Theorem cdlemk19y 41769

Description: cdlemk19 41706 with simpler hypotheses. TODO: Clean all this up. (Contributed by NM, 30-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk5.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z	⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))))
cdlemk5.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))

Assertion

Ref	Expression
cdlemk19y	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹)))) → ⦋𝐹 / 𝑔⦌𝑌 = (𝑁‘𝑃))

Distinct variable groups:   ∧ ,𝑔   ∨ ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏, ∧   ∨ ,𝑏   𝐹,𝑏   𝑁,𝑏   𝑃,𝑏   𝑅,𝑏   𝑇,𝑏   𝑔,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔, 𝑏)   𝐵(𝑏)   𝐻(𝑔, 𝑏)   𝐾(𝑔, 𝑏)   ≤ (𝑔, 𝑏)   𝑁(𝑔)   𝑊(𝑔, 𝑏)   𝑌(𝑔, 𝑏)   𝑍(𝑏)

Proof of Theorem cdlemk19y

Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk5.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cdlemk5.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		cdlemk5.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		cdlemk5.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
5		cdlemk5.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		cdlemk5.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		cdlemk5.t	. 2 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8		cdlemk5.r	. 2 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
9		cdlemk5.z	. 2 ⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))))
10		cdlemk5.y	. 2 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
11		eqid 2765	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹)))))) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
12		eqid 2765	. 2 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (𝑗‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑒)) ∧ ((((𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))‘𝑏)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑒 ∘ ◡𝑏)))))) = (𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (𝑗‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑒)) ∧ ((((𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))‘𝑏)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑒 ∘ ◡𝑏))))))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	cdlemk19ylem 41767	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹)))) → ⦋𝐹 / 𝑔⦌𝑌 = (𝑁‘𝑃))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ⦋csb 3854   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194   I cid 5557  ^◡ccnv 5662   ↾ cres 5665   ∘ ccom 5667  ‘cfv 6541  ℩crio 7376  (class class class)co 7420  Basecbs 17296  lecple 17344  joincjn 18394  meetcmee 18395  Atomscatm 40100  HLchlt 40187  LHypclh 40821  LTrncltrn 40938  trLctrl 40995

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-riotaBAD 39790

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-undef 8276  df-map 8833  df-proset 18377  df-poset 18396  df-plt 18411  df-lub 18427  df-glb 18428  df-join 18429  df-meet 18430  df-p0 18506  df-p1 18507  df-lat 18515  df-clat 18582  df-oposet 40013  df-ol 40015  df-oml 40016  df-covers 40103  df-ats 40104  df-atl 40135  df-cvlat 40159  df-hlat 40188  df-llines 40335  df-lplanes 40336  df-lvols 40337  df-lines 40338  df-psubsp 40340  df-pmap 40341  df-padd 40633  df-lhyp 40825  df-laut 40826  df-ldil 40941  df-ltrn 40942  df-trl 40996

This theorem is used by:  cdlemk19xlem  41779