MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resthaus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resthaus 23227
Description: A subspace of a Hausdorff topology is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
resthaus ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴𝑉) → (𝐽t 𝐴) ∈ Haus)

Proof of Theorem resthaus
StepHypRef Expression
1 haustop 23190 . 2 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top)
2 cnhaus 23213 . 2 ((𝐽 ∈ Haus ∧ ( I ↾ (𝐴 𝐽)):(𝐴 𝐽)–1-1→(𝐴 𝐽) ∧ ( I ↾ (𝐴 𝐽)) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐽)) → (𝐽t 𝐴) ∈ Haus)
31, 2resthauslem 23222 1 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴𝑉) → (𝐽t 𝐴) ∈ Haus)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2098  cin 3942   cuni 4902   I cid 5566  cres 5671  (class class class)co 7405  t crest 17375  Hauscha 23167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8824  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-rest 17377  df-topgen 17398  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-cn 23086  df-haus 23174
This theorem is referenced by:  hauslly  23351  hausnlly  23352  xrge0tsms  24705  cncfcnvcn  24801  xrge0tsmsd  32715  xrge0haus  33454  esumpfinval  33603  esumpfinvalf  33604
  Copyright terms: Public domain W3C validator