Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdlemk5.b |
. . 3
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
2 | | cdlemk5.l |
. . 3
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | cdlemk5.j |
. . 3
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
4 | | cdlemk5.m |
. . 3
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
5 | | cdlemk5.a |
. . 3
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
6 | | cdlemk5.h |
. . 3
β’ π» = (LHypβπΎ) |
7 | | cdlemk5.t |
. . 3
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
8 | | cdlemk5.r |
. . 3
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
9 | | cdlemk5.z |
. . 3
β’ π = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) |
10 | | cdlemk5.y |
. . 3
β’ π = ((π β¨ (π
βπ)) β§ (π β¨ (π
β(π β β‘π)))) |
11 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 | cdlemk11tb 39440 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΌ)))) β β¦πΊ / πβ¦π β€ (β¦πΌ / πβ¦π β¨ (π
β(πΌ β β‘πΊ)))) |
12 | | simp31 1210 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΌ)))) β π β π) |
13 | | simp32 1211 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΌ)))) β (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ))) |
14 | 12, 13 | jca 513 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΌ)))) β (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)))) |
15 | | cdlemk5.x |
. . . 4
β’ π = (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)) β (π§βπ) = π)) |
16 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
15 | cdlemk42 39450 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)))) β (β¦πΊ / πβ¦πβπ) = β¦πΊ / πβ¦π) |
17 | 14, 16 | syld3an3 1410 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΌ)))) β (β¦πΊ / πβ¦πβπ) = β¦πΊ / πβ¦π) |
18 | | simp11 1204 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΌ)))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
19 | | simp12 1205 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΌ)))) β (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅))) |
20 | | simp331 1327 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΌ)))) β πΌ β π) |
21 | | simp332 1328 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΌ)))) β πΌ β ( I βΎ π΅)) |
22 | 20, 21 | jca 513 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΌ)))) β (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅))) |
23 | | simp2 1138 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΌ)))) β (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) |
24 | | simp321 1324 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΌ)))) β π β ( I βΎ π΅)) |
25 | | simp322 1325 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΌ)))) β (π
βπ) β (π
βπΉ)) |
26 | | simp333 1329 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΌ)))) β (π
βπ) β (π
βπΌ)) |
27 | 24, 25, 26 | 3jca 1129 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΌ)))) β (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΌ))) |
28 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
15 | cdlemk42 39450 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΌ)))) β (β¦πΌ / πβ¦πβπ) = β¦πΌ / πβ¦π) |
29 | 18, 19, 22, 23, 12, 27, 28 | syl312anc 1392 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΌ)))) β (β¦πΌ / πβ¦πβπ) = β¦πΌ / πβ¦π) |
30 | 29 | oveq1d 7373 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΌ)))) β ((β¦πΌ / πβ¦πβπ) β¨ (π
β(πΌ β β‘πΊ))) = (β¦πΌ / πβ¦π β¨ (π
β(πΌ β β‘πΊ)))) |
31 | 11, 17, 30 | 3brtr4d 5138 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΌ)))) β (β¦πΊ / πβ¦πβπ) β€ ((β¦πΌ / πβ¦πβπ) β¨ (π
β(πΌ β β‘πΊ)))) |