Theorem cmpfii 23635

Description: In a compact topology, a system of closed sets with nonempty finite intersections has a nonempty intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cmpfii	⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑋 ⊆ (Clsd‘𝐽) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝑋)) → ∩ 𝑋 ≠ ∅)

Proof of Theorem cmpfii

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6895	. . . . 5 ⊢ (Clsd‘𝐽) ∈ V
2	1	elpw2 5303	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽) ↔ 𝑋 ⊆ (Clsd‘𝐽))
3	2	biimpri 231	. . 3 ⊢ (𝑋 ⊆ (Clsd‘𝐽) → 𝑋 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽))
4		cmptop 23621	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
5		cmpfi 23634	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ∈ Comp ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽)(¬ ∅ ∈ (fi‘𝑥) → ∩ 𝑥 ≠ ∅)))
6	4, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → (𝐽 ∈ Comp ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽)(¬ ∅ ∈ (fi‘𝑥) → ∩ 𝑥 ≠ ∅)))
7	6	ibi 270	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽)(¬ ∅ ∈ (fi‘𝑥) → ∩ 𝑥 ≠ ∅))
8		fveq2 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (fi‘𝑥) = (fi‘𝑋))
9	8	eleq2d 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∅ ∈ (fi‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (fi‘𝑋)))
10	9	notbid 321	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (¬ ∅ ∈ (fi‘𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝑋)))
11		inteq 4913	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ∩ 𝑥 = ∩ 𝑋)
12	11	neeq1d 3016	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∩ 𝑥 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝑋 ≠ ∅))
13	10, 12	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((¬ ∅ ∈ (fi‘𝑥) → ∩ 𝑥 ≠ ∅) ↔ (¬ ∅ ∈ (fi‘𝑋) → ∩ 𝑋 ≠ ∅)))
14	13	rspcva 3577	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽)(¬ ∅ ∈ (fi‘𝑥) → ∩ 𝑥 ≠ ∅)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘𝑋) → ∩ 𝑋 ≠ ∅))
15	3, 7, 14	syl2anr 609	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑋 ⊆ (Clsd‘𝐽)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘𝑋) → ∩ 𝑋 ≠ ∅))
16	15	3impia 1135	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑋 ⊆ (Clsd‘𝐽) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝑋)) → ∩ 𝑋 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560  ∩ cint 4910  ‘cfv 6537  ficfi 9383  Topctop 23119  Clsdccld 23242  Compccmp 23612

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7866  df-1o 8458  df-en 8956  df-dom 8957  df-fin 8959  df-fi 9384  df-top 23120  df-cld 23245  df-cmp 23613

This theorem is used by:  fclscmpi  24256  cmpfiiin  43529