Theorem cmpfii 23433

Description: In a compact topology, a system of closed sets with nonempty finite intersections has a nonempty intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cmpfii	⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑋 ⊆ (Clsd‘𝐽) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝑋)) → ∩ 𝑋 ≠ ∅)

Proof of Theorem cmpfii

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6920	. . . . 5 ⊢ (Clsd‘𝐽) ∈ V
2	1	elpw2 5340	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽) ↔ 𝑋 ⊆ (Clsd‘𝐽))
3	2	biimpri 228	. . 3 ⊢ (𝑋 ⊆ (Clsd‘𝐽) → 𝑋 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽))
4		cmptop 23419	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
5		cmpfi 23432	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ∈ Comp ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽)(¬ ∅ ∈ (fi‘𝑥) → ∩ 𝑥 ≠ ∅)))
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → (𝐽 ∈ Comp ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽)(¬ ∅ ∈ (fi‘𝑥) → ∩ 𝑥 ≠ ∅)))
7	6	ibi 267	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽)(¬ ∅ ∈ (fi‘𝑥) → ∩ 𝑥 ≠ ∅))
8		fveq2 6907	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (fi‘𝑥) = (fi‘𝑋))
9	8	eleq2d 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∅ ∈ (fi‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (fi‘𝑋)))
10	9	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (¬ ∅ ∈ (fi‘𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝑋)))
11		inteq 4954	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ∩ 𝑥 = ∩ 𝑋)
12	11	neeq1d 2998	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∩ 𝑥 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝑋 ≠ ∅))
13	10, 12	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((¬ ∅ ∈ (fi‘𝑥) → ∩ 𝑥 ≠ ∅) ↔ (¬ ∅ ∈ (fi‘𝑋) → ∩ 𝑋 ≠ ∅)))
14	13	rspcva 3620	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽)(¬ ∅ ∈ (fi‘𝑥) → ∩ 𝑥 ≠ ∅)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘𝑋) → ∩ 𝑋 ≠ ∅))
15	3, 7, 14	syl2anr 597	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑋 ⊆ (Clsd‘𝐽)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘𝑋) → ∩ 𝑋 ≠ ∅))
16	15	3impia 1116	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑋 ⊆ (Clsd‘𝐽) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝑋)) → ∩ 𝑋 ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  𝒫 cpw 4605  ∩ cint 4951  ‘cfv 6563  ficfi 9448  Topctop 22915  Clsdccld 23040  Compccmp 23410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-en 8985  df-dom 8986  df-fin 8988  df-fi 9449  df-top 22916  df-cld 23043  df-cmp 23411

This theorem is referenced by:  fclscmpi  24053  cmpfiiin  42685