Theorem resthaus 23397

Description: A subspace of a Hausdorff topology is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
resthaus	⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Haus)

Proof of Theorem resthaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haustop 23360	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top)
2		cnhaus 23383	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ ( I ↾ (𝐴 ∩ ∪ 𝐽)):(𝐴 ∩ ∪ 𝐽)–1-1→(𝐴 ∩ ∪ 𝐽) ∧ ( I ↾ (𝐴 ∩ ∪ 𝐽)) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐽)) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Haus)
3	1, 2	resthauslem 23392	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Haus)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3975  ∪ cuni 4931   I cid 5592   ↾ cres 5702  (class class class)co 7448   ↾_t crest 17480  Hauscha 23337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-map 8886  df-en 9004  df-fin 9007  df-fi 9480  df-rest 17482  df-topgen 17503  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974  df-cn 23256  df-haus 23344

This theorem is referenced by:  hauslly  23521  hausnlly  23522  xrge0tsms  24875  cncfcnvcn  24971  xrge0tsmsd  33041  xrge0haus  33890  esumpfinval  34039  esumpfinvalf  34040