Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdleme32.o |
. . . . 5
β’ π = (β©π§ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π₯ β§ π)) = π₯) β π§ = (π β¨ (π₯ β§ π)))) |
2 | | cdleme32.f |
. . . . 5
β’ πΉ = (π₯ β π΅ β¦ if((π β π β§ Β¬ π₯ β€ π), π, π₯)) |
3 | | eqid 2737 |
. . . . 5
β’
(β©π§
β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π) β π§ = (π β¨ (π β§ π)))) = (β©π§ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π) β π§ = (π β¨ (π β§ π)))) |
4 | 1, 2, 3 | cdleme31fv1 38883 |
. . . 4
β’ ((π β π΅ β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π)) β (πΉβπ) = (β©π§ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π) β π§ = (π β¨ (π β§ π))))) |
5 | 4 | adantll 713 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΅) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π)) β (πΉβπ) = (β©π§ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π) β π§ = (π β¨ (π β§ π))))) |
6 | | simpll1 1213 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΅) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
7 | | simpll2 1214 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΅) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
8 | | simpll3 1215 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΅) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
9 | | simprl 770 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΅) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π)) β π β π) |
10 | | simplr 768 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΅) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π)) β π β π΅) |
11 | | simprr 772 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΅) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π)) β Β¬ π β€ π) |
12 | | cdleme32.b |
. . . . 5
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
13 | | cdleme32.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
14 | | cdleme32.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
15 | | cdleme32.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
16 | | cdleme32.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
17 | | cdleme32.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
18 | | cdleme32.u |
. . . . 5
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
19 | | cdleme32.c |
. . . . 5
β’ πΆ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π ) β§ π))) |
20 | | cdleme32.d |
. . . . 5
β’ π· = ((π‘ β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) |
21 | | cdleme32.e |
. . . . 5
β’ πΈ = ((π β¨ π) β§ (π· β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) |
22 | | cdleme32.i |
. . . . 5
β’ πΌ = (β©π¦ β π΅ βπ‘ β π΄ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β π¦ = πΈ)) |
23 | | cdleme32.n |
. . . . 5
β’ π = if(π β€ (π β¨ π), πΌ, πΆ) |
24 | 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 3 | cdleme29cl 38869 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β (β©π§ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π) β π§ = (π β¨ (π β§ π)))) β π΅) |
25 | 6, 7, 8, 9, 10, 11, 24 | syl312anc 1392 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΅) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π)) β (β©π§ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π) β π§ = (π β¨ (π β§ π)))) β π΅) |
26 | 5, 25 | eqeltrd 2838 |
. 2
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΅) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π)) β (πΉβπ) β π΅) |
27 | 2 | cdleme31fv2 38885 |
. . . 4
β’ ((π β π΅ β§ Β¬ (π β π β§ Β¬ π β€ π)) β (πΉβπ) = π) |
28 | | simpl 484 |
. . . 4
β’ ((π β π΅ β§ Β¬ (π β π β§ Β¬ π β€ π)) β π β π΅) |
29 | 27, 28 | eqeltrd 2838 |
. . 3
β’ ((π β π΅ β§ Β¬ (π β π β§ Β¬ π β€ π)) β (πΉβπ) β π΅) |
30 | 29 | adantll 713 |
. 2
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΅) β§ Β¬ (π β π β§ Β¬ π β€ π)) β (πΉβπ) β π΅) |
31 | 26, 30 | pm2.61dan 812 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΅) β (πΉβπ) β π΅) |