Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elrfirn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrfirn2 41737
Description: Elementhood in a set of relative finite intersections of an indexed family of sets (implicit). (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
elrfirn2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐴 ∈ (fiβ€˜({𝐡} βˆͺ ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢))) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 𝐢)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐡,𝑦   𝑣,𝐢   𝑣,𝐼,𝑦   𝑣,𝑉,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐢(𝑦)

Proof of Theorem elrfirn2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpw2g 5344 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (𝐢 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝐢 βŠ† 𝐡))
21biimprd 247 . . . . . 6 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (𝐢 βŠ† 𝐡 β†’ 𝐢 ∈ 𝒫 𝐡))
32ralimdv 3168 . . . . 5 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 ∈ 𝒫 𝐡))
43imp 406 . . . 4 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 ∈ 𝒫 𝐡)
5 eqid 2731 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)
65fmpt 7111 . . . 4 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢):πΌβŸΆπ’« 𝐡)
74, 6sylib 217 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢):πΌβŸΆπ’« 𝐡)
8 elrfirn 41736 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢):πΌβŸΆπ’« 𝐡) β†’ (𝐴 ∈ (fiβ€˜({𝐡} βˆͺ ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢))) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘§))))
97, 8syldan 590 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐴 ∈ (fiβ€˜({𝐡} βˆͺ ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢))) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘§))))
10 inss1 4228 . . . . . 6 (𝒫 𝐼 ∩ Fin) βŠ† 𝒫 𝐼
1110sseli 3978 . . . . 5 (𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) β†’ 𝑣 ∈ 𝒫 𝐼)
1211elpwid 4611 . . . 4 (𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) β†’ 𝑣 βŠ† 𝐼)
13 nffvmpt1 6902 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)
14 nfcv 2902 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑧((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦)
15 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) = ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦))
1613, 14, 15cbviin 5040 . . . . . . 7 ∩ 𝑧 ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) = ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦)
17 simplr 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐼)
18 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
19 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐢 βŠ† 𝐡)
2018, 19ssexd 5324 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ V)
215fvmpt2 7009 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝐢 ∈ V) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = 𝐢)
2217, 20, 21syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = 𝐢)
2322ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (𝐢 βŠ† 𝐡 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = 𝐢))
2423ralimdva 3166 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = 𝐢))
2524imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = 𝐢)
26 ssralv 4050 . . . . . . . . 9 (𝑣 βŠ† 𝐼 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = 𝐢 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = 𝐢))
2725, 26mpan9 506 . . . . . . . 8 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑣 βŠ† 𝐼) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = 𝐢)
28 iineq2 5017 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = 𝐢 β†’ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 𝐢)
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑣 βŠ† 𝐼) β†’ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 𝐢)
3016, 29eqtrid 2783 . . . . . 6 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑣 βŠ† 𝐼) β†’ ∩ 𝑧 ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) = ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 𝐢)
3130ineq2d 4212 . . . . 5 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑣 βŠ† 𝐼) β†’ (𝐡 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)) = (𝐡 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 𝐢))
3231eqeq2d 2742 . . . 4 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑣 βŠ† 𝐼) β†’ (𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)) ↔ 𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 𝐢)))
3312, 32sylan2 592 . . 3 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) β†’ (𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)) ↔ 𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 𝐢)))
3433rexbidva 3175 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 𝐢)))
359, 34bitrd 279 1 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐴 ∈ (fiβ€˜({𝐡} βˆͺ ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢))) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆ© ciin 4998   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  Fincfn 8943  ficfi 9409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7860  df-1o 8470  df-en 8944  df-fin 8947  df-fi 9410
This theorem is referenced by:  cmpfiiin  41738
  Copyright terms: Public domain W3C validator