Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme32fvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme32fvcl 39837
Description: Part of proof of Lemma D in [Crawley] p. 113. Closure of the function 𝐹. (Contributed by NM, 10-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme32.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleme32.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme32.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme32.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme32.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme32.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme32.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme32.c 𝐢 = ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
cdleme32.d 𝐷 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdleme32.e 𝐸 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdleme32.i 𝐼 = (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝐸))
cdleme32.n 𝑁 = if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐼, 𝐢)
cdleme32.o 𝑂 = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š))))
cdleme32.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š), 𝑂, π‘₯))
Assertion
Ref Expression
cdleme32fvcl ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
Distinct variable groups:   𝑑,𝑠,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴   𝐡,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑦,𝐢   𝐷,𝑠,𝑦,𝑧   𝑦,𝐸   𝐻,𝑠,𝑑   ∨ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐾,𝑠,𝑑   ≀ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   ∧ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑁,𝑧   𝑃,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑄,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘ˆ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘Š,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑋,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑧   𝑦,𝐻   𝑦,𝐾   𝑧,𝐻   𝑧,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯,𝑧,𝑑,𝑠)   𝐷(π‘₯,𝑑)   𝐸(π‘₯,𝑧,𝑑,𝑠)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠)   𝐻(π‘₯)   𝐼(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠)   𝐾(π‘₯)   𝑁(𝑦,𝑑,𝑠)   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem cdleme32fvcl
StepHypRef Expression
1 cdleme32.o . . . . 5 𝑂 = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š))))
2 cdleme32.f . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š), 𝑂, π‘₯))
3 eqid 2727 . . . . 5 (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))) = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))))
41, 2, 3cdleme31fv1 39788 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))))
54adantll 713 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))))
6 simpll1 1210 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
7 simpll2 1211 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
8 simpll3 1212 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
9 simprl 770 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
10 simplr 768 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
11 simprr 772 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)
12 cdleme32.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
13 cdleme32.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
14 cdleme32.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
15 cdleme32.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
16 cdleme32.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
17 cdleme32.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
18 cdleme32.u . . . . 5 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
19 cdleme32.c . . . . 5 𝐢 = ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
20 cdleme32.d . . . . 5 𝐷 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
21 cdleme32.e . . . . 5 𝐸 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
22 cdleme32.i . . . . 5 𝐼 = (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝐸))
23 cdleme32.n . . . . 5 𝑁 = if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐼, 𝐢)
2412, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 3cdleme29cl 39774 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))) ∈ 𝐡)
256, 7, 8, 9, 10, 11, 24syl312anc 1389 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))) ∈ 𝐡)
265, 25eqeltrd 2828 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
272cdleme31fv2 39790 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = 𝑋)
28 simpl 482 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2927, 28eqeltrd 2828 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
3029adantll 713 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
3126, 30pm2.61dan 812 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  ifcif 4524   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  β€˜cfv 6542  β„©crio 7369  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  lecple 17225  joincjn 18288  meetcmee 18289  Atomscatm 38659  HLchlt 38746  LHypclh 39381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-riotaBAD 38349
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-undef 8270  df-proset 18272  df-poset 18290  df-plt 18307  df-lub 18323  df-glb 18324  df-join 18325  df-meet 18326  df-p0 18402  df-p1 18403  df-lat 18409  df-clat 18476  df-oposet 38572  df-ol 38574  df-oml 38575  df-covers 38662  df-ats 38663  df-atl 38694  df-cvlat 38718  df-hlat 38747  df-llines 38895  df-lplanes 38896  df-lvols 38897  df-lines 38898  df-psubsp 38900  df-pmap 38901  df-padd 39193  df-lhyp 39385
This theorem is referenced by:  cdleme32a  39838  cdleme42b  39875  cdleme42h  39879  cdleme42i  39880  cdleme48bw  39899  cdlemeg46fvcl  39903  cdleme48d  39932  cdlemeg49lebilem  39936  cdleme50eq  39938  cdleme50f  39939
  Copyright terms: Public domain W3C validator