Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme40w Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdleme40w 39854
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Apply cdleme40v 39853 bound variable change to ⦋𝑆 / π‘’β¦Œπ‘‰. TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 19-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme40.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleme40.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme40.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme40.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme40.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme40.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme40.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme40.e 𝐸 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdleme40.g 𝐺 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐸 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdleme40.i 𝐼 = (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝐺))
cdleme40.n 𝑁 = if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐼, 𝐷)
cdleme40.d 𝐷 = ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
cdleme40r.y π‘Œ = ((𝑒 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑒) ∧ π‘Š)))
Assertion
Ref Expression
cdleme40w ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) β†’ ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ β‰  ⦋𝑆 / π‘ β¦Œπ‘)
Distinct variable groups:   𝑒,𝐴   𝑒,𝐡   𝑒, ∨   𝑒, ≀   𝑒, ∧   𝑒,𝑃   𝑒,𝑄   𝑒,𝑆   𝑒,π‘Š   𝑑,𝑠,𝑦,𝐴   𝐡,𝑠,𝑑,𝑦   𝐸,𝑠   𝑑,𝐻,𝑦   ∨ ,𝑠,𝑑,𝑦   𝑑,𝐾,𝑦   ≀ ,𝑠,𝑑,𝑦   ∧ ,𝑠,𝑑,𝑦   𝑃,𝑠,𝑑,𝑦   𝑄,𝑠,𝑑,𝑦   𝑅,𝑠,𝑑,𝑦   𝑑,π‘ˆ,𝑦   π‘Š,𝑠,𝑑,𝑦   𝑦,π‘Œ   𝑑,𝑆,𝑦   𝑦,𝐸   𝑒,𝑁   𝑆,𝑠,𝑒   π‘ˆ,𝑠,𝑒,𝑑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑦,𝑒,𝑑,𝑠)   𝑅(𝑒)   𝐸(𝑒,𝑑)   𝐺(𝑦,𝑒,𝑑,𝑠)   𝐻(𝑒,𝑠)   𝐼(𝑦,𝑒,𝑑,𝑠)   𝐾(𝑒,𝑠)   𝑁(𝑦,𝑑,𝑠)   π‘Œ(𝑒,𝑑,𝑠)
Proof of Theorem cdleme40w
Dummy variables 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdleme40.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 cdleme40.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 cdleme40.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 cdleme40.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
5 cdleme40.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
6 cdleme40.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
7 cdleme40.u . . 3 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
8 cdleme40.e . . 3 𝐸 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
9 cdleme40.g . . 3 𝐺 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐸 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
10 cdleme40.i . . 3 𝐼 = (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝐺))
11 cdleme40.n . . 3 𝑁 = if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐼, 𝐷)
12 eqid 2726 . . 3 ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐸 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐸 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
13 eqid 2726 . . 3 (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐸 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))))) = (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐸 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))))
14 eqid 2726 . . 3 ((𝑣 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š))) = ((𝑣 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š)))
15 eqid 2726 . . 3 ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (((𝑣 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑆 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š))) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (((𝑣 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑆 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š)))
16 eqid 2726 . . 3 ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (((𝑣 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š))) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (((𝑣 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š)))
17 eqid 2726 . . 3 (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑧 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (((𝑣 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š))))) = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑧 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (((𝑣 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š)))))
18 eqid 2726 . . 3 if(𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑧 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (((𝑣 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š))))), ((𝑒 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑒) ∧ π‘Š)))) = if(𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑧 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (((𝑣 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š))))), ((𝑒 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑒) ∧ π‘Š))))
19 eqid 2726 . . 3 (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑧 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (((𝑣 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑆 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š))))) = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑧 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (((𝑣 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑆 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š)))))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19cdleme40n 39852 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) β†’ ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ β‰  ⦋𝑆 / π‘’β¦Œif(𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑧 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (((𝑣 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š))))), ((𝑒 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑒) ∧ π‘Š)))))
21 simp23l 1291 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
22 cdleme40.d . . . 4 𝐷 = ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
23 eqid 2726 . . . 4 ((𝑒 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑒) ∧ π‘Š))) = ((𝑒 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑒) ∧ π‘Š)))
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 22, 23, 14, 16, 17, 18cdleme40v 39853 . . 3 (𝑆 ∈ 𝐴 β†’ ⦋𝑆 / π‘ β¦Œπ‘ = ⦋𝑆 / π‘’β¦Œif(𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑧 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (((𝑣 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š))))), ((𝑒 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑒) ∧ π‘Š)))))
2521, 24syl 17 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) β†’ ⦋𝑆 / π‘ β¦Œπ‘ = ⦋𝑆 / π‘’β¦Œif(𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑧 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (((𝑣 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š))))), ((𝑒 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑒) ∧ π‘Š)))))
2620, 25neeqtrrd 3009 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) β†’ ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ β‰  ⦋𝑆 / π‘ β¦Œπ‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  β¦‹csb 3888  ifcif 4523   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  β„©crio 7360  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276  meetcmee 18277  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LHypclh 39368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-riotaBAD 38336
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-undef 8259  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372
This theorem is referenced by:  cdleme41snaw  39860
  Copyright terms: Public domain W3C validator