Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elrfirn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrfirn2 41066
Description: Elementhood in a set of relative finite intersections of an indexed family of sets (implicit). (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
elrfirn2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐴 ∈ (fiβ€˜({𝐡} βˆͺ ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢))) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 𝐢)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐡,𝑦   𝑣,𝐢   𝑣,𝐼,𝑦   𝑣,𝑉,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐢(𝑦)

Proof of Theorem elrfirn2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpw2g 5305 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (𝐢 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝐢 βŠ† 𝐡))
21biimprd 248 . . . . . 6 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (𝐢 βŠ† 𝐡 β†’ 𝐢 ∈ 𝒫 𝐡))
32ralimdv 3163 . . . . 5 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 ∈ 𝒫 𝐡))
43imp 408 . . . 4 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 ∈ 𝒫 𝐡)
5 eqid 2733 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)
65fmpt 7062 . . . 4 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢):πΌβŸΆπ’« 𝐡)
74, 6sylib 217 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢):πΌβŸΆπ’« 𝐡)
8 elrfirn 41065 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢):πΌβŸΆπ’« 𝐡) β†’ (𝐴 ∈ (fiβ€˜({𝐡} βˆͺ ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢))) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘§))))
97, 8syldan 592 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐴 ∈ (fiβ€˜({𝐡} βˆͺ ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢))) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘§))))
10 inss1 4192 . . . . . 6 (𝒫 𝐼 ∩ Fin) βŠ† 𝒫 𝐼
1110sseli 3944 . . . . 5 (𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) β†’ 𝑣 ∈ 𝒫 𝐼)
1211elpwid 4573 . . . 4 (𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) β†’ 𝑣 βŠ† 𝐼)
13 nffvmpt1 6857 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)
14 nfcv 2904 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑧((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦)
15 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) = ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦))
1613, 14, 15cbviin 5001 . . . . . . 7 ∩ 𝑧 ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) = ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦)
17 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐼)
18 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
19 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐢 βŠ† 𝐡)
2018, 19ssexd 5285 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ V)
215fvmpt2 6963 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝐢 ∈ V) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = 𝐢)
2217, 20, 21syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = 𝐢)
2322ex 414 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (𝐢 βŠ† 𝐡 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = 𝐢))
2423ralimdva 3161 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = 𝐢))
2524imp 408 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = 𝐢)
26 ssralv 4014 . . . . . . . . 9 (𝑣 βŠ† 𝐼 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = 𝐢 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = 𝐢))
2725, 26mpan9 508 . . . . . . . 8 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑣 βŠ† 𝐼) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = 𝐢)
28 iineq2 4978 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = 𝐢 β†’ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 𝐢)
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑣 βŠ† 𝐼) β†’ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 𝐢)
3016, 29eqtrid 2785 . . . . . 6 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑣 βŠ† 𝐼) β†’ ∩ 𝑧 ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) = ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 𝐢)
3130ineq2d 4176 . . . . 5 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑣 βŠ† 𝐼) β†’ (𝐡 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)) = (𝐡 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 𝐢))
3231eqeq2d 2744 . . . 4 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑣 βŠ† 𝐼) β†’ (𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)) ↔ 𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 𝐢)))
3312, 32sylan2 594 . . 3 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) β†’ (𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)) ↔ 𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 𝐢)))
3433rexbidva 3170 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑣 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 𝐢)))
359, 34bitrd 279 1 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 𝐢 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐴 ∈ (fiβ€˜({𝐡} βˆͺ ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝐢))) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐡 ∩ ∩ 𝑦 ∈ 𝑣 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   βˆͺ cun 3912   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  π’« cpw 4564  {csn 4590  βˆ© ciin 4959   ↦ cmpt 5192  ran crn 5638  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  Fincfn 8889  ficfi 9354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-om 7807  df-1o 8416  df-en 8890  df-fin 8893  df-fi 9355
This theorem is referenced by:  cmpfiiin  41067
  Copyright terms: Public domain W3C validator