Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elrfirn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrfirn2 40728
Description: Elementhood in a set of relative finite intersections of an indexed family of sets (implicit). (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
elrfirn2 ((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ ran (𝑦𝐼𝐶))) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 𝑦𝑣 𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐵,𝑦   𝑣,𝐶   𝑣,𝐼,𝑦   𝑣,𝑉,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem elrfirn2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpw2g 5281 . . . . . . 7 (𝐵𝑉 → (𝐶 ∈ 𝒫 𝐵𝐶𝐵))
21biimprd 247 . . . . . 6 (𝐵𝑉 → (𝐶𝐵𝐶 ∈ 𝒫 𝐵))
32ralimdv 3163 . . . . 5 (𝐵𝑉 → (∀𝑦𝐼 𝐶𝐵 → ∀𝑦𝐼 𝐶 ∈ 𝒫 𝐵))
43imp 407 . . . 4 ((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) → ∀𝑦𝐼 𝐶 ∈ 𝒫 𝐵)
5 eqid 2737 . . . . 5 (𝑦𝐼𝐶) = (𝑦𝐼𝐶)
65fmpt 7021 . . . 4 (∀𝑦𝐼 𝐶 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ (𝑦𝐼𝐶):𝐼⟶𝒫 𝐵)
74, 6sylib 217 . . 3 ((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) → (𝑦𝐼𝐶):𝐼⟶𝒫 𝐵)
8 elrfirn 40727 . . 3 ((𝐵𝑉 ∧ (𝑦𝐼𝐶):𝐼⟶𝒫 𝐵) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ ran (𝑦𝐼𝐶))) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 𝑧𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧))))
97, 8syldan 591 . 2 ((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ ran (𝑦𝐼𝐶))) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 𝑧𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧))))
10 inss1 4172 . . . . . 6 (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐼
1110sseli 3926 . . . . 5 (𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) → 𝑣 ∈ 𝒫 𝐼)
1211elpwid 4552 . . . 4 (𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) → 𝑣𝐼)
13 nffvmpt1 6820 . . . . . . . 8 𝑦((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧)
14 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑧((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦)
15 fveq2 6809 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧) = ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦))
1613, 14, 15cbviin 4978 . . . . . . 7 𝑧𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧) = 𝑦𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦)
17 simplr 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑉𝑦𝐼) ∧ 𝐶𝐵) → 𝑦𝐼)
18 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑉𝑦𝐼) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐵𝑉)
19 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑉𝑦𝐼) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
2018, 19ssexd 5261 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑉𝑦𝐼) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ V)
215fvmpt2 6923 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐼𝐶 ∈ V) → ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶)
2217, 20, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑉𝑦𝐼) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶)
2322ex 413 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵𝑉𝑦𝐼) → (𝐶𝐵 → ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶))
2423ralimdva 3161 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝑉 → (∀𝑦𝐼 𝐶𝐵 → ∀𝑦𝐼 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶))
2524imp 407 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) → ∀𝑦𝐼 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶)
26 ssralv 3996 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐼 → (∀𝑦𝐼 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶 → ∀𝑦𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶))
2725, 26mpan9 507 . . . . . . . 8 (((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) ∧ 𝑣𝐼) → ∀𝑦𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶)
28 iineq2 4955 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶 𝑦𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝑦𝑣 𝐶)
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) ∧ 𝑣𝐼) → 𝑦𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝑦𝑣 𝐶)
3016, 29eqtrid 2789 . . . . . 6 (((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) ∧ 𝑣𝐼) → 𝑧𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧) = 𝑦𝑣 𝐶)
3130ineq2d 4156 . . . . 5 (((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) ∧ 𝑣𝐼) → (𝐵 𝑧𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧)) = (𝐵 𝑦𝑣 𝐶))
3231eqeq2d 2748 . . . 4 (((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) ∧ 𝑣𝐼) → (𝐴 = (𝐵 𝑧𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧)) ↔ 𝐴 = (𝐵 𝑦𝑣 𝐶)))
3312, 32sylan2 593 . . 3 (((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) → (𝐴 = (𝐵 𝑧𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧)) ↔ 𝐴 = (𝐵 𝑦𝑣 𝐶)))
3433rexbidva 3170 . 2 ((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 𝑧𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 𝑦𝑣 𝐶)))
359, 34bitrd 278 1 ((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ ran (𝑦𝐼𝐶))) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 𝑦𝑣 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3441  cun 3894  cin 3895  wss 3896  𝒫 cpw 4543  {csn 4569   ciin 4936  cmpt 5168  ran crn 5606  wf 6459  cfv 6463  Fincfn 8779  ficfi 9237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-int 4891  df-iin 4938  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-om 7756  df-1o 8342  df-en 8780  df-fin 8783  df-fi 9238
This theorem is referenced by:  cmpfiiin  40729
  Copyright terms: Public domain W3C validator