Theorem alephprc 9982

Description: The class of all transfinite cardinal numbers (the range of the aleph function) is a proper class. Proposition 10.26 of [TakeutiZaring] p. 90. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
alephprc	⊢ ¬ ran ℵ ∈ V

Proof of Theorem alephprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardprc 9865	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∣ (card‘𝑥) = 𝑥} ∉ V
2	1	neli 3032	. . 3 ⊢ ¬ {𝑥 ∣ (card‘𝑥) = 𝑥} ∈ V
3		cardnum 9977	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∣ (card‘𝑥) = 𝑥} = (ω ∪ ran ℵ)
4	3	eleq1i 2820	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ (card‘𝑥) = 𝑥} ∈ V ↔ (ω ∪ ran ℵ) ∈ V)
5	2, 4	mtbi 322	. 2 ⊢ ¬ (ω ∪ ran ℵ) ∈ V
6		omex 9528	. . 3 ⊢ ω ∈ V
7		unexg 7671	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ ran ℵ ∈ V) → (ω ∪ ran ℵ) ∈ V)
8	6, 7	mpan 690	. 2 ⊢ (ran ℵ ∈ V → (ω ∪ ran ℵ) ∈ V)
9	5, 8	mto 197	1 ⊢ ¬ ran ℵ ∈ V

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  {cab 2708  Vcvv 3434   ∪ cun 3898  ran crn 5615  ‘cfv 6477  ωcom 7791  cardccrd 9820  ℵcale 9821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-inf2 9526

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-oi 9391  df-har 9438  df-card 9824  df-aleph 9825

This theorem is referenced by:  unialeph  9984