MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephprc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephprc 10137
Description: The class of all transfinite cardinal numbers (the range of the aleph function) is a proper class. Proposition 10.26 of [TakeutiZaring] p. 90. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
alephprc ¬ ran ℵ ∈ V

Proof of Theorem alephprc
StepHypRef Expression
1 cardprc 10018 . . . 4 {𝑥 ∣ (card‘𝑥) = 𝑥} ∉ V
21neli 3046 . . 3 ¬ {𝑥 ∣ (card‘𝑥) = 𝑥} ∈ V
3 cardnum 10132 . . . 4 {𝑥 ∣ (card‘𝑥) = 𝑥} = (ω ∪ ran ℵ)
43eleq1i 2830 . . 3 ({𝑥 ∣ (card‘𝑥) = 𝑥} ∈ V ↔ (ω ∪ ran ℵ) ∈ V)
52, 4mtbi 322 . 2 ¬ (ω ∪ ran ℵ) ∈ V
6 omex 9681 . . 3 ω ∈ V
7 unexg 7762 . . 3 ((ω ∈ V ∧ ran ℵ ∈ V) → (ω ∪ ran ℵ) ∈ V)
86, 7mpan 690 . 2 (ran ℵ ∈ V → (ω ∪ ran ℵ) ∈ V)
95, 8mto 197 1 ¬ ran ℵ ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  Vcvv 3478  cun 3961  ran crn 5690  cfv 6563  ωcom 7887  cardccrd 9973  cale 9974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-oi 9548  df-har 9595  df-card 9977  df-aleph 9978
This theorem is referenced by:  unialeph  10139
  Copyright terms: Public domain W3C validator