MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmpfii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmpfii 23306
Description: In a compact topology, a system of closed sets with nonempty finite intersections has a nonempty intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
cmpfii ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑋 ⊆ (Clsd‘𝐽) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝑋)) → 𝑋 ≠ ∅)

Proof of Theorem cmpfii
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6904 . . . . 5 (Clsd‘𝐽) ∈ V
21elpw2 5341 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽) ↔ 𝑋 ⊆ (Clsd‘𝐽))
32biimpri 227 . . 3 (𝑋 ⊆ (Clsd‘𝐽) → 𝑋 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽))
4 cmptop 23292 . . . . 5 (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
5 cmpfi 23305 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ∈ Comp ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽)(¬ ∅ ∈ (fi‘𝑥) → 𝑥 ≠ ∅)))
64, 5syl 17 . . . 4 (𝐽 ∈ Comp → (𝐽 ∈ Comp ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽)(¬ ∅ ∈ (fi‘𝑥) → 𝑥 ≠ ∅)))
76ibi 267 . . 3 (𝐽 ∈ Comp → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽)(¬ ∅ ∈ (fi‘𝑥) → 𝑥 ≠ ∅))
8 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (fi‘𝑥) = (fi‘𝑋))
98eleq2d 2814 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (∅ ∈ (fi‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (fi‘𝑋)))
109notbid 318 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (¬ ∅ ∈ (fi‘𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝑋)))
11 inteq 4947 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 𝑥 = 𝑋)
1211neeq1d 2995 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → ( 𝑥 ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
1310, 12imbi12d 344 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → ((¬ ∅ ∈ (fi‘𝑥) → 𝑥 ≠ ∅) ↔ (¬ ∅ ∈ (fi‘𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)))
1413rspcva 3605 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽)(¬ ∅ ∈ (fi‘𝑥) → 𝑥 ≠ ∅)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘𝑋) → 𝑋 ≠ ∅))
153, 7, 14syl2anr 596 . 2 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑋 ⊆ (Clsd‘𝐽)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘𝑋) → 𝑋 ≠ ∅))
16153impia 1115 1 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑋 ⊆ (Clsd‘𝐽) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝑋)) → 𝑋 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935  wral 3056  wss 3944  c0 4318  𝒫 cpw 4598   cint 4944  cfv 6542  ficfi 9427  Topctop 22788  Clsdccld 22913  Compccmp 23283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7865  df-1o 8480  df-en 8958  df-fin 8961  df-fi 9428  df-top 22789  df-cld 22916  df-cmp 23284
This theorem is referenced by:  fclscmpi  23926  cmpfiiin  42089
  Copyright terms: Public domain W3C validator