Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elrfirn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrfirn2 41736
Description: Elementhood in a set of relative finite intersections of an indexed family of sets (implicit). (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
elrfirn2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐴 ∈ (fiβ€˜({𝐡} βˆͺ ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢))) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 𝐢)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐡,𝑦   𝑣,𝐢   𝑣,𝐼,𝑦   𝑣,𝑉,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐢(𝑦)

Proof of Theorem elrfirn2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpw2g 5343 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (𝐢 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝐢 βŠ† 𝐡))
21biimprd 247 . . . . . 6 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (𝐢 βŠ† 𝐡 β†’ 𝐢 ∈ 𝒫 𝐡))
32ralimdv 3167 . . . . 5 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 ∈ 𝒫 𝐡))
43imp 405 . . . 4 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 ∈ 𝒫 𝐡)
5 eqid 2730 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)
65fmpt 7110 . . . 4 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢):πΌβŸΆπ’« 𝐡)
74, 6sylib 217 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢):πΌβŸΆπ’« 𝐡)
8 elrfirn 41735 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢):πΌβŸΆπ’« 𝐡) β†’ (𝐴 ∈ (fiβ€˜({𝐡} βˆͺ ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢))) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘§))))
97, 8syldan 589 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐴 ∈ (fiβ€˜({𝐡} βˆͺ ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢))) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘§))))
10 inss1 4227 . . . . . 6 (𝒫 𝐼 ∩ Fin) βŠ† 𝒫 𝐼
1110sseli 3977 . . . . 5 (𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) β†’ 𝑣 ∈ 𝒫 𝐼)
1211elpwid 4610 . . . 4 (𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) β†’ 𝑣 βŠ† 𝐼)
13 nffvmpt1 6901 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)
14 nfcv 2901 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑧((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦)
15 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) = ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦))
1613, 14, 15cbviin 5039 . . . . . . 7 ∩ 𝑧 ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) = ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦)
17 simplr 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐼)
18 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
19 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐢 βŠ† 𝐡)
2018, 19ssexd 5323 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ V)
215fvmpt2 7008 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝐢 ∈ V) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = 𝐢)
2217, 20, 21syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = 𝐢)
2322ex 411 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (𝐢 βŠ† 𝐡 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = 𝐢))
2423ralimdva 3165 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = 𝐢))
2524imp 405 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = 𝐢)
26 ssralv 4049 . . . . . . . . 9 (𝑣 βŠ† 𝐼 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = 𝐢 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = 𝐢))
2725, 26mpan9 505 . . . . . . . 8 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑣 βŠ† 𝐼) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = 𝐢)
28 iineq2 5016 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = 𝐢 β†’ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 𝐢)
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑣 βŠ† 𝐼) β†’ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 𝐢)
3016, 29eqtrid 2782 . . . . . 6 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑣 βŠ† 𝐼) β†’ ∩ 𝑧 ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) = ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 𝐢)
3130ineq2d 4211 . . . . 5 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑣 βŠ† 𝐼) β†’ (𝐡 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)) = (𝐡 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 𝐢))
3231eqeq2d 2741 . . . 4 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑣 βŠ† 𝐼) β†’ (𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)) ↔ 𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 𝐢)))
3312, 32sylan2 591 . . 3 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) β†’ (𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)) ↔ 𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 𝐢)))
3433rexbidva 3174 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 𝐢)))
359, 34bitrd 278 1 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐴 ∈ (fiβ€˜({𝐡} βˆͺ ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢))) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  {csn 4627  βˆ© ciin 4997   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  Fincfn 8941  ficfi 9407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7858  df-1o 8468  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408
This theorem is referenced by:  cmpfiiin  41737
  Copyright terms: Public domain W3C validator