Theorem alephprc 10082

Description: The class of all transfinite cardinal numbers (the range of the aleph function) is a proper class. Proposition 10.26 of [TakeutiZaring] p. 90. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
alephprc	⊢ ¬ ran ℵ ∈ V

Proof of Theorem alephprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardprc 9965	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∣ (card‘𝑥) = 𝑥} ∉ V
2	1	neli 3064	. . 3 ⊢ ¬ {𝑥 ∣ (card‘𝑥) = 𝑥} ∈ V
3		cardnum 10077	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∣ (card‘𝑥) = 𝑥} = (ω ∪ ran ℵ)
4	3	eleq1i 2852	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ (card‘𝑥) = 𝑥} ∈ V ↔ (ω ∪ ran ℵ) ∈ V)
5	2, 4	mtbi 325	. 2 ⊢ ¬ (ω ∪ ran ℵ) ∈ V
6		omex 9611	. . 3 ⊢ ω ∈ V
7		unexg 7741	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ ran ℵ ∈ V) → (ω ∪ ran ℵ) ∈ V)
8	6, 7	mpan 702	. 2 ⊢ (ran ℵ ∈ V → (ω ∪ ran ℵ) ∈ V)
9	5, 8	mto 200	1 ⊢ ¬ ran ℵ ∈ V

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  {cab 2739  Vcvv 3453   ∪ cun 3902  ran crn 5662  ‘cfv 6536  ωcom 7861  cardccrd 9920  ℵcale 9921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-oi 9471  df-har 9518  df-card 9924  df-aleph 9925

This theorem is referenced by:  unialeph  10084