Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme42g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme42g 37793
 Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 8-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme41.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleme41.l = (le‘𝐾)
cdleme41.j = (join‘𝐾)
cdleme41.m = (meet‘𝐾)
cdleme41.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme41.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme41.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdleme41.d 𝐷 = ((𝑠 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑠) 𝑊)))
cdleme41.e 𝐸 = ((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊)))
cdleme41.g 𝐺 = ((𝑃 𝑄) (𝐸 ((𝑠 𝑡) 𝑊)))
cdleme41.i 𝐼 = (𝑦𝐵𝑡𝐴 ((¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 (𝑃 𝑄)) → 𝑦 = 𝐺))
cdleme41.n 𝑁 = if(𝑠 (𝑃 𝑄), 𝐼, 𝐷)
cdleme41.o 𝑂 = (𝑧𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ (𝑠 (𝑥 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (𝑁 (𝑥 𝑊))))
cdleme41.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ if((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑥 𝑊), 𝑂, 𝑥))
cdleme34e.v 𝑉 = ((𝑅 𝑆) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme42g ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝐹‘(𝑅 𝑆)) = ((𝐹𝑅) 𝑉))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   ,𝑠   ,𝑠   ,𝑠   𝑃,𝑠   𝑄,𝑠   𝑅,𝑠   𝑆,𝑠   𝑈,𝑠   𝑊,𝑠   𝑦,𝑡,𝐴,𝑠   𝐵,𝑠,𝑡,𝑦   𝑦,𝐷   𝑦,𝐺   𝐸,𝑠,𝑦   𝐻,𝑠,𝑡,𝑦   𝑡, ,𝑦   𝐾,𝑠,𝑡,𝑦   𝑡, ,𝑦   𝑡, ,𝑦   𝑡,𝑃,𝑦   𝑡,𝑄,𝑦   𝑡,𝑅,𝑦   𝑡,𝑆,𝑦   𝑡,𝑈,𝑦   𝑡,𝑊,𝑦   𝑥,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑧   𝑧,𝐸,𝑠   𝑧,𝐻   𝑥, ,𝑧   𝑧,𝐾   𝑥, ,𝑧   𝑥, ,𝑧   𝑥,𝑁,𝑧   𝑥,𝑃,𝑧   𝑥,𝑄,𝑧   𝑥,𝑅,𝑧   𝑥,𝑆,𝑧   𝑥,𝑈,𝑧   𝑥,𝑊,𝑧,𝑠,𝑡,𝑦   𝑉,𝑠,𝑡,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑧,𝑡,𝑠)   𝐸(𝑥,𝑡)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑠)   𝐺(𝑥,𝑧,𝑡,𝑠)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑠)   𝐾(𝑥)   𝑁(𝑦,𝑡,𝑠)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑠)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem cdleme42g
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp2l 1196 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))
3 simp2r 1197 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊))
4 cdleme41.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 cdleme41.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
6 cdleme41.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
7 cdleme41.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
8 cdleme41.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9 cdleme41.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10 cdleme34e.v . . . . 5 𝑉 = ((𝑅 𝑆) 𝑊)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10cdleme42a 37783 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑅 𝑆) = (𝑅 𝑉))
121, 2, 3, 11syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑅 𝑆) = (𝑅 𝑉))
1312fveq2d 6649 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝐹‘(𝑅 𝑆)) = (𝐹‘(𝑅 𝑉)))
14 cdleme41.u . . 3 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
15 cdleme41.d . . 3 𝐷 = ((𝑠 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑠) 𝑊)))
16 cdleme41.e . . 3 𝐸 = ((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊)))
17 cdleme41.g . . 3 𝐺 = ((𝑃 𝑄) (𝐸 ((𝑠 𝑡) 𝑊)))
18 cdleme41.i . . 3 𝐼 = (𝑦𝐵𝑡𝐴 ((¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 (𝑃 𝑄)) → 𝑦 = 𝐺))
19 cdleme41.n . . 3 𝑁 = if(𝑠 (𝑃 𝑄), 𝐼, 𝐷)
20 cdleme41.o . . 3 𝑂 = (𝑧𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ (𝑠 (𝑥 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (𝑁 (𝑥 𝑊))))
21 cdleme41.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ if((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑥 𝑊), 𝑂, 𝑥))
224, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 10cdleme42f 37792 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝐹‘(𝑅 𝑉)) = ((𝐹𝑅) 𝑉))
2313, 22eqtrd 2833 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝐹‘(𝑅 𝑆)) = ((𝐹𝑅) 𝑉))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ifcif 4425   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  ℩crio 7092  (class class class)co 7135  Basecbs 16477  lecple 16566  joincjn 17548  meetcmee 17549  Atomscatm 36575  HLchlt 36662  LHypclh 37296 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-riotaBAD 36265 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-undef 7924  df-proset 17532  df-poset 17550  df-plt 17562  df-lub 17578  df-glb 17579  df-join 17580  df-meet 17581  df-p0 17643  df-p1 17644  df-lat 17650  df-clat 17712  df-oposet 36488  df-ol 36490  df-oml 36491  df-covers 36578  df-ats 36579  df-atl 36610  df-cvlat 36634  df-hlat 36663  df-llines 36810  df-lplanes 36811  df-lvols 36812  df-lines 36813  df-psubsp 36815  df-pmap 36816  df-padd 37108  df-lhyp 37300 This theorem is referenced by:  cdleme42h  37794  cdleme42mN  37799
 Copyright terms: Public domain W3C validator