Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdleme19.l |
. . 3
β’ β€ =
(leβπΎ) |
2 | | cdleme19.j |
. . 3
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
3 | | cdleme19.m |
. . 3
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
4 | | cdleme19.a |
. . 3
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
5 | | cdleme19.h |
. . 3
β’ π» = (LHypβπΎ) |
6 | | cdleme19.u |
. . 3
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
7 | | cdleme19.f |
. . 3
β’ πΉ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
8 | | cdleme19.g |
. . 3
β’ πΊ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
9 | | cdleme19.d |
. . 3
β’ π· = ((π
β¨ π) β§ π) |
10 | | cdleme19.y |
. . 3
β’ π = ((π
β¨ π) β§ π) |
11 | | cdleme20.v |
. . 3
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
12 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11 | cdleme20d 38821 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β ((πΉ β¨ πΊ) β§ (π· β¨ π)) = π) |
13 | | simp11l 1285 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β πΎ β HL) |
14 | 13 | hllatd 37872 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β πΎ β Lat) |
15 | | simp21l 1291 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
16 | | simp22l 1293 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
17 | | eqid 2733 |
. . . . . 6
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
18 | 17, 2, 4 | hlatjcl 37875 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
19 | 13, 15, 16, 18 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
20 | | simp11r 1286 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β π») |
21 | 17, 5 | lhpbase 38507 |
. . . . 5
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
22 | 20, 21 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
23 | 17, 1, 3 | latmle1 18358 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ π) β€ (π β¨ π)) |
24 | 14, 19, 22, 23 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ π) β€ (π β¨ π)) |
25 | 11, 24 | eqbrtrid 5141 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β€ (π β¨ π)) |
26 | 12, 25 | eqbrtrd 5128 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β ((πΉ β¨ πΊ) β§ (π· β¨ π)) β€ (π β¨ π)) |