Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg18c Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemg18c 39551
Description: Show two lines intersect at an atom. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 15-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemg12.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemg12.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg18b.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemg18c (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) ∈ 𝐴)
Proof of Theorem cdlemg18c
StepHypRef Expression
1 simp1l 1198 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp21l 1291 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
3 simp1r 1199 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
4 simp21 1207 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
5 simp22l 1293 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
6 simp31 1210 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
7 cdlemg12.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 cdlemg12.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
9 cdlemg12.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
10 cdlemg12.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
11 cdlemg12.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
12 cdlemg18b.u . . . 4 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
137, 8, 9, 10, 11, 12cdleme0a 39082 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
141, 3, 4, 5, 6, 13syl212anc 1381 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
15 simp1 1137 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
16 simp23 1209 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
17 cdlemg12.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
187, 10, 11, 17ltrnat 39011 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ∈ 𝐴)
1915, 16, 5, 18syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ∈ 𝐴)
207, 10, 11, 17ltrnat 39011 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
2115, 16, 2, 20syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
22 cdlemg12b.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
237, 8, 9, 10, 11, 17, 22, 12cdlemg18b 39550 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ (π‘ˆ ∨ (πΉβ€˜π‘„)))
24 simp32 1211 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑄)
2524necomd 2997 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑄 β‰  (πΉβ€˜π‘ƒ))
2623, 25jca 513 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ (π‘ˆ ∨ (πΉβ€˜π‘„)) ∧ 𝑄 β‰  (πΉβ€˜π‘ƒ)))
27 simp33 1212 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))
287, 8, 9, 10, 11, 17, 22cdlemg18a 39549 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
2915, 2, 5, 16, 6, 27, 28syl132anc 1389 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
307, 8, 10hlatlej2 38246 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
311, 2, 5, 30syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
327, 8, 9, 10, 11, 12cdleme0cp 39085 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) = (𝑃 ∨ 𝑄))
331, 3, 4, 5, 32syl22anc 838 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) = (𝑃 ∨ 𝑄))
3431, 33breqtrrd 5177 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))
357, 8, 10hlatlej2 38246 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
361, 19, 21, 35syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
37 simp22 1208 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
3811, 17, 7, 8, 10, 9, 12cdlemg2kq 39473 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = ((πΉβ€˜π‘„) ∨ π‘ˆ))
3915, 4, 37, 16, 38syl121anc 1376 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = ((πΉβ€˜π‘„) ∨ π‘ˆ))
408, 10hlatjcom 38238 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
411, 21, 19, 40syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
428, 10hlatjcom 38238 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ π‘ˆ) = (π‘ˆ ∨ (πΉβ€˜π‘„)))
431, 19, 14, 42syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ π‘ˆ) = (π‘ˆ ∨ (πΉβ€˜π‘„)))
4439, 41, 433eqtr3d 2781 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (π‘ˆ ∨ (πΉβ€˜π‘„)))
4536, 44breqtrd 5175 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (π‘ˆ ∨ (πΉβ€˜π‘„)))
4634, 45jca 513 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (π‘ˆ ∨ (πΉβ€˜π‘„))))
477, 8, 9, 10ps-2c 38399 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (π‘ˆ ∨ (πΉβ€˜π‘„)) ∧ 𝑄 β‰  (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (π‘ˆ ∨ (πΉβ€˜π‘„))))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) ∈ 𝐴)
481, 2, 14, 19, 5, 21, 26, 29, 46, 47syl333anc 1403 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  lecple 17204  joincjn 18264  meetcmee 18265  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  LHypclh 38855  LTrncltrn 38972  trLctrl 39029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-riotaBAD 37823
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-undef 8258  df-map 8822  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-lplanes 38370  df-lvols 38371  df-lines 38372  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-padd 38667  df-lhyp 38859  df-laut 38860  df-ldil 38975  df-ltrn 38976  df-trl 39030
This theorem is referenced by:  cdlemg18d  39552
  Copyright terms: Public domain W3C validator