘ฃ = (๐ปโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘ข = ๐พ)
87fveq2d 6850 . . . . . . 7 ((๐‘ข = ๐พ โˆง ๐‘ฃ = (๐ปโ€˜๐พ)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ข) = (๐บโ€˜๐พ))
98oveq2d 7377 . . . . . 6 ((๐‘ข = ๐พ โˆง ๐‘ฃ = (๐ปโ€˜๐พ)) โ†’ (๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ข)) = (๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐พ)))
108fveq2d 6850 . . . . . 6 ((๐‘ข = ๐พ โˆง ๐‘ฃ = (๐ปโ€˜๐พ)) โ†’ (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ข)) = (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐พ)))
119, 10oveq12d 7379 . . . . 5 ((๐‘ข = ๐พ โˆง ๐‘ฃ = (๐ปโ€˜๐พ)) โ†’ ((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ข)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ข))) = ((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐พ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐พ))))
12 simpr 486 . . . . 5 ((๐‘ข = ๐พ โˆง ๐‘ฃ = (๐ปโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘ฃ = (๐ปโ€˜๐พ))
1311, 12oveq12d 7379 . . . 4 ((๐‘ข = ๐พ โˆง ๐‘ฃ = (๐ปโ€˜๐พ)) โ†’ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ข)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ข))) +o ๐‘ฃ) = (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐พ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐พ))) +o (๐ปโ€˜๐พ)))
14 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘ข โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (๐บโ€˜๐‘ข))
1514oveq2d 7377 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘ข โ†’ (๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) = (๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ข)))
1614fveq2d 6850 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘ข โ†’ (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)) = (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ข)))
1715, 16oveq12d 7379 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘ข โ†’ ((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) = ((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ข)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ข))))
1817oveq1d 7376 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘ข โ†’ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง) = (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ข)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ข))) +o ๐‘ง))
19 oveq2 7369 . . . . 5 (๐‘ง = ๐‘ฃ โ†’ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ข)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ข))) +o ๐‘ง) = (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ข)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ข))) +o ๐‘ฃ))
2018, 19cbvmpov 7456 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)) = (๐‘ข โˆˆ V, ๐‘ฃ โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ข)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ข))) +o ๐‘ฃ))
21 ovex 7394 . . . 4 (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐พ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐พ))) +o (๐ปโ€˜๐พ)) โˆˆ V
2213, 20, 21ovmpoa 7514 . . 3 ((๐พ โˆˆ V โˆง (๐ปโ€˜๐พ) โˆˆ V) โ†’ (๐พ(๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง))(๐ปโ€˜๐พ)) = (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐พ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐พ))) +o (๐ปโ€˜๐พ)))
235, 6, 22sylancl 587 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐พ(๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง))(๐ปโ€˜๐พ)) = (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐พ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐พ))) +o (๐ปโ€˜๐พ)))
243, 23eqtrd 2773 1 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ปโ€˜suc ๐พ) = (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐พ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐พ))) +o (๐ปโ€˜๐พ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3447  โˆ…c0 4286   E cep 5540  dom cdm 5637  Oncon0 6321  suc csuc 6323  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โˆˆ cmpo 7363  ฯ‰com 7806   supp csupp 8096  seqฯ‰cseqom 8397   +o coa 8413   ยทo comu 8414   โ†‘o coe 8415  OrdIsocoi 9453   CNF ccnf 9605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-seqom 8398
This theorem is referenced by:  cantnfle  9615  cantnflt  9616  cantnfp1lem3  9624  cantnflem1d  9632  cantnflem1  9633  cnfcomlem  9643
  Copyright terms: Public domain W3C validator