Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elrfirn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrfirn2 38778
Description: Elementhood in a set of relative finite intersections of an indexed family of sets (implicit). (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
elrfirn2 ((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ ran (𝑦𝐼𝐶))) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 𝑦𝑣 𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐵,𝑦   𝑣,𝐶   𝑣,𝐼,𝑦   𝑣,𝑉,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem elrfirn2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpw2g 5138 . . . . . . 7 (𝐵𝑉 → (𝐶 ∈ 𝒫 𝐵𝐶𝐵))
21biimprd 249 . . . . . 6 (𝐵𝑉 → (𝐶𝐵𝐶 ∈ 𝒫 𝐵))
32ralimdv 3145 . . . . 5 (𝐵𝑉 → (∀𝑦𝐼 𝐶𝐵 → ∀𝑦𝐼 𝐶 ∈ 𝒫 𝐵))
43imp 407 . . . 4 ((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) → ∀𝑦𝐼 𝐶 ∈ 𝒫 𝐵)
5 eqid 2795 . . . . 5 (𝑦𝐼𝐶) = (𝑦𝐼𝐶)
65fmpt 6737 . . . 4 (∀𝑦𝐼 𝐶 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ (𝑦𝐼𝐶):𝐼⟶𝒫 𝐵)
74, 6sylib 219 . . 3 ((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) → (𝑦𝐼𝐶):𝐼⟶𝒫 𝐵)
8 elrfirn 38777 . . 3 ((𝐵𝑉 ∧ (𝑦𝐼𝐶):𝐼⟶𝒫 𝐵) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ ran (𝑦𝐼𝐶))) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 𝑧𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧))))
97, 8syldan 591 . 2 ((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ ran (𝑦𝐼𝐶))) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 𝑧𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧))))
10 inss1 4125 . . . . . 6 (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐼
1110sseli 3885 . . . . 5 (𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) → 𝑣 ∈ 𝒫 𝐼)
1211elpwid 4465 . . . 4 (𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) → 𝑣𝐼)
13 nffvmpt1 6549 . . . . . . . 8 𝑦((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧)
14 nfcv 2949 . . . . . . . 8 𝑧((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦)
15 fveq2 6538 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧) = ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦))
1613, 14, 15cbviin 4865 . . . . . . 7 𝑧𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧) = 𝑦𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦)
17 simplr 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑉𝑦𝐼) ∧ 𝐶𝐵) → 𝑦𝐼)
18 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑉𝑦𝐼) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐵𝑉)
19 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑉𝑦𝐼) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
2018, 19ssexd 5119 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑉𝑦𝐼) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ V)
215fvmpt2 6645 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐼𝐶 ∈ V) → ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶)
2217, 20, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑉𝑦𝐼) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶)
2322ex 413 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵𝑉𝑦𝐼) → (𝐶𝐵 → ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶))
2423ralimdva 3144 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝑉 → (∀𝑦𝐼 𝐶𝐵 → ∀𝑦𝐼 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶))
2524imp 407 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) → ∀𝑦𝐼 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶)
26 ssralv 3954 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐼 → (∀𝑦𝐼 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶 → ∀𝑦𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶))
2725, 26mpan9 507 . . . . . . . 8 (((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) ∧ 𝑣𝐼) → ∀𝑦𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶)
28 iineq2 4844 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶 𝑦𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝑦𝑣 𝐶)
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) ∧ 𝑣𝐼) → 𝑦𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝑦𝑣 𝐶)
3016, 29syl5eq 2843 . . . . . 6 (((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) ∧ 𝑣𝐼) → 𝑧𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧) = 𝑦𝑣 𝐶)
3130ineq2d 4109 . . . . 5 (((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) ∧ 𝑣𝐼) → (𝐵 𝑧𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧)) = (𝐵 𝑦𝑣 𝐶))
3231eqeq2d 2805 . . . 4 (((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) ∧ 𝑣𝐼) → (𝐴 = (𝐵 𝑧𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧)) ↔ 𝐴 = (𝐵 𝑦𝑣 𝐶)))
3312, 32sylan2 592 . . 3 (((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) → (𝐴 = (𝐵 𝑧𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧)) ↔ 𝐴 = (𝐵 𝑦𝑣 𝐶)))
3433rexbidva 3259 . 2 ((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 𝑧𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 𝑦𝑣 𝐶)))
359, 34bitrd 280 1 ((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ ran (𝑦𝐼𝐶))) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 𝑦𝑣 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wral 3105  wrex 3106  Vcvv 3437  cun 3857  cin 3858  wss 3859  𝒫 cpw 4453  {csn 4472   ciin 4826  cmpt 5041  ran crn 5444  wf 6221  cfv 6225  Fincfn 8357  ficfi 8720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-fin 8361  df-fi 8721
This theorem is referenced by:  cmpfiiin  38779
  Copyright terms: Public domain W3C validator