MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnfsuc 9664
Description: The value of the recursive function ๐ป at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s ๐‘† = dom (๐ด CNF ๐ต)
cantnfs.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
cantnfs.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
cantnfcl.g ๐บ = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))
cantnfcl.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘†)
cantnfval.h ๐ป = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)
Assertion
Ref Expression
cantnfsuc ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ปโ€˜suc ๐พ) = (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐พ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐พ))) +o (๐ปโ€˜๐พ)))
Distinct variable groups:   ๐‘ง,๐‘˜,๐ต   ๐ด,๐‘˜,๐‘ง   ๐‘˜,๐น,๐‘ง   ๐‘†,๐‘˜,๐‘ง   ๐‘˜,๐บ,๐‘ง   ๐‘˜,๐พ,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐ป(๐‘ง,๐‘˜)

Proof of Theorem cantnfsuc
Dummy variables ๐‘ข ๐‘ฃ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfval.h . . . 4 ๐ป = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)
21seqomsuc 8456 . . 3 (๐พ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ปโ€˜suc ๐พ) = (๐พ(๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง))(๐ปโ€˜๐พ)))
32adantl 482 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ปโ€˜suc ๐พ) = (๐พ(๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง))(๐ปโ€˜๐พ)))
4 elex 3492 . . . 4 (๐พ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ๐พ โˆˆ V)
54adantl 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ๐พ โˆˆ V)
6 fvex 6904 . . 3 (๐ปโ€˜๐พ) โˆˆ V
7 simpl 483 . . . . . . . 8 ((๐‘ข = ๐พ โˆง ๐‘ฃ = (๐ปโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘ข = ๐พ)
87fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((๐‘ข = ๐พ โˆง ๐‘ฃ = (๐ปโ€˜๐พ)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ข) = (๐บโ€˜๐พ))
98oveq2d 7424 . . . . . 6 ((๐‘ข = ๐พ โˆง ๐‘ฃ = (๐ปโ€˜๐พ)) โ†’ (๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ข)) = (๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐พ)))
108fveq2d 6895 . . . . . 6 ((๐‘ข = ๐พ โˆง ๐‘ฃ = (๐ปโ€˜๐พ)) โ†’ (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ข)) = (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐พ)))
119, 10oveq12d 7426 . . . . 5 ((๐‘ข = ๐พ โˆง ๐‘ฃ = (๐ปโ€˜๐พ)) โ†’ ((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ข)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ข))) = ((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐พ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐พ))))
12 simpr 485 . . . . 5 ((๐‘ข = ๐พ โˆง ๐‘ฃ = (๐ปโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘ฃ = (๐ปโ€˜๐พ))
1311, 12oveq12d 7426 . . . 4 ((๐‘ข = ๐พ โˆง ๐‘ฃ = (๐ปโ€˜๐พ)) โ†’ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ข)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ข))) +o ๐‘ฃ) = (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐พ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐พ))) +o (๐ปโ€˜๐พ)))
14 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘ข โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (๐บโ€˜๐‘ข))
1514oveq2d 7424 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘ข โ†’ (๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) = (๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ข)))
1614fveq2d 6895 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘ข โ†’ (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)) = (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ข)))
1715, 16oveq12d 7426 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘ข โ†’ ((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) = ((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ข)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ข))))
1817oveq1d 7423 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘ข โ†’ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง) = (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ข)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ข))) +o ๐‘ง))
19 oveq2 7416 . . . . 5 (๐‘ง = ๐‘ฃ โ†’ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ข)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ข))) +o ๐‘ง) = (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ข)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ข))) +o ๐‘ฃ))
2018, 19cbvmpov 7503 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)) = (๐‘ข โˆˆ V, ๐‘ฃ โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ข)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ข))) +o ๐‘ฃ))
21 ovex 7441 . . . 4 (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐พ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐พ))) +o (๐ปโ€˜๐พ)) โˆˆ V
2213, 20, 21ovmpoa 7562 . . 3 ((๐พ โˆˆ V โˆง (๐ปโ€˜๐พ) โˆˆ V) โ†’ (๐พ(๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง))(๐ปโ€˜๐พ)) = (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐พ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐พ))) +o (๐ปโ€˜๐พ)))
235, 6, 22sylancl 586 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐พ(๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง))(๐ปโ€˜๐พ)) = (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐พ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐พ))) +o (๐ปโ€˜๐พ)))
243, 23eqtrd 2772 1 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ปโ€˜suc ๐พ) = (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐พ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐พ))) +o (๐ปโ€˜๐พ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  Vcvv 3474  โˆ…c0 4322   E cep 5579  dom cdm 5676  Oncon0 6364  suc csuc 6366  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   โˆˆ cmpo 7410  ฯ‰com 7854   supp csupp 8145  seqฯ‰cseqom 8446   +o coa 8462   ยทo comu 8463   โ†‘o coe 8464  OrdIsocoi 9503   CNF ccnf 9655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-seqom 8447
This theorem is referenced by:  cantnfle  9665  cantnflt  9666  cantnfp1lem3  9674  cantnflem1d  9682  cantnflem1  9683  cnfcomlem  9693
  Copyright terms: Public domain W3C validator