Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elrfirn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrfirn2 42707
Description: Elementhood in a set of relative finite intersections of an indexed family of sets (implicit). (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
elrfirn2 ((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ ran (𝑦𝐼𝐶))) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 𝑦𝑣 𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐵,𝑦   𝑣,𝐶   𝑣,𝐼,𝑦   𝑣,𝑉,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem elrfirn2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpw2g 5333 . . . . . . 7 (𝐵𝑉 → (𝐶 ∈ 𝒫 𝐵𝐶𝐵))
21biimprd 248 . . . . . 6 (𝐵𝑉 → (𝐶𝐵𝐶 ∈ 𝒫 𝐵))
32ralimdv 3169 . . . . 5 (𝐵𝑉 → (∀𝑦𝐼 𝐶𝐵 → ∀𝑦𝐼 𝐶 ∈ 𝒫 𝐵))
43imp 406 . . . 4 ((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) → ∀𝑦𝐼 𝐶 ∈ 𝒫 𝐵)
5 eqid 2737 . . . . 5 (𝑦𝐼𝐶) = (𝑦𝐼𝐶)
65fmpt 7130 . . . 4 (∀𝑦𝐼 𝐶 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ (𝑦𝐼𝐶):𝐼⟶𝒫 𝐵)
74, 6sylib 218 . . 3 ((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) → (𝑦𝐼𝐶):𝐼⟶𝒫 𝐵)
8 elrfirn 42706 . . 3 ((𝐵𝑉 ∧ (𝑦𝐼𝐶):𝐼⟶𝒫 𝐵) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ ran (𝑦𝐼𝐶))) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 𝑧𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧))))
97, 8syldan 591 . 2 ((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ ran (𝑦𝐼𝐶))) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 𝑧𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧))))
10 inss1 4237 . . . . . 6 (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐼
1110sseli 3979 . . . . 5 (𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) → 𝑣 ∈ 𝒫 𝐼)
1211elpwid 4609 . . . 4 (𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) → 𝑣𝐼)
13 nffvmpt1 6917 . . . . . . . 8 𝑦((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧)
14 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑧((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦)
15 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧) = ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦))
1613, 14, 15cbviin 5037 . . . . . . 7 𝑧𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧) = 𝑦𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦)
17 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑉𝑦𝐼) ∧ 𝐶𝐵) → 𝑦𝐼)
18 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑉𝑦𝐼) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐵𝑉)
19 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑉𝑦𝐼) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
2018, 19ssexd 5324 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑉𝑦𝐼) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ V)
215fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐼𝐶 ∈ V) → ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶)
2217, 20, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑉𝑦𝐼) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶)
2322ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵𝑉𝑦𝐼) → (𝐶𝐵 → ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶))
2423ralimdva 3167 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝑉 → (∀𝑦𝐼 𝐶𝐵 → ∀𝑦𝐼 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶))
2524imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) → ∀𝑦𝐼 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶)
26 ssralv 4052 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐼 → (∀𝑦𝐼 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶 → ∀𝑦𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶))
2725, 26mpan9 506 . . . . . . . 8 (((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) ∧ 𝑣𝐼) → ∀𝑦𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶)
28 iineq2 5012 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝐶 𝑦𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝑦𝑣 𝐶)
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) ∧ 𝑣𝐼) → 𝑦𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑦) = 𝑦𝑣 𝐶)
3016, 29eqtrid 2789 . . . . . 6 (((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) ∧ 𝑣𝐼) → 𝑧𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧) = 𝑦𝑣 𝐶)
3130ineq2d 4220 . . . . 5 (((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) ∧ 𝑣𝐼) → (𝐵 𝑧𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧)) = (𝐵 𝑦𝑣 𝐶))
3231eqeq2d 2748 . . . 4 (((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) ∧ 𝑣𝐼) → (𝐴 = (𝐵 𝑧𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧)) ↔ 𝐴 = (𝐵 𝑦𝑣 𝐶)))
3312, 32sylan2 593 . . 3 (((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) → (𝐴 = (𝐵 𝑧𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧)) ↔ 𝐴 = (𝐵 𝑦𝑣 𝐶)))
3433rexbidva 3177 . 2 ((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 𝑧𝑣 ((𝑦𝐼𝐶)‘𝑧)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 𝑦𝑣 𝐶)))
359, 34bitrd 279 1 ((𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐼 𝐶𝐵) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ ran (𝑦𝐼𝐶))) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 𝑦𝑣 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cun 3949  cin 3950  wss 3951  𝒫 cpw 4600  {csn 4626   ciin 4992  cmpt 5225  ran crn 5686  wf 6557  cfv 6561  Fincfn 8985  ficfi 9450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-1o 8506  df-en 8986  df-dom 8987  df-fin 8989  df-fi 9451
This theorem is referenced by:  cmpfiiin  42708
  Copyright terms: Public domain W3C validator