Theorem cardnum 10088

Description: Two ways to express the class of all cardinal numbers, which consists of the finite ordinals in ω plus the transfinite alephs. (Contributed by NM, 10-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
cardnum	⊢ {𝑥 ∣ (card‘𝑥) = 𝑥} = (ω ∪ ran ℵ)

Proof of Theorem cardnum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscard3 10087	. . . 4 ⊢ ((card‘𝑥) = 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ (ω ∪ ran ℵ))
2	1	bicomi 223	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ω ∪ ran ℵ) ↔ (card‘𝑥) = 𝑥)
3	2	eqabi 2863	. 2 ⊢ (ω ∪ ran ℵ) = {𝑥 ∣ (card‘𝑥) = 𝑥}
4	3	eqcomi 2735	1 ⊢ {𝑥 ∣ (card‘𝑥) = 𝑥} = (ω ∪ ran ℵ)

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2703   ∪ cun 3941  ran crn 5670  ‘cfv 6536  ωcom 7851  cardccrd 9929  ℵcale 9930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-oi 9504  df-har 9551  df-card 9933  df-aleph 9934

This theorem is referenced by:  alephprc  10093