Theorem alephprc 10205

Description: The class of all transfinite cardinal numbers (the range of the aleph function) is a proper class. Proposition 10.26 of [TakeutiZaring] p. 90. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
alephprc	⊢ ¬ ran ℵ ∈ V

Proof of Theorem alephprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardprc 10088	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∣ (card‘𝑥) = 𝑥} ∉ V
2	1	neli 3067	. . 3 ⊢ ¬ {𝑥 ∣ (card‘𝑥) = 𝑥} ∈ V
3		cardnum 10200	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∣ (card‘𝑥) = 𝑥} = (ω ∪ ran ℵ)
4	3	eleq1i 2855	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ (card‘𝑥) = 𝑥} ∈ V ↔ (ω ∪ ran ℵ) ∈ V)
5	2, 4	mtbi 325	. 2 ⊢ ¬ (ω ∪ ran ℵ) ∈ V
6		omex 9671	. . 3 ⊢ ω ∈ V
7		unexg 7784	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ ran ℵ ∈ V) → (ω ∪ ran ℵ) ∈ V)
8	6, 7	mpan 703	. 2 ⊢ (ran ℵ ∈ V → (ω ∪ ran ℵ) ∈ V)
9	5, 8	mto 200	1 ⊢ ¬ ran ℵ ∈ V

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741  Vcvv 3454   ∪ cun 4152  ran crn 5656  ‘cfv 6558  ωcom 7901  cardccrd 10043  ℵcale 10044

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-oi 9531  df-har 9578  df-card 10047  df-aleph 10048

This theorem is used by:  unialeph  10207