Theorem cmpfii 23438

Description: In a compact topology, a system of closed sets with nonempty finite intersections has a nonempty intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cmpfii	⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑋 ⊆ (Clsd‘𝐽) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝑋)) → ∩ 𝑋 ≠ ∅)

Proof of Theorem cmpfii

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6865	. . . . 5 ⊢ (Clsd‘𝐽) ∈ V
2	1	elpw2 5280	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽) ↔ 𝑋 ⊆ (Clsd‘𝐽))
3	2	biimpri 230	. . 3 ⊢ (𝑋 ⊆ (Clsd‘𝐽) → 𝑋 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽))
4		cmptop 23424	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
5		cmpfi 23437	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ∈ Comp ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽)(¬ ∅ ∈ (fi‘𝑥) → ∩ 𝑥 ≠ ∅)))
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → (𝐽 ∈ Comp ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽)(¬ ∅ ∈ (fi‘𝑥) → ∩ 𝑥 ≠ ∅)))
7	6	ibi 269	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽)(¬ ∅ ∈ (fi‘𝑥) → ∩ 𝑥 ≠ ∅))
8		fveq2 6852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (fi‘𝑥) = (fi‘𝑋))
9	8	eleq2d 2838	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∅ ∈ (fi‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (fi‘𝑋)))
10	9	notbid 320	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (¬ ∅ ∈ (fi‘𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝑋)))
11		inteq 4898	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ∩ 𝑥 = ∩ 𝑋)
12	11	neeq1d 3006	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∩ 𝑥 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝑋 ≠ ∅))
13	10, 12	imbi12d 346	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((¬ ∅ ∈ (fi‘𝑥) → ∩ 𝑥 ≠ ∅) ↔ (¬ ∅ ∈ (fi‘𝑋) → ∩ 𝑋 ≠ ∅)))
14	13	rspcva 3570	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽)(¬ ∅ ∈ (fi‘𝑥) → ∩ 𝑥 ≠ ∅)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘𝑋) → ∩ 𝑋 ≠ ∅))
15	3, 7, 14	syl2anr 605	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑋 ⊆ (Clsd‘𝐽)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘𝑋) → ∩ 𝑋 ≠ ∅))
16	15	3impia 1126	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑋 ⊆ (Clsd‘𝐽) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝑋)) → ∩ 𝑋 ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1095   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   ≠ wne 2947  ∀wral 3066   ⊆ wss 3895  ∅c0 4276  𝒫 cpw 4545  ∩ cint 4895  ‘cfv 6506  ficfi 9342  Topctop 22922  Clsdccld 23045  Compccmp 23415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-om 7832  df-1o 8421  df-en 8913  df-dom 8914  df-fin 8916  df-fi 9343  df-top 22923  df-cld 23048  df-cmp 23416

This theorem is referenced by:  fclscmpi  24058  cmpfiiin  43216