MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resthaus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resthaus 23292
Description: A subspace of a Hausdorff topology is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
resthaus ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴𝑉) → (𝐽t 𝐴) ∈ Haus)

Proof of Theorem resthaus
StepHypRef Expression
1 haustop 23255 . 2 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top)
2 cnhaus 23278 . 2 ((𝐽 ∈ Haus ∧ ( I ↾ (𝐴 𝐽)):(𝐴 𝐽)–1-1→(𝐴 𝐽) ∧ ( I ↾ (𝐴 𝐽)) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐽)) → (𝐽t 𝐴) ∈ Haus)
31, 2resthauslem 23287 1 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴𝑉) → (𝐽t 𝐴) ∈ Haus)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wcel 2098  cin 3948   cuni 4912   I cid 5579  cres 5684  (class class class)co 7426  t crest 17409  Hauscha 23232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-map 8853  df-en 8971  df-fin 8974  df-fi 9442  df-rest 17411  df-topgen 17432  df-top 22816  df-topon 22833  df-bases 22869  df-cn 23151  df-haus 23239
This theorem is referenced by:  hauslly  23416  hausnlly  23417  xrge0tsms  24770  cncfcnvcn  24866  xrge0tsmsd  32792  xrge0haus  33578  esumpfinval  33727  esumpfinvalf  33728
  Copyright terms: Public domain W3C validator