Theorem cdlemk11tb 40554

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Lemma for Eq. 5, p. 119. 𝐺, 𝐼 stand for g, h. cdlemk11ta 40552 with hypotheses removed. TODO: Can this be proved directly with no quantification? (Contributed by NM, 21-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk5.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z	⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))))
cdlemk5.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))

Assertion

Ref	Expression
cdlemk11tb	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼)))) → ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑌 ≤ (⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑌 ∨ (𝑅‘(𝐼 ∘ ◡𝐺))))

Distinct variable groups:   ∧ ,𝑔   ∨ ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏   𝑔,𝐺   𝑔,𝐼   ∧ ,𝑏   ∨ ,𝑏   𝐹,𝑏   𝑁,𝑏   𝑃,𝑏   𝑅,𝑏   𝑇,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔,𝑏)   𝐵(𝑏)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑏)   𝐻(𝑔,𝑏)   𝐼(𝑏)   𝐾(𝑔,𝑏)   ≤ (𝑔,𝑏)   𝑁(𝑔)   𝑊(𝑔,𝑏)   𝑌(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑏)

Proof of Theorem cdlemk11tb

Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk5.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cdlemk5.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		cdlemk5.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		cdlemk5.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
5		cdlemk5.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		cdlemk5.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		cdlemk5.t	. 2 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8		cdlemk5.r	. 2 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
9		cdlemk5.z	. 2 ⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))))
10		cdlemk5.y	. 2 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
11		eqid 2725	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹)))))) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
12		eqid 2725	. 2 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (𝑗‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑒)) ∧ ((((𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))‘𝑏)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑒 ∘ ◡𝑏)))))) = (𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (𝑗‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑒)) ∧ ((((𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))‘𝑏)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑒 ∘ ◡𝑏))))))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	cdlemk11ta 40552	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼)))) → ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑌 ≤ (⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑌 ∨ (𝑅‘(𝐼 ∘ ◡𝐺))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ⦋csb 3889   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   I cid 5575  ^◡ccnv 5677   ↾ cres 5680   ∘ ccom 5682  ‘cfv 6549  ℩crio 7374  (class class class)co 7419  Basecbs 17199  lecple 17259  joincjn 18322  meetcmee 18323  Atomscatm 38885  HLchlt 38972  LHypclh 39607  LTrncltrn 39724  trLctrl 39781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-riotaBAD 38575

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-undef 8279  df-map 8847  df-proset 18306  df-poset 18324  df-plt 18341  df-lub 18357  df-glb 18358  df-join 18359  df-meet 18360  df-p0 18436  df-p1 18437  df-lat 18443  df-clat 18510  df-oposet 38798  df-ol 38800  df-oml 38801  df-covers 38888  df-ats 38889  df-atl 38920  df-cvlat 38944  df-hlat 38973  df-llines 39121  df-lplanes 39122  df-lvols 39123  df-lines 39124  df-psubsp 39126  df-pmap 39127  df-padd 39419  df-lhyp 39611  df-laut 39612  df-ldil 39727  df-ltrn 39728  df-trl 39782

This theorem is referenced by:  cdlemk11tc  40568