Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl11 1249 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β§ (πΉβπ) = π) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simpl12 1250 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β§ (πΉβπ) = π) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
3 | | simpl13 1251 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β§ (πΉβπ) = π) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
4 | | simp23l 1295 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β πΉ β π) |
5 | 4 | adantr 482 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β§ (πΉβπ) = π) β πΉ β π) |
6 | | simp23r 1296 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β πΊ β π) |
7 | 6 | adantr 482 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β§ (πΉβπ) = π) β πΊ β π) |
8 | | simpr 486 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β§ (πΉβπ) = π) β (πΉβπ) = π) |
9 | | cdlemg12.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
10 | | cdlemg12.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
11 | | cdlemg12.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
12 | | cdlemg12.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
13 | | cdlemg12.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
14 | | cdlemg12.t |
. . . 4
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
15 | | cdlemg12b.r |
. . . 4
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
16 | 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 | cdlemg14f 39145 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (πΉβπ) = π)) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
17 | 1, 2, 3, 5, 7, 8, 16 | syl123anc 1388 |
. 2
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β§ (πΉβπ) = π) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
18 | | simpl11 1249 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β§ (πΊβπ) = π) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
19 | | simpl12 1250 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β§ (πΊβπ) = π) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
20 | | simpl13 1251 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β§ (πΊβπ) = π) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
21 | 4 | adantr 482 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β§ (πΊβπ) = π) β πΉ β π) |
22 | 6 | adantr 482 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β§ (πΊβπ) = π) β πΊ β π) |
23 | | simpr 486 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β§ (πΊβπ) = π) β (πΊβπ) = π) |
24 | 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 | cdlemg14g 39146 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (πΊβπ) = π)) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
25 | 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 | syl123anc 1388 |
. 2
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β§ (πΊβπ) = π) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
26 | | simpl1 1192 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π)) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) |
27 | | simpl2 1193 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π)) β ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π))) |
28 | | simp31l 1297 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β π§ β π) |
29 | 28 | adantr 482 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π)) β π§ β π) |
30 | | simp31r 1298 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β π§ β π) |
31 | 30 | adantr 482 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π)) β π§ β π) |
32 | | simpl32 1256 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π)) β π§ β€ (π β¨ π£)) |
33 | 29, 31, 32 | 3jca 1129 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π)) β (π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£))) |
34 | | simpl33 1257 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π)) β (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ))) |
35 | | simpr 486 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π)) β ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π)) |
36 | | cdlemg31.n |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΉ))) |
37 | | cdlemg33.o |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΊ))) |
38 | 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 36, 37 | cdlemg28 39196 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π))) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
39 | 26, 27, 33, 34, 35, 38 | syl113anc 1383 |
. 2
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π)) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
40 | 17, 25, 39 | pm2.61da2ne 3034 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |