Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme29cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme29cl 39906
Description: Show closure of the unique element in cdleme28c 39901. (Contributed by NM, 8-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme26.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleme26.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme26.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme26.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme26.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme26.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme27.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme27.f 𝐹 = ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
cdleme27.z 𝑍 = ((𝑧 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑧) ∧ π‘Š)))
cdleme27.n 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑍 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑧) ∧ π‘Š)))
cdleme27.d 𝐷 = (℩𝑒 ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑒 = 𝑁))
cdleme27.c 𝐢 = if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐷, 𝐹)
cdleme29cl.i 𝐼 = (℩𝑣 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) β†’ 𝑣 = (𝐢 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))))
Assertion
Ref Expression
cdleme29cl ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐼 ∈ 𝐡)
Distinct variable groups:   𝑒,𝑠,𝑧,𝐴   𝐡,𝑠,𝑒,𝑧   𝑒,𝐹   𝐻,𝑠,𝑧   ∨ ,𝑠,𝑒,𝑧   𝐾,𝑠,𝑧   ≀ ,𝑠,𝑒,𝑧   ∧ ,𝑠,𝑒,𝑧   𝑒,𝑁   𝑃,𝑠,𝑒,𝑧   𝑄,𝑠,𝑒,𝑧   π‘ˆ,𝑠,𝑒,𝑧   π‘Š,𝑠,𝑒,𝑧   𝑋,𝑠   𝑣,𝐴   𝑣,𝐡   𝑣, ∨   𝑣, ≀   𝑣, ∧   𝑣,𝑃   𝑣,𝑄   𝑣,π‘ˆ   𝑣,π‘Š   𝑣,𝐢   𝑣,𝑠,𝑍,𝑒   𝑧,𝑣,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑧,𝑒,𝑠)   𝐷(𝑧,𝑣,𝑒,𝑠)   𝐹(𝑧,𝑣,𝑠)   𝐻(𝑣,𝑒)   𝐼(𝑧,𝑣,𝑒,𝑠)   𝐾(𝑣,𝑒)   𝑁(𝑧,𝑣,𝑠)   𝑋(𝑒)   𝑍(𝑧)

Proof of Theorem cdleme29cl
StepHypRef Expression
1 cdleme29cl.i . 2 𝐼 = (℩𝑣 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) β†’ 𝑣 = (𝐢 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))))
2 cdleme26.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 cdleme26.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 cdleme26.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
5 cdleme26.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
6 cdleme26.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
7 cdleme26.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 cdleme27.u . . . 4 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
9 cdleme27.f . . . 4 𝐹 = ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
10 cdleme27.z . . . 4 𝑍 = ((𝑧 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑧) ∧ π‘Š)))
11 cdleme27.n . . . 4 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑍 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑧) ∧ π‘Š)))
12 cdleme27.d . . . 4 𝐷 = (℩𝑒 ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑒 = 𝑁))
13 cdleme27.c . . . 4 𝐢 = if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐷, 𝐹)
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13cdleme29c 39905 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒ!𝑣 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) β†’ 𝑣 = (𝐢 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))))
15 riotacl 7390 . . 3 (βˆƒ!𝑣 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) β†’ 𝑣 = (𝐢 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ (℩𝑣 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) β†’ 𝑣 = (𝐢 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))) ∈ 𝐡)
1614, 15syl 17 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (℩𝑣 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) β†’ 𝑣 = (𝐢 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))) ∈ 𝐡)
171, 16eqeltrid 2829 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐼 ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒ!wreu 3362  ifcif 4524   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  β„©crio 7371  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  lecple 17239  joincjn 18302  meetcmee 18303  Atomscatm 38791  HLchlt 38878  LHypclh 39513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-riotaBAD 38481
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-undef 8277  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027  df-lplanes 39028  df-lvols 39029  df-lines 39030  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-padd 39325  df-lhyp 39517
This theorem is referenced by:  cdleme32fvcl  39969
  Copyright terms: Public domain W3C validator