Theorem cdlemk11tb 41590

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Lemma for Eq. 5, p. 119. 𝐺, 𝐼 stand for g, h. cdlemk11ta 41588 with hypotheses removed. TODO: Can this be proved directly with no quantification? (Contributed by NM, 21-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk5.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z	⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))))
cdlemk5.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))

Assertion

Ref	Expression
cdlemk11tb	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼)))) → ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑌 ≤ (⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑌 ∨ (𝑅‘(𝐼 ∘ ◡𝐺))))

Distinct variable groups:   ∧ ,𝑔   ∨ ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏   𝑔,𝐺   𝑔,𝐼   ∧ ,𝑏   ∨ ,𝑏   𝐹,𝑏   𝑁,𝑏   𝑃,𝑏   𝑅,𝑏   𝑇,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔,𝑏)   𝐵(𝑏)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑏)   𝐻(𝑔,𝑏)   𝐼(𝑏)   𝐾(𝑔,𝑏)   ≤ (𝑔,𝑏)   𝑁(𝑔)   𝑊(𝑔,𝑏)   𝑌(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑏)

Proof of Theorem cdlemk11tb

Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk5.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cdlemk5.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		cdlemk5.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		cdlemk5.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
5		cdlemk5.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		cdlemk5.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		cdlemk5.t	. 2 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8		cdlemk5.r	. 2 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
9		cdlemk5.z	. 2 ⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))))
10		cdlemk5.y	. 2 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
11		eqid 2769	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹)))))) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
12		eqid 2769	. 2 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (𝑗‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑒)) ∧ ((((𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))‘𝑏)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑒 ∘ ◡𝑏)))))) = (𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (𝑗‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑒)) ∧ ((((𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))‘𝑏)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑒 ∘ ◡𝑏))))))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	cdlemk11ta 41588	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼)))) → ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑌 ≤ (⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑌 ∨ (𝑅‘(𝐼 ∘ ◡𝐺))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ⦋csb 3861   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   I cid 5553  ^◡ccnv 5658   ↾ cres 5661   ∘ ccom 5663  ‘cfv 6533  ℩crio 7364  (class class class)co 7408  Basecbs 17265  lecple 17313  joincjn 18363  meetcmee 18364  Atomscatm 39922  HLchlt 40009  LHypclh 40643  LTrncltrn 40760  trLctrl 40817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-riotaBAD 39612

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-undef 8265  df-map 8822  df-proset 18346  df-poset 18365  df-plt 18380  df-lub 18396  df-glb 18397  df-join 18398  df-meet 18399  df-p0 18475  df-p1 18476  df-lat 18484  df-clat 18551  df-oposet 39835  df-ol 39837  df-oml 39838  df-covers 39925  df-ats 39926  df-atl 39957  df-cvlat 39981  df-hlat 40010  df-llines 40157  df-lplanes 40158  df-lvols 40159  df-lines 40160  df-psubsp 40162  df-pmap 40163  df-padd 40455  df-lhyp 40647  df-laut 40648  df-ldil 40763  df-ltrn 40764  df-trl 40818

This theorem is referenced by:  cdlemk11tc  41604