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Theorem cdleme42h 40192
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 8-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme41.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleme41.l = (le‘𝐾)
cdleme41.j = (join‘𝐾)
cdleme41.m = (meet‘𝐾)
cdleme41.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme41.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme41.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdleme41.d 𝐷 = ((𝑠 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑠) 𝑊)))
cdleme41.e 𝐸 = ((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊)))
cdleme41.g 𝐺 = ((𝑃 𝑄) (𝐸 ((𝑠 𝑡) 𝑊)))
cdleme41.i 𝐼 = (𝑦𝐵𝑡𝐴 ((¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 (𝑃 𝑄)) → 𝑦 = 𝐺))
cdleme41.n 𝑁 = if(𝑠 (𝑃 𝑄), 𝐼, 𝐷)
cdleme41.o 𝑂 = (𝑧𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ (𝑠 (𝑥 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (𝑁 (𝑥 𝑊))))
cdleme41.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ if((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑥 𝑊), 𝑂, 𝑥))
cdleme34e.v 𝑉 = ((𝑅 𝑆) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme42h ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝐹𝑆) ((𝐹𝑅) 𝑉))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   ,𝑠   ,𝑠   ,𝑠   𝑃,𝑠   𝑄,𝑠   𝑅,𝑠   𝑆,𝑠   𝑈,𝑠   𝑊,𝑠   𝑦,𝑡,𝐴,𝑠   𝐵,𝑠,𝑡,𝑦   𝑦,𝐷   𝑦,𝐺   𝐸,𝑠,𝑦   𝐻,𝑠,𝑡,𝑦   𝑡, ,𝑦   𝐾,𝑠,𝑡,𝑦   𝑡, ,𝑦   𝑡, ,𝑦   𝑡,𝑃,𝑦   𝑡,𝑄,𝑦   𝑡,𝑅,𝑦   𝑡,𝑆,𝑦   𝑡,𝑈,𝑦   𝑡,𝑊,𝑦   𝑥,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑧   𝑧,𝐸,𝑠   𝑧,𝐻   𝑥, ,𝑧   𝑧,𝐾   𝑥, ,𝑧   𝑥, ,𝑧   𝑥,𝑁,𝑧   𝑥,𝑃,𝑧   𝑥,𝑄,𝑧   𝑥,𝑅,𝑧   𝑥,𝑆,𝑧   𝑥,𝑈,𝑧   𝑥,𝑊,𝑧,𝑠,𝑡,𝑦   𝑉,𝑠,𝑡,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑧,𝑡,𝑠)   𝐸(𝑥,𝑡)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑠)   𝐺(𝑥,𝑧,𝑡,𝑠)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑠)   𝐾(𝑥)   𝑁(𝑦,𝑡,𝑠)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑠)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem cdleme42h
StepHypRef Expression
1 simp11l 1281 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 39073 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simp1 1133 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)))
4 simp2rl 1239 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑆𝐴)
5 cdleme41.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 cdleme41.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atbase 38998 . . . . 5 (𝑆𝐴𝑆𝐵)
84, 7syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑆𝐵)
9 cdleme41.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
10 cdleme41.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
11 cdleme41.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
12 cdleme41.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13 cdleme41.u . . . . 5 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
14 cdleme41.d . . . . 5 𝐷 = ((𝑠 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑠) 𝑊)))
15 cdleme41.e . . . . 5 𝐸 = ((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊)))
16 cdleme41.g . . . . 5 𝐺 = ((𝑃 𝑄) (𝐸 ((𝑠 𝑡) 𝑊)))
17 cdleme41.i . . . . 5 𝐼 = (𝑦𝐵𝑡𝐴 ((¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 (𝑃 𝑄)) → 𝑦 = 𝐺))
18 cdleme41.n . . . . 5 𝑁 = if(𝑠 (𝑃 𝑄), 𝐼, 𝐷)
19 cdleme41.o . . . . 5 𝑂 = (𝑧𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ (𝑠 (𝑥 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (𝑁 (𝑥 𝑊))))
20 cdleme41.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ if((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑥 𝑊), 𝑂, 𝑥))
215, 9, 10, 11, 6, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20cdleme32fvcl 40150 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑆𝐵) → (𝐹𝑆) ∈ 𝐵)
223, 8, 21syl2anc 582 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝐹𝑆) ∈ 𝐵)
23 cdleme34e.v . . . 4 𝑉 = ((𝑅 𝑆) 𝑊)
24 simp2ll 1237 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑅𝐴)
255, 10, 6hlatjcl 39076 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) → (𝑅 𝑆) ∈ 𝐵)
261, 24, 4, 25syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑅 𝑆) ∈ 𝐵)
27 simp11r 1282 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑊𝐻)
285, 12lhpbase 39708 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
2927, 28syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑊𝐵)
305, 11latmcl 18458 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 𝑆) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝑅 𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵)
312, 26, 29, 30syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → ((𝑅 𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵)
3223, 31eqeltrid 2830 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑉𝐵)
335, 9, 10latlej1 18466 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹𝑆) ∈ 𝐵𝑉𝐵) → (𝐹𝑆) ((𝐹𝑆) 𝑉))
342, 22, 32, 33syl3anc 1368 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝐹𝑆) ((𝐹𝑆) 𝑉))
3510, 6hlatjcom 39077 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) → (𝑅 𝑆) = (𝑆 𝑅))
361, 24, 4, 35syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑅 𝑆) = (𝑆 𝑅))
3736oveq1d 7429 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → ((𝑅 𝑆) 𝑊) = ((𝑆 𝑅) 𝑊))
3823, 37eqtrid 2778 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑉 = ((𝑆 𝑅) 𝑊))
3938oveq2d 7430 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → ((𝐹𝑆) 𝑉) = ((𝐹𝑆) ((𝑆 𝑅) 𝑊)))
40 simp2r 1197 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊))
41 simp2l 1196 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))
42 simp3 1135 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑃𝑄)
43 eqid 2726 . . . . . 6 ((𝑆 𝑅) 𝑊) = ((𝑆 𝑅) 𝑊)
445, 9, 10, 11, 6, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 43cdleme42g 40191 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝐹‘(𝑆 𝑅)) = ((𝐹𝑆) ((𝑆 𝑅) 𝑊)))
453, 40, 41, 42, 44syl121anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝐹‘(𝑆 𝑅)) = ((𝐹𝑆) ((𝑆 𝑅) 𝑊)))
4639, 45eqtr4d 2769 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → ((𝐹𝑆) 𝑉) = (𝐹‘(𝑆 𝑅)))
4736fveq2d 6895 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝐹‘(𝑅 𝑆)) = (𝐹‘(𝑆 𝑅)))
485, 9, 10, 11, 6, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 23cdleme42g 40191 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝐹‘(𝑅 𝑆)) = ((𝐹𝑅) 𝑉))
4946, 47, 483eqtr2d 2772 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → ((𝐹𝑆) 𝑉) = ((𝐹𝑅) 𝑉))
5034, 49breqtrd 5170 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝐹𝑆) ((𝐹𝑅) 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  ifcif 4524   class class class wbr 5144  cmpt 5227  cfv 6544  crio 7369  (class class class)co 7414  Basecbs 17206  lecple 17266  joincjn 18329  meetcmee 18330  Latclat 18449  Atomscatm 38972  HLchlt 39059  LHypclh 39694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-riotaBAD 38662
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-iun 4996  df-iin 4997  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-undef 8278  df-proset 18313  df-poset 18331  df-plt 18348  df-lub 18364  df-glb 18365  df-join 18366  df-meet 18367  df-p0 18443  df-p1 18444  df-lat 18450  df-clat 18517  df-oposet 38885  df-ol 38887  df-oml 38888  df-covers 38975  df-ats 38976  df-atl 39007  df-cvlat 39031  df-hlat 39060  df-llines 39208  df-lplanes 39209  df-lvols 39210  df-lines 39211  df-psubsp 39213  df-pmap 39214  df-padd 39506  df-lhyp 39698
This theorem is referenced by:  cdleme42i  40193
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