Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1 1137 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (πΉβπ) = π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simp32 1211 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (πΉβπ) = π)) β πΊ β π) |
3 | | simp2l 1200 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (πΉβπ) = π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
4 | | simp2r 1201 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (πΉβπ) = π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
5 | | cdlemg12.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
6 | | cdlemg12.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
7 | | cdlemg12.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
8 | | cdlemg12.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
9 | | cdlemg12.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
10 | | cdlemg12.t |
. . . 4
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
11 | 5, 6, 7, 8, 9, 10 | ltrnu 38613 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((π β¨ (πΊβπ)) β§ π) = ((π β¨ (πΊβπ)) β§ π)) |
12 | 1, 2, 3, 4, 11 | syl211anc 1377 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (πΉβπ) = π)) β ((π β¨ (πΊβπ)) β§ π) = ((π β¨ (πΊβπ)) β§ π)) |
13 | | simp31 1210 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (πΉβπ) = π)) β πΉ β π) |
14 | 5, 8, 9, 10 | ltrnel 38631 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πΊβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΊβπ) β€ π)) |
15 | 1, 2, 3, 14 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (πΉβπ) = π)) β ((πΊβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΊβπ) β€ π)) |
16 | | simp33 1212 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (πΉβπ) = π)) β (πΉβπ) = π) |
17 | 5, 8, 9, 10 | ltrnateq 38673 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((πΊβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΊβπ) β€ π)) β§ (πΉβπ) = π) β (πΉβ(πΊβπ)) = (πΊβπ)) |
18 | 1, 13, 3, 15, 16, 17 | syl131anc 1384 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (πΉβπ) = π)) β (πΉβ(πΊβπ)) = (πΊβπ)) |
19 | 18 | oveq2d 7378 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (πΉβπ) = π)) β (π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ (πΊβπ))) |
20 | 19 | oveq1d 7377 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (πΉβπ) = π)) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΊβπ)) β§ π)) |
21 | 5, 8, 9, 10 | ltrnel 38631 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πΊβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΊβπ) β€ π)) |
22 | 1, 2, 4, 21 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (πΉβπ) = π)) β ((πΊβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΊβπ) β€ π)) |
23 | 5, 8, 9, 10 | ltrnateq 38673 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((πΊβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΊβπ) β€ π)) β§ (πΉβπ) = π) β (πΉβ(πΊβπ)) = (πΊβπ)) |
24 | 1, 13, 3, 22, 16, 23 | syl131anc 1384 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (πΉβπ) = π)) β (πΉβ(πΊβπ)) = (πΊβπ)) |
25 | 24 | oveq2d 7378 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (πΉβπ) = π)) β (π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ (πΊβπ))) |
26 | 25 | oveq1d 7377 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (πΉβπ) = π)) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΊβπ)) β§ π)) |
27 | 12, 20, 26 | 3eqtr4d 2787 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (πΉβπ) = π)) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |