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Theorem cdlemg29 36504
Description: Eliminate (𝐹𝑃) ≠ 𝑃 and (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 from cdlemg28 36503. TODO: would it be better to do this later? (Contributed by NM, 29-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l = (le‘𝐾)
cdlemg12.j = (join‘𝐾)
cdlemg12.m = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg31.n 𝑁 = ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹)))
cdlemg33.o 𝑂 = ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐺)))
Assertion
Ref Expression
cdlemg29 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑧𝑁𝑧𝑂) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) = ((𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))) 𝑊))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐹   𝑧,𝐻   𝑧,   𝑧,𝐾   𝑧,   𝑧,𝑁   𝑧,𝑃   𝑧,𝑄   𝑧,𝑅   𝑧,𝑇   𝑧,𝑊   𝑧,𝑣   𝑧,𝐺   𝑧,𝑂
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣)   𝑃(𝑣)   𝑄(𝑣)   𝑅(𝑣)   𝑇(𝑣)   𝐹(𝑣)   𝐺(𝑣)   𝐻(𝑣)   (𝑣)   𝐾(𝑣)   (𝑣)   (𝑧,𝑣)   𝑁(𝑣)   𝑂(𝑣)   𝑊(𝑣)

Proof of Theorem cdlemg29
StepHypRef Expression
1 simpl11 1322 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑧𝑁𝑧𝑂) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simpl12 1324 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑧𝑁𝑧𝑂) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
3 simpl13 1326 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑧𝑁𝑧𝑂) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
4 simp23l 1386 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑧𝑁𝑧𝑂) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝐹𝑇)
54adantr 468 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑧𝑁𝑧𝑂) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → 𝐹𝑇)
6 simp23r 1387 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑧𝑁𝑧𝑂) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝐺𝑇)
76adantr 468 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑧𝑁𝑧𝑂) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → 𝐺𝑇)
8 simpr 473 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑧𝑁𝑧𝑂) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝐹𝑃) = 𝑃)
9 cdlemg12.l . . . 4 = (le‘𝐾)
10 cdlemg12.j . . . 4 = (join‘𝐾)
11 cdlemg12.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
12 cdlemg12.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
13 cdlemg12.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
14 cdlemg12.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
15 cdlemg12b.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
169, 10, 11, 12, 13, 14, 15cdlemg14f 36452 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃)) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) = ((𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))) 𝑊))
171, 2, 3, 5, 7, 8, 16syl123anc 1499 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑧𝑁𝑧𝑂) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) = ((𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))) 𝑊))
18 simpl11 1322 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑧𝑁𝑧𝑂) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))) ∧ (𝐺𝑃) = 𝑃) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
19 simpl12 1324 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑧𝑁𝑧𝑂) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))) ∧ (𝐺𝑃) = 𝑃) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
20 simpl13 1326 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑧𝑁𝑧𝑂) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))) ∧ (𝐺𝑃) = 𝑃) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
214adantr 468 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑧𝑁𝑧𝑂) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))) ∧ (𝐺𝑃) = 𝑃) → 𝐹𝑇)
226adantr 468 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑧𝑁𝑧𝑂) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))) ∧ (𝐺𝑃) = 𝑃) → 𝐺𝑇)
23 simpr 473 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑧𝑁𝑧𝑂) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))) ∧ (𝐺𝑃) = 𝑃) → (𝐺𝑃) = 𝑃)
249, 10, 11, 12, 13, 14, 15cdlemg14g 36453 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇 ∧ (𝐺𝑃) = 𝑃)) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) = ((𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))) 𝑊))
2518, 19, 20, 21, 22, 23, 24syl123anc 1499 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑧𝑁𝑧𝑂) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))) ∧ (𝐺𝑃) = 𝑃) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) = ((𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))) 𝑊))
26 simpl1 1235 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑧𝑁𝑧𝑂) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)))
27 simpl2 1237 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑧𝑁𝑧𝑂) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)))
28 simp31l 1388 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑧𝑁𝑧𝑂) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝑧𝑁)
2928adantr 468 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑧𝑁𝑧𝑂) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑧𝑁)
30 simp31r 1389 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑧𝑁𝑧𝑂) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝑧𝑂)
3130adantr 468 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑧𝑁𝑧𝑂) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑧𝑂)
32 simpl32 1336 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑧𝑁𝑧𝑂) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑧 (𝑃 𝑣))
3329, 31, 323jca 1151 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑧𝑁𝑧𝑂) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑃 𝑣)))
34 simpl33 1338 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑧𝑁𝑧𝑂) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))
35 simpr 473 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑧𝑁𝑧𝑂) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃))
36 cdlemg31.n . . . 4 𝑁 = ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹)))
37 cdlemg33.o . . . 4 𝑂 = ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐺)))
389, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 36, 37cdlemg28 36503 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑃 𝑣)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) = ((𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))) 𝑊))
3926, 27, 33, 34, 35, 38syl113anc 1494 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑧𝑁𝑧𝑂) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) = ((𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))) 𝑊))
4017, 25, 39pm2.61da2ne 3077 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑧𝑁𝑧𝑂) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) = ((𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))) 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2989   class class class wbr 4855  cfv 6111  (class class class)co 6884  lecple 16180  joincjn 17169  meetcmee 17170  Atomscatm 35062  HLchlt 35149  LHypclh 35783  LTrncltrn 35900  trLctrl 35957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-riotaBAD 34751
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-iin 4726  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-id 5232  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-undef 7644  df-map 8104  df-proset 17153  df-poset 17171  df-plt 17183  df-lub 17199  df-glb 17200  df-join 17201  df-meet 17202  df-p0 17264  df-p1 17265  df-lat 17271  df-clat 17333  df-oposet 34975  df-ol 34977  df-oml 34978  df-covers 35065  df-ats 35066  df-atl 35097  df-cvlat 35121  df-hlat 35150  df-llines 35297  df-lplanes 35298  df-lvols 35299  df-lines 35300  df-psubsp 35302  df-pmap 35303  df-padd 35595  df-lhyp 35787  df-laut 35788  df-ldil 35903  df-ltrn 35904  df-trl 35958
This theorem is referenced by:  cdlemg34  36511
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