Theorem cdleme50f1o 39208

Description: Part of proof of Lemma D in [Crawley] p. 113. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemef50.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemef50.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemef50.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemef50.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemef50.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemef50.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemef50.u	⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)
cdlemef50.d	⊢ 𝐷 = ((𝑡 ∨ 𝑈) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊)))
cdlemefs50.e	⊢ 𝐸 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊)))
cdlemef50.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑊), (℩𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ (𝑠 ∨ (𝑥 ∧ 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (if(𝑠 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄), (℩𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑡 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑦 = 𝐸)), ⦋𝑠 / 𝑡⦌𝐷) ∨ (𝑥 ∧ 𝑊)))), 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
cdleme50f1o	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧, ∧   ∨ ,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   ≤ ,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐴,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧   𝐻,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐾,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑄,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑊,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑡)   𝐸(𝑡,𝑠)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑠)

Proof of Theorem cdleme50f1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemef50.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cdlemef50.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		cdlemef50.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		cdlemef50.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
5		cdlemef50.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		cdlemef50.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		cdlemef50.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)
8		cdlemef50.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = ((𝑡 ∨ 𝑈) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊)))
9		cdlemefs50.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊)))
10		cdlemef50.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑊), (℩𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ (𝑠 ∨ (𝑥 ∧ 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (if(𝑠 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄), (℩𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑡 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑦 = 𝐸)), ⦋𝑠 / 𝑡⦌𝐷) ∨ (𝑥 ∧ 𝑊)))), 𝑥))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	cdleme50f1 39205	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → 𝐹:𝐵–1-1→𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	cdleme50rn 39207	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → ran 𝐹 = 𝐵)
13		dff1o5 6828	. 2 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝐵–1-1→𝐵 ∧ ran 𝐹 = 𝐵))
14	11, 12, 13	sylanbrc 583	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ⦋csb 3888  ifcif 4521   class class class wbr 5140   ↦ cmpt 5223  ran crn 5669  –1-1→wf1 6528  –1-1-onto→wf1o 6530  ‘cfv 6531  ℩crio 7347  (class class class)co 7392  Basecbs 17125  lecple 17185  joincjn 18245  meetcmee 18246  Atomscatm 37924  HLchlt 38011  LHypclh 38646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5277  ax-sep 5291  ax-nul 5298  ax-pow 5355  ax-pr 5419  ax-un 7707  ax-riotaBAD 37614

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3474  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5141  df-opab 5203  df-mpt 5224  df-id 5566  df-xp 5674  df-rel 5675  df-cnv 5676  df-co 5677  df-dm 5678  df-rn 5679  df-res 5680  df-ima 5681  df-iota 6483  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7348  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-1st 7956  df-2nd 7957  df-undef 8239  df-proset 18229  df-poset 18247  df-plt 18264  df-lub 18280  df-glb 18281  df-join 18282  df-meet 18283  df-p0 18359  df-p1 18360  df-lat 18366  df-clat 18433  df-oposet 37837  df-ol 37839  df-oml 37840  df-covers 37927  df-ats 37928  df-atl 37959  df-cvlat 37983  df-hlat 38012  df-llines 38160  df-lplanes 38161  df-lvols 38162  df-lines 38163  df-psubsp 38165  df-pmap 38166  df-padd 38458  df-lhyp 38650

This theorem is referenced by:  cdleme50laut  39209  cdleme51finvfvN  39217  cdleme51finvN  39218