Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme50f1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme50f1o 39208
Description: Part of proof of Lemma D in [Crawley] p. 113. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemef50.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemef50.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemef50.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemef50.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemef50.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemef50.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemef50.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdlemef50.d 𝐷 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdlemefs50.e 𝐸 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdlemef50.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š), (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝐸)), ⦋𝑠 / π‘‘β¦Œπ·) ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)))), π‘₯))
Assertion
Ref Expression
cdleme50f1o (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
Distinct variable groups:   𝑑,𝑠,π‘₯,𝑦,𝑧, ∧   ∨ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   ≀ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐴,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐡,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐷,𝑠,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐸,𝑦,𝑧   𝐻,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐾,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑃,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑄,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘ˆ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘Š,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   𝐸(𝑑,𝑠)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠)

Proof of Theorem cdleme50f1o
StepHypRef Expression
1 cdlemef50.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 cdlemef50.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 cdlemef50.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 cdlemef50.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
5 cdlemef50.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
6 cdlemef50.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
7 cdlemef50.u . . 3 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
8 cdlemef50.d . . 3 𝐷 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
9 cdlemefs50.e . . 3 𝐸 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
10 cdlemef50.f . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š), (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝐸)), ⦋𝑠 / π‘‘β¦Œπ·) ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)))), π‘₯))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cdleme50f1 39205 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐹:𝐡–1-1→𝐡)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cdleme50rn 39207 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ ran 𝐹 = 𝐡)
13 dff1o5 6828 . 2 (𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 ↔ (𝐹:𝐡–1-1→𝐡 ∧ ran 𝐹 = 𝐡))
1411, 12, 13sylanbrc 583 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  β¦‹csb 3888  ifcif 4521   class class class wbr 5140   ↦ cmpt 5223  ran crn 5669  β€“1-1β†’wf1 6528  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6530  β€˜cfv 6531  β„©crio 7347  (class class class)co 7392  Basecbs 17125  lecple 17185  joincjn 18245  meetcmee 18246  Atomscatm 37924  HLchlt 38011  LHypclh 38646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5277  ax-sep 5291  ax-nul 5298  ax-pow 5355  ax-pr 5419  ax-un 7707  ax-riotaBAD 37614
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3474  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5141  df-opab 5203  df-mpt 5224  df-id 5566  df-xp 5674  df-rel 5675  df-cnv 5676  df-co 5677  df-dm 5678  df-rn 5679  df-res 5680  df-ima 5681  df-iota 6483  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7348  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-1st 7956  df-2nd 7957  df-undef 8239  df-proset 18229  df-poset 18247  df-plt 18264  df-lub 18280  df-glb 18281  df-join 18282  df-meet 18283  df-p0 18359  df-p1 18360  df-lat 18366  df-clat 18433  df-oposet 37837  df-ol 37839  df-oml 37840  df-covers 37927  df-ats 37928  df-atl 37959  df-cvlat 37983  df-hlat 38012  df-llines 38160  df-lplanes 38161  df-lvols 38162  df-lines 38163  df-psubsp 38165  df-pmap 38166  df-padd 38458  df-lhyp 38650
This theorem is referenced by:  cdleme50laut  39209  cdleme51finvfvN  39217  cdleme51finvN  39218
  Copyright terms: Public domain W3C validator