Theorem cardnum 10088

Description: Two ways to express the class of all cardinal numbers, which consists of the finite ordinals in ω plus the transfinite alephs. (Contributed by NM, 10-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
cardnum	⊢ {𝑥 ∣ (card‘𝑥) = 𝑥} = (ω ∪ ran ℵ)

Proof of Theorem cardnum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscard3 10087	. . . 4 ⊢ ((card‘𝑥) = 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ (ω ∪ ran ℵ))
2	1	bicomi 223	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ω ∪ ran ℵ) ↔ (card‘𝑥) = 𝑥)
3	2	eqabi 2869	. 2 ⊢ (ω ∪ ran ℵ) = {𝑥 ∣ (card‘𝑥) = 𝑥}
4	3	eqcomi 2741	1 ⊢ {𝑥 ∣ (card‘𝑥) = 𝑥} = (ω ∪ ran ℵ)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709   ∪ cun 3946  ran crn 5677  ‘cfv 6543  ωcom 7854  cardccrd 9929  ℵcale 9930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-oi 9504  df-har 9551  df-card 9933  df-aleph 9934

This theorem is referenced by:  alephprc  10093