Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elrfirn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrfirn2 40221
Description: Elementhood in a set of relative finite intersections of an indexed family of sets (implicit). (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
elrfirn2 ((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ ran (𝑦𝐼𝐶))) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 𝑦𝑣 𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐵,𝑦   𝑣,𝐶   𝑣,𝐼,𝑦   𝑣,𝑉,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem elrfirn2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpw2g 5237 . . . . . . 7 (𝐵𝑉 → (𝐶 ∈ 𝒫 𝐵𝐶𝐵))
21biimprd 251 . . . . . 6 (𝐵𝑉 → (𝐶𝐵𝐶 ∈ 𝒫 𝐵))
32ralimdv 3101 . . . . 5 (𝐵𝑉 → (∀𝑦𝐼 𝐶𝐵 → ∀𝑦𝐼 𝐶 ∈ 𝒫 𝐵))
43imp 410 . . . 4 ((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) → ∀𝑦𝐼 𝐶 ∈ 𝒫 𝐵)
5 eqid 2737 . . . . 5 (𝑦𝐼𝐶) = (𝑦𝐼𝐶)
65fmpt 6927 . . . 4 (∀𝑦𝐼 𝐶 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ (𝑦𝐼𝐶):𝐼⟶𝒫 𝐵)
74, 6sylib 221 . . 3 ((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) → (𝑦𝐼𝐶):𝐼⟶𝒫 𝐵)
8 elrfirn 40220 . . 3 ((𝐵𝑉 ∧ (𝑦𝐼𝐶):𝐼⟶𝒫 𝐵) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ ran (𝑦𝐼𝐶))) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 𝑧𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧))))
97, 8syldan 594 . 2 ((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ ran (𝑦𝐼𝐶))) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 𝑧𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧))))
10 inss1 4143 . . . . . 6 (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐼
1110sseli 3896 . . . . 5 (𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) → 𝑣 ∈ 𝒫 𝐼)
1211elpwid 4524 . . . 4 (𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) → 𝑣𝐼)
13 nffvmpt1 6728 . . . . . . . 8 𝑦((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧)
14 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑧((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦)
15 fveq2 6717 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧) = ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦))
1613, 14, 15cbviin 4946 . . . . . . 7 𝑧𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧) = 𝑦𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦)
17 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑉𝑦𝐼) ∧ 𝐶𝐵) → 𝑦𝐼)
18 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑉𝑦𝐼) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐵𝑉)
19 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑉𝑦𝐼) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
2018, 19ssexd 5217 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑉𝑦𝐼) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ V)
215fvmpt2 6829 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐼𝐶 ∈ V) → ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶)
2217, 20, 21syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑉𝑦𝐼) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶)
2322ex 416 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵𝑉𝑦𝐼) → (𝐶𝐵 → ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶))
2423ralimdva 3100 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝑉 → (∀𝑦𝐼 𝐶𝐵 → ∀𝑦𝐼 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶))
2524imp 410 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) → ∀𝑦𝐼 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶)
26 ssralv 3967 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐼 → (∀𝑦𝐼 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶 → ∀𝑦𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶))
2725, 26mpan9 510 . . . . . . . 8 (((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) ∧ 𝑣𝐼) → ∀𝑦𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶)
28 iineq2 4924 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶 𝑦𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝑦𝑣 𝐶)
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) ∧ 𝑣𝐼) → 𝑦𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝑦𝑣 𝐶)
3016, 29syl5eq 2790 . . . . . 6 (((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) ∧ 𝑣𝐼) → 𝑧𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧) = 𝑦𝑣 𝐶)
3130ineq2d 4127 . . . . 5 (((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) ∧ 𝑣𝐼) → (𝐵 𝑧𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧)) = (𝐵 𝑦𝑣 𝐶))
3231eqeq2d 2748 . . . 4 (((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) ∧ 𝑣𝐼) → (𝐴 = (𝐵 𝑧𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧)) ↔ 𝐴 = (𝐵 𝑦𝑣 𝐶)))
3312, 32sylan2 596 . . 3 (((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) → (𝐴 = (𝐵 𝑧𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧)) ↔ 𝐴 = (𝐵 𝑦𝑣 𝐶)))
3433rexbidva 3215 . 2 ((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 𝑧𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 𝑦𝑣 𝐶)))
359, 34bitrd 282 1 ((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ ran (𝑦𝐼𝐶))) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 𝑦𝑣 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3408  cun 3864  cin 3865  wss 3866  𝒫 cpw 4513  {csn 4541   ciin 4905  cmpt 5135  ran crn 5552  wf 6376  cfv 6380  Fincfn 8626  ficfi 9026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-om 7645  df-1o 8202  df-en 8627  df-fin 8630  df-fi 9027
This theorem is referenced by:  cmpfiiin  40222
  Copyright terms: Public domain W3C validator