Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdleme43.e |
. . . 4
β’ πΈ = ((π· β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π·) β§ π))) |
2 | | simp11l 1285 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β HL) |
3 | | simp12l 1287 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
4 | | simp13l 1289 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
5 | | cdleme43.j |
. . . . . . . . . . 11
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
6 | | cdleme43.a |
. . . . . . . . . . 11
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
7 | 5, 6 | hlatjcom 37876 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
8 | 2, 3, 4, 7 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
9 | 8 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ π) = ((π β¨ π) β§ π)) |
10 | | cdleme43.u |
. . . . . . . 8
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
11 | | cdleme43.x |
. . . . . . . 8
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
12 | 9, 10, 11 | 3eqtr4g 2798 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π = π) |
13 | 12 | oveq2d 7374 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π· β¨ π) = (π· β¨ π)) |
14 | 13 | oveq1d 7373 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π· β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π·) β§ π))) = ((π· β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π·) β§ π)))) |
15 | | simp11 1204 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
16 | | simp13 1206 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
17 | | simp12 1205 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
18 | | simp21 1207 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π) |
19 | 18 | necomd 2996 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π) |
20 | | simp23 1209 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
21 | | simp3r 1203 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
22 | 8 | breq2d 5118 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
23 | 21, 22 | mtbid 324 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
24 | | cdleme43.l |
. . . . . . 7
β’ β€ =
(leβπΎ) |
25 | | cdleme43.m |
. . . . . . 7
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
26 | | cdleme43.h |
. . . . . . 7
β’ π» = (LHypβπΎ) |
27 | | cdleme43.d |
. . . . . . 7
β’ π· = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
28 | 24, 5, 25, 6, 26, 11, 27 | cdleme35g 38964 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β ((π· β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π·) β§ π))) = π) |
29 | 15, 16, 17, 19, 20, 23, 28 | syl321anc 1393 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π· β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π·) β§ π))) = π) |
30 | 14, 29 | eqtrd 2773 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π· β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π·) β§ π))) = π) |
31 | 1, 30 | eqtrid 2785 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΈ = π) |
32 | 31 | oveq2d 7374 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β¨ πΈ) = (π β¨ π)) |
33 | 32 | eqcomd 2739 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) = (π β¨ πΈ)) |